数字信号处理3 频谱分析系统

数字信号处理

讲稿

电子科技大学微固学院

张鹰

第三章 频谱分析系统

1 频谱分析概述

信号是信息的载体，数字信号处理实质上是对信号中的信息进行处理。了解信号与信息的关系是数字信号处理的前提。

信息由信号的变化表达，恒定不变的物理量中不含信息。不同变化形式的信号表达了不同的信息。

为了能够方便地理解和处理信号中的信息，希望寻找一组信息的基本单元，这种基本单元应该具有独立性（每一个单元表达了一种不同的信号变化模式，这种变化模式不能用其他基本单元的组合来替代），同时整个单元组又具有完备性（任何不在单元组内的其他信号都可以利用单元组内信号的某种组合进行表达）。

从连续函数的角度出发，对于这样的单元组可以有很多的选择，而在目前信号领域中最典型的选择是付氏分析的方式。

付氏分析采用虚指数信号表达信息基本单元： ()t

j e

t x ω= ω

π

2=

T

由于每个虚指数信号都一定是周期信号，不同频率对应于不同周期，也就对应不同变化模式。付氏分析的数学理论可以证明，这种信号可以构成具有独立性完备性的单元组。

由于频率的重要性，虚指数信号也称为单频率信号。每个单频率信号具有一个特定频率，同时表达一条独立基本信息，由此可以将信息的基本单元与频率建立起关系。

当信号中包含强弱不同的若干条信息时，信号可以表达为： ()t j t j t

j e a e a e

a t x 321321ωωω++=

该表达式中，系数k a 表达了信号中频率为k ω的信息的相对强度，称为对应于k ω的频率分量。将信号中所有k a 相对频率坐标表达出来，代表了频率分量的分布，称为信号频谱，也可以看做是信号中的信息分布。频谱分析的目标就是希望得到信号的频谱。

根据付氏变化理论，连续时间信号的频谱表达（ CTFT ）为：

()()⎰

∞

∞

--⋅=

dt e

t x X t

j ωω

由该表达式可以建立起信号波形与频谱间的一一对应关系： ()()ωX t x CTFT

−−→←

根据该表达式，可以推导出付氏变换的许多重要运算性质：

时移定理：()()ωω

X e

t t x jt CTFT ⋅−−→←--00 相位与系统延迟的关系

卷积定理：()()()()ωωH X t h t x CTFT

⋅−−→←* 信息提取系统的运算概念 共轭定理：()()ω-−−→←**X t x CTFT

实信号频谱的对称性

习题：利用CTFT 的定义，证明上述三个定理。

2 单频率信号的数字化：

采样导致信号的数字化：

()()[]n x nT x t x T

−→−−→−

[]n x 表现为有限数字序列。

根据频谱分析，()t x 由单频率信号t

j e

ω的组合表达；采样后，作为基本单元的单频率

信号会发生什么变化呢？是否还能唯一的表达独立的信息呢？

对单频率信号采样，可以得到：

n j nT

j T t

j d e e

e

ωωω−→−−→−

可以看到，经过采样后，单频率信号任然保持其表观形式；若将其仍然看做单频率信号，与模拟单频率信号对应，则可以定义数字频率d ω与模拟频率ω的关系如下：

T d ⋅=ωω

根据上述关系，可以得到数字频率的以下特点：

采样过程中，模拟单频率分量与数字单频率分量具有一一对应关系； 对于给定的模拟频率，对应的数字频率与采样周期有关；

模拟频率为有量纲的物理量，数字频率为没有量纲的抽象数据。

模拟单频率信号均为周期信号，具有独立性，可以作为信息的基本单元； 然而容易证明，数字单频率信号通常不为周期信号，也不具有独立性。

例：t 4sin 与n 4sin 的周期性表现

例：数字单频率信号在频谱中的周期性

数字单频率信号在频谱中具有周期性，任何单频率信号都可以在()ππ+，-区间中拥有其代表，因此在考虑信息表达的独立性时，可以将数字频谱只局限于()ππ+，-之内，该区间内的频谱称为真实频谱，该区域外的频谱可以看做是周期化的镜像频谱，是()ππ+，-内真实频谱的周期性复制。

当考虑采样过程中模拟频率与数字频率的对应关系时，必须确保数字频率的真实性。

例：当采样周期为012.0=T 时，对于模拟频率2561=ω和7832=ω，对应的数字频率应该为多少? 对于数字频率583.23=d ω和359.74=d ω，对应的模拟频率应该为多少？

3 频谱分析的数字化：DTFT

对于一般信号，计算频谱的关系为连续时间付氏变换CTFT ：

()()⎰∞

∞--⋅=dt e

t x X t

j ωω

利用数字技术进行分析时，将上述关系式右边采样，可以得到数字信号的频谱表达：

()[]∑=-⋅=N

n n j d d e n x X 0

ωω

该关系式称为离散付氏变换表达（DTFT ）。该关系式确立了数字信号与数字频谱间的一一对应关系：

[]()d D TFT

X n x ω−−→←

在DTFT 的定义式中，数字序列[]n x 为对()t x 进行有限次测量得到的有限数字序列，其中每个数字经过量化归一后表现为纯小数，以[]0x 表达第1个测量数据；数字频谱()d X ω的真实值局限于()ππ+，-区间内，该区间外为真实频谱的周期性镜像复制。

例：信号的频谱分析（DTFT ）

对给定信号波形，选定不同周期进行采样，得到对应数字序列[]n x 和频谱表达：

()[]∑=-⋅=N

n n j d d e n x X 0

ωω

习题：利用DTFT 的定义，推导与CTFT 对应的时移定理、共轭定理的表达形式。

通过例题分析可以看出，在数字频谱的范围内，采样周期增大可以使频谱细节更丰富；在模拟频谱的范围内，采样周期增大可以使频谱范围更宽广。

4 频谱的数字化计算（DFT ）

DTFT 频谱为连续频谱，计算只能通过离散频率分量计算来实现； 在标准频谱内采用N 点等距采样计算，可以得到N 个频率分量； 当计算点足够密集时，将计算结果光滑连接就可以得到连续频谱。

如果在()ππ+，

-区间内进行M 点等距计算，可以先将标准区间等分为M 份，计算点间距为：M

πω20=

若计算从0=d ω的点开始，按照上述间距进行计算，则计算点的频率可以表达为：