2-2对偶的基本性质
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《运筹学》胡运权 第4版 第二章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析
b2 bm
x1, x2 , , xn 0
对 称 形 式 的
的 定 义
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m 对
s.t.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 y1 c1
am2 y2 amn ym
c2 cn
偶 问 题
y1, y2 , , ym 0
a23 x3 a33 x3
b2 b3
x1 0， x2 0， x3无 约 束
（2.4a） （2.4b） （2.4c） （2.4d）
先转换成对称形式，如下：
的 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
定
义
m Z a c 1 x 1 x c 2 x 2 c n x n 一
对 偶
a11x1 a12x2 a1n xn (,)b1
a2
1x1
a22x2
a2n xn
(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (,)bm xj 0( 0,或符号不限) j 1 ~ n
问题。
对
对偶问题是对原问题从另一角度进
偶
行的描述，其最优解与原问题的最 优解有着密切的联系，在求得一个
原
线性规划最优解的同时也就得到对 偶线性规划的最优解，反之亦然。
理
对偶理论就是研究线性规划及其对 偶问题的理论，是线性规划理论的
重要内容之一。
问 题 的 导 出
例2-1
我们引用第一章中美佳公司的例子，如表1
的
x1, x2, , xn 0
对
m W ib 1 n y 1 b 2 y 2 b m y m
2对偶理论
2.2 对偶性质 Dual property
【例2.7】 证明下列线性规划无最优解：
min Z x1 x 2 x3 x1 x3 4 x1 x 2 2 x3 3 x 0, j 1,2,3 j
【证】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故问题可行。对 偶问题 1 将三个约束的两端分别相加得 y 2 max w 4 y1 3 y 2
两个模型的区别与联系：
– 联系：都是关于家具厂的模型，使用相同的数 据； – 区别：反映的内容不同，前者站在家具厂立场 追求家具厂收入最大；后者则站在家具厂对手 的立场上寻求付给家具厂的租金最少。 – 前一个为原问题，后一个是对偶问题。
2.2 对偶性质
Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
性质 6告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解 的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。 Y * XS=0和YS X * =0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
* y i xSi 0 i 1 n * y x Sj j 0 j 1 m
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零， 因而有下列关系：
– 所付租金应不低于家具厂利用这些资源能获得的 利益，模型应有以下约束： 1)生产桌子等价的租金 桌子价格： 4y1 + 2y2 50 2)生产椅子等价的租金 椅子价格：
3y1 + y2 30 3) 租金应大于零： y10, y20
租赁者的完整模型
min: 120y1 + 50y2 s.t. 4y1 + 2y2 50 3y1 + y2 30 y1 0, y2 0
初中数学对偶式
初中数学对偶式
摘要：
1.初中数学对偶式的概念及意义
2.初中数学对偶式的基本性质
3.初中数学对偶式的求解方法
4.初中数学对偶式在实际问题中的应用
5.总结与展望
正文：
一、初中数学对偶式的概念及意义
初中数学对偶式是指两个表达式，在各项次数、各项系数以及各项变量上均成对出现，且具有相同的项数。
对偶式在数学中有着广泛的应用，掌握对偶式的性质和求解方法有助于提高同学们解决数学问题的能力。
二、初中数学对偶式的基本性质
1.对偶式的各项次数相同。
2.对偶式的各项系数互为倒数。
3.对偶式的各项变量互为相反数。
三、初中数学对偶式的求解方法
1.找出对偶式中的各项次数、各项系数和各项变量。
2.根据对偶式的性质，将各项系数互为倒数，各项变量互为相反数。
3.化简后，求得原式的值。
四、初中数学对偶式在实际问题中的应用
1.代数求和：利用对偶式求和公式，快速求解数列求和问题。
2.代数计算：将复杂代数式化为简单的对偶式，便于计算和化简。
3.方程求解：利用对偶式性质，将方程化简为更容易求解的形式。
五、总结与展望
