直线与抛物线

交于A、 两点 两点， 交于 、B两点，点D(0,1)，若∠ADB为钝角 ， 为钝角 求直线L的斜率取值范围。 求直线 的斜率取值范围。 的斜率取值范围
y
B
D
o
A C
x
解：设A(x1,y1),B(x2,y2), 又 DA= ( x , y −1) DB = ( x , y −1) 1 1 2 2 因为∠ 因为∠ADB为钝角所以 DA⋅ DB < 0 为钝角所以 即x1x2+(y1-1)(y2-1)<0 设直线方程为y=kx-1并代入抛物线方程消ｙ得： 并代入抛物线方程消ｙ 设直线方程为 并代入抛物线方程消 x2-4kx+4=0 ∆ > 0 ⇒k < −1 k >1 或 则x1x2=4, x1+x2=4k y1y2=1 由此得 : (1) y1+y2=4k2-2 (2)
得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 计算判别式 直线与抛物 线相交(一 线相交 一 个交点) 个交点
>0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与圆锥曲线的位置关系
把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的渐近线 或抛物线的轴
得到一元 二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
平行
相交（一个交点） 相交（一个交点）
2 且斜率为1的 例1：已知抛物线 y = 2 px ( p > 0) 过动点 M(a,0)且斜率为 的 ： ． AB 与该抛物线交于不同的两点A、 ， 直线 l 与该抛物线交于不同的两点 、B， ≤2p ． 的取值范围； 求a 的取值范围；
直线与圆 把直线方程代入圆的方程 得到一元 计 算
>0 相交
二次方程 判
=0
别
<0 相离
式
相切
直线与椭圆
把直线方程代入椭圆方程 得到一元二次方程 计 算 判 别 式 >0 相交 =0 相切 <0 相离
直线与双曲线
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点） 相交（一个交点）
解： (1) 设 (x , y ), B(x , y ) A 1 1 2 2
y x 直线l： = x − a 代入 y2 = 2 px 得：2 − 2(a + p)x + a2 = 0
则:
则: ∆ = 4(a + p)2 − 4a2 > 0 且：1 + x2 = 2(a + p) x1 x2 = a2 x
二、判断方法探讨 2、直线与抛物线的对称轴不平行 、 例：计算直线 y = x -1与 与 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得 计算结果： 到一元二次方 程，需计算判 别式。相交。 别式。相交。 y
O
x
方法一) 三、判断位置关系方法总结(方法一 判断位置关系方法总结 方法一 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 计算判别式 直线与抛物 线相交(一 线相交 一 个交点) 个交点
>0 相交 =0 相切 <0 相离
方法二) 三、判断位置关系方法总结(方法二 判断位置关系方法总结 方法二 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 不平行 计算判别式 直线与抛物 线相交(一个 线相交 一个 交点) 交点
>0 相交 =0 相切 <0 相离
4、直线与圆锥曲线位置 、 关系判断方法的回顾
3.直线与抛物线
y
O
x
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交 、相离； 、相切； 、相交（ 两个交点） 点，两个交点） 与双曲线的情况一样 y
O
x
二、判断方法探讨 1、直线与抛物线的对称轴平行 、 例：计算直线 y = 6 与抛物线 y2 =4x 的 位置关系
O
y
x
计算结果： 计算结果：得到一 元一次方程， 元一次方程，容易 解出交点坐标
∴ AB = 1+ k2 x1 − x2 = 2 ⋅ ( x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 8 p( p + 2a) 由 0 <| AB|≤ 2 p ∴ 0 < 8 p( p + 2a) ≤ 4 p2 解得：− < a ≤ − 解得： 2 4
p p
1 2 已知:过点 的直线L与抛物线 例2.已知 过点 已知 过点C(0,-1)的直线 与抛物线 的直线 与抛物线y= x 4
），（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ代入解得： 将（1），（ ）代入解得： ），（ 注意要满足判别式大于0） k > 2或 < − 2 （注意要满足判别式大于 ） k