初中数学对偶式是数学中一种重要的表达形式，掌握其性质和求解方法能够提高同学们解决数学问题的技巧。
在学习过程中，要注意观察对偶式之间的规律，善于运用对偶式解决实际问题。
第二章 线性规划的对偶理论
2011-10-21 3
（1）
对偶问题的提出
解：设A、B、C 3种设备每小时出租的价格分别为y1、y2、 y3，则新的线性规划数学模型为： 则新的线性规划数学模型为：
m ω =12y1 +16y2 +15y3 in 2y1 + 4y2 + 0y3 ≥ 2 s.t.2y1 + 0y2 +5y3 ≥ 3 y , y , y ≥ 0 1 2 3
0
≤Y b
0
即：
∑c
j =1
n
j
xj ≤
∑yb
i =1 i
m
i
推论1: 推论 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之， 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。 标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（ ） 推论 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 ） 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。 偶问题的无界性。 偶问题的无界性。
第一章 线性规划的对偶理论
本章主要内容： 本章主要内容： 对偶问题的提出 原问题与对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶的经济解释——影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
2011-10-21
1
对偶问题的提出
[第一章例 第一章例2] 常山机器厂生产 、Ⅱ两种产品。这两种 常山机器厂生产I、 两种产品。 第一章例 产品都要分别在A、 、 三种不同设备上加工 三种不同设备上加工。 产品都要分别在 、B、C三种不同设备上加工。按工 艺资料规定， 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时和利润如下表所示， 时和利润如下表所示，企业决策者应如何安排生产计 划，使企业总的利润最大？ 使企业总的利润最大？
（1）
对偶问题的提出
解：设A、B、C 3种设备每小时出租的价格分别为y1、y2、 y3，则新的线性规划数学模型为： 则新的线性规划数学模型为：
m ω =12y1 +16y2 +15y3 in 2y1 + 4y2 + 0y3 ≥ 2 s.t.2y1 + 0y2 +5y3 ≥ 3 y , y , y ≥ 0 1 2 3
0
≤Y b
0
即：
∑c
j =1
n
j
xj ≤
∑yb
i =1 i
m
i
推论1: 推论 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值 的下届；反之， 的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目 标函数值的上界。 标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（ ） 推论 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但 ） 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对 目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。 偶问题的无界性。 偶问题的无界性。
第一章 线性规划的对偶理论
本章主要内容： 本章主要内容： 对偶问题的提出 原问题与对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶的经济解释——影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析
2011-10-21
1
对偶问题的提出
[第一章例 第一章例2] 常山机器厂生产 、Ⅱ两种产品。这两种 常山机器厂生产I、 两种产品。 第一章例 产品都要分别在A、 、 三种不同设备上加工 三种不同设备上加工。 产品都要分别在 、B、C三种不同设备上加工。按工 艺资料规定， 艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台 时和利润如下表所示， 时和利润如下表所示，企业决策者应如何安排生产计 划，使企业总的利润最大？ 使企业总的利润最大？
第2章对偶理论(讲解)
s.t. a11 y1 a21 y2 a31 y3 c1
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2 a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y y y1 0， 2无约束，3 0
第11页
(二)非对称型对偶问题
s.t.
对偶变量 y1 y2 y2 y3
对偶问题：
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a12 y1 a22 y2 a22 y2 a32 y3 c2 a13 y1 a23 y a23 y a33 y3 c3 2 2 a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c3 y1 , y2 , y2 , y3 0
max z = c1x1 + c2x2 + c3x3 s.t. a11x1 + a12x2 + a13x3 ≤ b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 ≥ b3 x1≥0, x2≤0, x3无约束
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
min w 6 y1 8 y2 3 y3 s.t. y1 y2 3
y1 1 1 0 3 1 2 1 y2 4 y 3 y1 min w =bTY y 0 2 s.t. ATY ≥CT y 3 Y≥0
min w 6 y1 8 y2 3 y3 s.t. y1 y2 3
y1 2 y2 y3 4 y , y , y 0 1 2 3
对偶性质
对偶理论的性质及证明性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题证明 设原问题为max z ..0CXAX b s t X =≤⎧⎨≥⎩ (1)对偶问题为min ..0w YbYA C s t X =≥⎧⎨≥⎩ (2)对偶问题的对偶问题为max ..0CUAU b s t U ϕ=≤⎧⎨≥⎩ (3)比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有CX Yb ≤ (4)证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有YAX Yb ≤ (5)根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有YAX CX ≥ (6)结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证.性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是**CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有*CX CX ≥ (7)由于**CX Y b =,那么*CX Y b ≥ (8)根据弱对偶性质, 又有*CX Y b ≤ (9)从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。
同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。
性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。
证明 用反证法证明。
设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。
假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。
这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。
由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。
而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。
从而对偶问题没有可行解。
性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。
运筹学第2章：线性规划的对偶理论
目
标函数求极小时取“≥”号
注：对称形式与线性规划标准型是两种不同的形 式，对称形式中约束条件的符号由目标函数决定
从以下方面比较(LP1)与(LP2)：
原问题
对偶问题 约束系数矩阵的转 臵 目标函数中的价格 系数向量 约束条件的右端项 向量 Min w=Y’b A’Y≥C’ Y≥0
A
b C 目标函数 约束条件 决策变量
非基变量 基变量
XB
0 b Xs C j - zj B
XN
N
Xs
I
0
初始 单纯形表
非基变量
CB
CN
基变量
最终
单纯形表
CB
XB
XB B-1b Cj - zj
I 0
Xs B-1 N B-1 CN-CBB-1N -CBB-1
XN
若B-1b为最优解，则
CB CB ( B 1B) 0 C N CB B N 0 CB B 1 0
令 y 2 y 2 , y3 y3 y3 ，则
min 2 y1 y2 4 y3
2 y1 3 y2 y3 1 3 y y y 4 1 2 3 s.t. 5 y1 6 y2 y3 3 y1 0, y2 0, y3无约束
n j 1 m j j
C X Y b, 即 c j x j y i bi
j 1 i 1
__
__
n
m
c x ( a
j 1 m i 1 n i i i 1 i 1 j 1
n
m
ij
yi ) x j aij x j yi ( a ji yi c j )
例1
第2章线性规划的对偶理论
max z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5
(1)
s.t
.
4xx1 175xx223xx33
3 8
x2 0, x3 0
n
max z c j x j j1
n
aij x j
bi
(i 1,, m1 m)
-15 y3 1/5 0 -4/5 1
zj - cj
0 4 0
原问题松 弛变量
00
y4 y5 -1/2 0
1/5 -1/5
3 3
原问题 变量
第19页
说明：1)只需求解其中一个问题, 从最优解的单纯形表中同时得
到另一个问题的最优解.
2)单纯形法迭代的每一步中, 原问题及对偶问题解的关系
目标函数值
n)
m
min w bi yi i 1
yi 0 (i 1,, m1 )
yi无约束(i m1 1,, m)
m
aij yi c j ( j 1,, n1 )
i 1 m
aij yi c j ( j n1 1,, n)
i 1
第10页
写出下列线性规划的对偶问题
m i 1
aij
yi
c
j
(
j
1,, n)
yi 0 (i 1,, m)
min w bY
AY C
s.t.
Y 0
第4页
2-2 原问题与对偶问题
对应关系： (1) max
min
= (2)
约束条 件个数
变量的 个数
对偶理论2
第13页 页
Q Ax + x s = b ∴ w = y( Ax + x s ) = yAx + yx s
⇐: 若
则 则
y xs = 0
− −
−
和
ys x = 0
−
z = w = yAx
为最优解. x, y 为最优解 为最优解 x, y 为最优解. 所以 y xs = 0
−
− −
⇒:
则 z = w = yAx
运 筹 学 课 件
运 筹 帷 幄 之 中
决 胜
对偶理论
千 里 之 外
第1页 页
对 偶 理 论
对偶问题 对偶问题 对偶理论 对偶单纯形算法
第2页 页
对偶问题的提出
例：设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 各种资源的拥有量为b i=1,2,…m） 各种资源的拥有量为bi（i=1,2,…m）,又知生产单位 种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源a 单位， 第j种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源aij单位，产 值为c 若用x 表示第j种产品的生产量， 值为cj元。若用xj表示第j种产品的生产量，求产值最 任意线性规划问题都存在 LP模型为 模型为： 大，LP模型为：
和
ys x = 0 第14页 页
−
求原问题的最优解。 例：已知对偶问题最优解 y1*=4/5, y2*=3/5 求原问题的最优解。 已知对偶问题最优解
Min ω=2x1＋3x2＋5x3＋2x4＋ 3x5 原问题（ ） 原问题（L） x1＋x2＋2x3＋x4＋3x5≥4 2x1－x2＋3x3＋x4＋x5 ≥3 xj ≥0, j=1,2, …,5
一个与之伴随的对偶问题 M = c x + c x +L+ c x axz
Q Ax + x s = b ∴ w = y( Ax + x s ) = yAx + yx s
⇐: 若
则 则
y xs = 0
− −
−
和
ys x = 0
−
z = w = yAx
为最优解. x, y 为最优解 为最优解 x, y 为最优解. 所以 y xs = 0
−
− −
⇒:
则 z = w = yAx
运 筹 学 课 件
运 筹 帷 幄 之 中
决 胜
对偶理论
千 里 之 外
第1页 页
对 偶 理 论
对偶问题 对偶问题 对偶理论 对偶单纯形算法
第2页 页
对偶问题的提出
例：设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 设某企业有m种资源，用于生产n种不同的产品， 各种资源的拥有量为b i=1,2,…m） 各种资源的拥有量为bi（i=1,2,…m）,又知生产单位 种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源a 单位， 第j种产品（j=1,2,…n）消费第i种资源aij单位，产 值为c 若用x 表示第j种产品的生产量， 值为cj元。若用xj表示第j种产品的生产量，求产值最 任意线性规划问题都存在 LP模型为 模型为： 大，LP模型为：
和
ys x = 0 第14页 页
−
求原问题的最优解。 例：已知对偶问题最优解 y1*=4/5, y2*=3/5 求原问题的最优解。 已知对偶问题最优解
Min ω=2x1＋3x2＋5x3＋2x4＋ 3x5 原问题（ ） 原问题（L） x1＋x2＋2x3＋x4＋3x5≥4 2x1－x2＋3x3＋x4＋x5 ≥3 xj ≥0, j=1,2, …,5
一个与之伴随的对偶问题 M = c x + c x +L+ c x axz
线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质
算例三
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
含多个决策变量的线性规 划问题及其对偶问题的求 解
含不等式约束的线性规划 问题及其对偶问题的求解
经典案例分析：运输问题、生产计划等
通过对偶理论实现资源的最优分 配
对偶理论在生产计划优化中的应 用
如何通过对偶理论求解最小成本 运输问题
运输问题
资源分配问题 生产计划问题
实际应用案例分享
供应链管理
椭球法
通过构造一个包含原问题可行域的椭球，将原问题转化为 一个椭球约束的优化问题，然后利用椭球算法进行求解。
割平面法
通过在原问题的约束条件中不断添加割平面，将原问题转 化为一个更容易求解的问题，然后利用相关算法进行求解。
Part
04
对偶理论在经济学中应用
影子价格概念及计算
影子价格定义
影子价格反映资源在最优配置下 的边际价值，即资源每增加一单
选择一个满足所有约束条 件的初始内点。
迭代过程
通过不断迭代，沿着目标函数 的负梯度方向进行搜索，直到 达到最优解或满足停止准则。
求解最优解
当迭代过程结束时，从最 终迭代点中读取最优解。
其他方法简介
外点法
通过构造一个包含原问题可行域的外点，将原问题转化为 一个无约束优化问题，然后利用无约束优化方法进行求解。
简化问题求解从而降低了 计算复杂度和难度。
揭示问题内在联系
对偶理论揭示了原问题与其对偶问题之间的内在联系，有助于发现 问题的隐藏性质和潜在优化方向。
未来发展趋势预测及挑战分析
拓展应用领域
随着对偶理论的不断完善和发展， 其应用领域将进一步拓展，包括机 器学习、大数据分析等前沿领域。
强对偶性
强对偶性定义
01
存在一组可行解，使得原问题的目标函数值等于其对偶问题的
对偶理论2
2 2 4 0 0 5 x1 x2
12 ≤ 16 15
y3
≥ 0
≥ 0
线性规划的对偶模型
• （1）对称形式
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负;目标 函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负.
P：
m axZ C X AX b X0
D:
minW Y T b A T Y CT Y0
对偶理论
Dual Theory
1. 对偶问题提出
例1.常山机器厂生产I，II型两种产品，这两种产品分别 在A，B，C三种不同的设备上加工，工艺资料如下
耗 时 设备
A B I 2h 4h II 2h 0 最大工时 12h 16h
C
单位利润（元/ 件）
0
2
5h
3
15h
问企业应如何安排生产，使总利润最大？
设x1，x2分别表示常山机械厂在计划期内生产I，II两种产品 的产量 目标(objective) －最大利润 max z=2x1+3x2 约束条件（constraint）－设备的实际耗时≤最大工时 2x1+2x2 ≤12 4x1 ≤16 5x2 ≤15
设 耗 时 备
A I 2h II 2h 最大工时 12h
(DP) min
w=12y1+16y2+15y3 2y1+4y2 ≥2 2y1+ 5y3 ≥ 3 y1，y2， y3 ≥0 紧 紧 紧
x 30
* 1 * 2
* * 2 y1 4 y2 2 * * 2 y1 5 y3 3
* y3 0
x 30
松
松
4x 12 16
* 1
高中数学对偶式
高中数学对偶式摘要：1.高中数学对偶式的基本概念2.对偶式的性质与应用3.求解对偶式的方法与技巧4.高中数学中对偶式的实际应用案例5.总结与展望正文：一、高中数学对偶式的基本概念高中数学中的对偶式，是指两个表达式，在变量、次数、项数相同的情况下，各项的系数互为相反数。
简单来说，对偶式就是两个多项式，一个各项系数为正，另一个各项系数为负。
它们在图形上表示的是同一条直线，只是方向相反。
二、对偶式的性质与应用1.对偶式的性质对偶式具有以下性质：（1）若两个多项式是对偶式，则它们的和、差、积、商仍是对偶式。
（2）若两个多项式是对偶式，则它们的公共因子也是对偶式。
2.对偶式的应用在高中数学中，对偶式主要应用于以下几个方面：（1）求解方程：利用对偶式的性质，将原方程转化为易于求解的形式。
（2）化简表达式：通过对偶式，将复杂的表达式化简为简单的形式。
（3）证明题目：利用对偶式证明一些数学命题。
三、求解对偶式的方法与技巧1.观察法：通过观察多项式的系数，判断是否为对偶式。
2.替换法：将多项式中的某一项替换为它的相反数，判断是否满足对偶式的条件。
3.因式分解法：对多项式进行因式分解，判断各项系数是否互为相反数。
四、高中数学中对偶式的实际应用案例案例1：求解方程组已知方程组：x + y = 5x - y = 1将两个方程相加，得到：2x = 6解得x = 3，将x 带入其中一个方程，求得y = 2。
案例2：化简表达式原式= (x + 1) / (x - 1) - (x - 1) / (x + 1)将原式化简为：=[(x+1)(x+1)-(x-1)(x-1)] / [(x-1)(x+1)]=[(x^2+2x+1)-(x^2-2x+1)] / [(x-1)(x+1)]=4x / [(x-1)(x+1)]五、总结与展望高中数学中的对偶式是一种重要的数学概念，掌握对偶式的性质和应用，能够帮助我们更好地解决实际问题。
在学习过程中，要熟练掌握对偶式的判断和求解方法，提高解题效率。
第2章 线性规划的对偶理论
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
1.本节以实例引出对偶问题; 2.介绍了如何写规范与非规范问题的对偶问题;
作业：教材P61 T 1、2 下一节：对偶性质
2.2 对偶性质
Dual property
2.2 对偶性质 Dual property
时得到最优解，C CB B 1 A 是 X＝（X B，X N）的检验数 CB CB B 1B 和
CN CB B1N 的合并。
令 Y CB B1 ,由 C CB B 1 A 0与 CB B 1 0 得
YA C Y 0
可见，这是Y是对偶问题的一个可行解。 思考：Y右边的部分是什么？
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的 线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划 的任一目标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶 问题的目标值。
2.2 对偶性质 Dual property
由这个性质可得到下面几个结论：
（1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界； （DP）的任一可行解的 目标是（LP）的最优值的上界；
【例2.3】 写出下列线性规划的对偶问题
max Z 4x1 3x2
5x1 x2 6 7x1x135x2x2108 x1 0, x2 0
【解】这是一个规范形式的线性规划，它的对偶问题求 最小值，有三个变量且非负，有两个“ ≥”约束，即
min w 6 y1 8 y2 10 y3
5yy1172yy22
y3 3y3
4
3
yi 0,i 1,2,3
2.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
第2章对偶理论与灵敏度分析
五.互补松弛性（松紧定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束
条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变
量一定为零。也即：
n
若yˆi 0, 则有 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0
n
j 1
若 aij xˆ j bi ,即xˆsi 0, 则有yˆi 0
minW=bTy
bT (12 8 16 12 )
y1 y2 y3
4x1 16 4x2 12
x1 x2 0
minW=12y1+8y2 +16y3+12y4
y4
ATy CT
AT 2140
2204
y1
CT
y2 y3
2 3
y4
2y1 +y2 +4y3 2 2y1 +2y2 +y4 3 y1 … y4 0
x (0,5,0)
对于对偶问题的可行解y (5,0)
有 80.
由弱对偶性,最优目标函数值z* *有上.下界。 25 z* * 80
互补松弛定理: 在线性规划问 题的最优解中，
一 . 对称性 ：
对偶问题的对偶是原问题
二. 弱对偶性：
若x′是原问题的可行解，y′是对偶问题的可行 解。则有 cx′≤y′b
弱对偶性的三个推论
推论(1)： 原问题任一可行解的目A标≦函Z数=W值是≦其B对偶
问题目标函数值的下界，反之对偶问题任一可行解的 目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
推论(2)： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对 偶问题（原问题）无可行解。注 ： 其逆不成立。
由此y1，y2，y3的取值应满足:
第二章 对偶理论
例四、线性规划问题如下： min Z 2 x1 3 x 2 5 x 3 x4
x1 x 2 3 x 3 x4 5 2 x 3 4 x4 4 2 x1 x 2 x 3 x4 6 x 0 , x 、x 0 ,x 无约束 2 3 4 1 对偶问题： max W 5 y1 4 y 2 6 y 3
min W 170 y1 100 y2 150 y3 5 y1 2 y2 y3 10 2 y1 3 y2 5 y3 18 y ,y ,y 0 1 2 3 （对偶问题）
例二、合理配料问题，其数学模型为：
min Z
c
j 1
n
j
xj
m a ij x j bi i 1 xj 0
假设工厂想把这m 种营养成分分别制成一种营养丸 销售，问如何定价（以保证总收入为最多）？
有下列式子： max W
b
j 1
n
i
yi
n a ij y i c j （对偶问题） j 1 y 0 i
原问题 目标函数 max 对偶问题 min
约束条件
≤
变量数量 约束条件个数
Max w=2y1+3y2+5y3
2 y1+ 3 y2+ 1 y3 ≤ 2 3 y1+ 1 y2+ 4 y3 ≤ 2
正反
5 y1+ 7 y2+ 6 y3 ≤ 4
y1 ≥ 0 y2 ≤ 0 y3 ≤ 0
2. max Z 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 x1 2 x2 3 x3 4 x4 0 x2 3 x3 4 x4 5 2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2 x1 0，x2 0 , x3、x4 无约束
第2章线性规划讲义的对偶问题
称CBB-1为单纯形乘子
19
二、对偶问题的基本性质
1. 对称性
2. 弱对偶性
推论：
(1)原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数 值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其 原问题目标函数值的上界。
(2)如原问题有可行解且目标函数值无界，则其对偶问题无 可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则 其原问题无可行解。
35
三、分析cj的变化 线性规划目标函数中变量系数cj的变化仅仅影响到检验 数，所以将cj的变化直接反映到最终单纯形表中，只可 能出现表2-9中的第一、二两种情况。
例5：在美佳公司例子中， (1) 若家电Ⅰ的利润降至1.5元/件, 而家电Ⅱ的利润增 至2元/件, 美佳公司最优生产计划有何变化? (2) 若家电Ⅰ的利润不变, 而家电Ⅱ的利润在什么范围 内变化时, 该公司的最优生产计划不发生变化。
28
练习： 用对偶单纯形法求解下述LP问题：
min w x1 4x2 3x4 x1 2x2 x3 x4 3
st. 2x1 x2 4x3 x4 2 xi 0(i 1,2,3,4)
29
min z cx
注: 若LP问题的标准形式为:
Ax b
st
.
x
0
其对偶单纯形法的求解步骤确定换入基变量的原则如下:
目标函数求极小值时，约束方程均为≥
2
二、对称形式下对偶问题的一般形式
对称形式的LP问题(LP1)：
M Z c 1 x a 1 c 2 x x 2 c n x n
a 1 x 1 1 a 1 x 2 2 a 1 n x n b 1 a 2 x 1 1 a 2 x 2 2 a 2 n x n b 2
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XB XN
XS
b
XB
E B－1N
B－1
B－1b
λ
0 CN－CBB－1N －CBB－1 －CBB－1b
运 筹 学
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
C CBB-1A 0 CBB-1 0
一 单纯形法的矩阵描述
令
在
两边有乘b,则有
,又因Y≥0无
上界,从而只存在最小值，得到另一个线性规划问题：
运
Yb CX 0 Y 0b, Y0目标函数值最小，是最优解。
筹
学
二 对偶的基本性质及结论
【性质4】对偶性 若互为对偶的两个问题其中一个有最优解，则 另一个也有最优解，且最优值相同。
运
由性质 4 还可推出另一结论：若一个问题无最优解，则另一问题
筹
也无最优解;若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解 。
注意上述结论（2）及（3）的条件不能少。一个问题无可行解时， 另一个问题可能有可行解（此时具有无界解）也可能无可行解。
二 对偶的基本性质及结论
【性质3】最优性 设X0与Y0分别是（LP）与（DP）的可行解，则 当X0、Y0是（LP）与（DP）的最优解当且仅当C X0= Y0b.
CX Y 0b CX 0 , X 0目标函数值最大，是最优解。
（3）因为表（3）为最优解，故 Y（3）=（2，2，0，0，11）为对偶问题
最优解；
三 小结
已知一个问题解的结局，可以判断另一个问题的解的结 局。具体到什么情况，与已知条件的给定有很大关系。
运 筹 学
无 最 优 解
应用
一个问题max 有最优解 无最优解 无界解 （有可行解） 无可行解
已知最优解 已知检验数
二 对偶的基本性质及结论
性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优
解的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。
两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
运 筹 学
二 对偶的基本性质及结论
【例1】 已知线性规划
运
的最优解是
筹
求对偶问题的最优解。
学
【解】对偶问题是
因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二
二 对偶的基本性质及结论
【例2】 线性规划
运
（1）用单纯形法求最优解；
筹
（2）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；
学
（3）从最优表中写出对偶问题的最优解；
【解】（1）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表所示。 最优解X=（4，6，0）T，最优值Z=6×4－2×6=12；
（2）设对偶变量为y1、y2,松弛变量为y3、y4、y5,Y=（y1、y2、 y3、y4、 y5），由性质6得到对偶问题的基本解
结论：当原问题有最优解时，这时对偶问题有可行解， 且目标函数值与原问题最优值相等。
二 对偶的基本性质及结论
【性质1】对称性 对偶问题的对偶是原问题。
运 筹 学
二 对偶的基本性质及结论
【性质2】弱对偶性 设X°、Y°分别为LP(max)与DP(min)的可行
解，则
运
AX 0 b Y 0 AX 0
max Z CX min w Yb
AX b
X
0
YA C Y 0
规范形式
一 单纯形法的矩阵描述
max Z CX
AX b
运
X
0
筹
学
max Z CB X B CN X N 0X S
BX
X
B
B NX ,XN,X
N S
EX S 0
b
XB
XN
XS
b
XB
B
N
E
b
C
CB
CN
0
0
一 单纯形法的矩阵描述
CX0=Y0b
Y 0 X s Ys X 0 0 Y 0 X s 0,Ys X 0 0
AX 0
Y
0
A
X Ys
s b Y 0 AX 0 Y 0 X C Y 0 AX 0 Ys X 0
s Y 0b CX 0
Y0XS=0 YSX0=0
Y 0b CX 0 X 0,Y 0是最优解
学
二 对偶的基本性质及结论
【性质5】互补松弛性 设X0、Y0分别为（LP）与（DP）的可行解， XS和YS是它的松弛变量的可行解，则X0和Y0是最优解当且仅当
YSX0=0和Y0XS=0
AX 0
Y
0
A
X Ys
s b Y 0 AX 0 Y 0 X C Y 0 AX 0 Ys X 0
s Y 0b CX 0
另一个问题min 有最优解 无最优解 无可行解
无界解 （有可行解）
通过解方程
求最优解
检验数乘以－1 求得基本解
性质4 性质4 性质2
性质5 性质6
谢谢！
运 筹 学
Y
0
A
C
Y
0
AX
0
Y 0b CX 0
CX
0
Y
0b
筹
学
二 对偶的基本性质及结论
由这个性质可得到下面几个结论： （1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界；
（DP）的任一可行解的目标值是（LP）的最优值上界； （2）在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解， 则另一个问题无可行解； （3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。
个约束的松弛变量等于零，即
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为Y=（1，1）， 最优值w=26。
二 对偶的基本性质及结论
【性质6】LP(max)的检验数的相反数对应于DP(min)的一组基本解.
其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于（DP）中第j个
运 筹 学
松弛变量 的解，第i个松弛变量 的检验数的相反数对应 于第i个对偶变量yi的解。反之，（DP）的检验数（注意：不乘 负号）对应于（LP）的一组基本解。
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university mod
2.2对偶的基本性质
运 筹 学
主要内容
01 单纯形法的矩阵描述
02 对偶的基本性质及结论
运
筹
03 小结
学
设原问题是（记为LP） 对偶问题是（记为DP）
（y1,y2, y3,y4,y5） =（－λ4，－λ5，－λ1，－λ2，－λ3），即
表（1）中λ=（6，－2，1，0，0），则Y（1）=（0，0，-6，2，－1） 表（2）中λ=（0，1，－5，－3，0），则Y（2）=（3，0，0，－1，5） 表（3）中λ=（0，0，－11，－2，－2），则Y（3）=（2，2，0，0，11）