2-2对偶的基本性质

XB XN
XS
b
XB
E B－1N
B－1
B－1b
λ
0 CN－CBB－1N －CBB－1 －CBB－1b
运 筹 学
CB CBB-1B 0 CN CBB-1N 0
C CBB-1A 0 CBB-1 0
一 单纯形法的矩阵描述
令
在
两边有乘b,则有
,又因Y≥0无
上界,从而只存在最小值，得到另一个线性规划问题：
运
Yb CX 0 Y 0b, Y0目标函数值最小，是最优解。
筹
学
二 对偶的基本性质及结论
【性质4】对偶性 若互为对偶的两个问题其中一个有最优解，则 另一个也有最优解，且最优值相同。
运
由性质 4 还可推出另一结论：若一个问题无最优解，则另一问题
筹
也无最优解;若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解 。
注意上述结论（2）及（3）的条件不能少。一个问题无可行解时， 另一个问题可能有可行解（此时具有无界解）也可能无可行解。
二 对偶的基本性质及结论
【性质3】最优性 设X0与Y0分别是（LP）与（DP）的可行解，则 当X0、Y0是（LP）与（DP）的最优解当且仅当C X0= Y0b.
CX Y 0b CX 0 , X 0目标函数值最大，是最优解。
（3）因为表（3）为最优解，故 Y（3）=（2，2，0，0，11）为对偶问题
最优解；
三 小结
已知一个问题解的结局，可以判断另一个问题的解的结 局。具体到什么情况，与已知条件的给定有很大关系。
运 筹 学
无 最 优 解
应用
一个问题max 有最优解 无最优解 无界解 （有可行解） 无可行解
已知最优解 已知检验数
二 对偶的基本性质及结论
性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优
解的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。
两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
运 筹 学
二 对偶的基本性质及结论
【例1】 已知线性规划
运
的最优解是
筹
求对偶问题的最优解。
学
【解】对偶问题是
因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二
二 对偶的基本性质及结论
【例2】 线性规划
运
（1）用单纯形法求最优解；
筹
（2）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；
学
（3）从最优表中写出对偶问题的最优解；
【解】（1）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表所示。 最优解X=（4，6，0）T，最优值Z=6×4－2×6=12；
（2）设对偶变量为y1、y2,松弛变量为y3、y4、y5,Y=（y1、y2、 y3、y4、 y5），由性质6得到对偶问题的基本解
结论：当原问题有最优解时，这时对偶问题有可行解， 且目标函数值与原问题最优值相等。
二 对偶的基本性质及结论
【性质1】对称性 对偶问题的对偶是原问题。
运 筹 学
二 对偶的基本性质及结论
【性质2】弱对偶性 设X°、Y°分别为LP(max)与DP(min)的可行
解，则
运
AX 0 b Y 0 AX 0
max Z CX min w Yb
AX b
X
0
YA C Y 0
规范形式
一 单纯形法的矩阵描述
max Z CX
AX b
运
X
0
筹
学
max Z CB X B CN X N 0X S
BX
X
B
B NX ,XN,X
N S
EX S 0
b
XB
XN
XS
b
XB
B
N
E
b
C
CB
CN
0
0
一 单纯形法的矩阵描述
CX0=Y0b
Y 0 X s Ys X 0 0 Y 0 X s 0,Ys X 0 0
AX 0
Y
0
A
X Ys
s b Y 0 AX 0 Y 0 X C Y 0 AX 0 Ys X 0
s Y 0b CX 0
Y0XS=0 YSX0=0
Y 0b CX 0 X 0,Y 0是最优解
学
二 对偶的基本性质及结论
【性质5】互补松弛性 设X0、Y0分别为（LP）与（DP）的可行解， XS和YS是它的松弛变量的可行解，则X0和Y0是最优解当且仅当
YSX0=0和Y0XS=0
AX 0
Y
0
A
X Ys
s b Y 0 AX 0 Y 0 X C Y 0 AX 0 Ys X 0
s Y 0b CX 0
另一个问题min 有最优解 无最优解 无可行解
无界解 （有可行解）
通过解方程
求最优解
检验数乘以－1 求得基本解
性质4 性质4 性质2
性质5 性质6
谢谢！
运 筹 学
Y
0
A
C
Y
0
AX
0
Y 0b CX 0
CX
0
Y
0b
筹
学
二 对偶的基本性质及结论
由这个性质可得到下面几个结论： （1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界；
（DP）的任一可行解的目标值是（LP）的最优值上界； （2）在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解， 则另一个问题无可行解； （3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。
个约束的松弛变量等于零，即
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为Y=（1，1）， 最优值w=26。
二 对偶的基本性质及结论
【性质6】LP(max)的检验数的相反数对应于DP(min)的一组基本解.
其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于（DP）中第j个
运 筹 学
松弛变量 的解，第i个松弛变量 的检验数的相反数对应 于第i个对偶变量yi的解。反之，（DP）的检验数（注意：不乘 负号）对应于（LP）的一组基本解。
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university mod
2.2对偶的基本性质
运 筹 学
主要内容
01 单纯形法的矩阵描述
02 对偶的基本性质及结论
运
筹
03 小结
学
设原问题是（记为LP） 对偶问题是（记为DP）
（y1,y2, y3,y4,y5） =（－λ4，－λ5，－λ1，－λ2，－λ3），即
表（1）中λ=（6，－2，1，0，0），则Y（1）=（0，0，-6，2，－1） 表（2）中λ=（0，1，－5，－3，0），则Y（2）=（3，0，0，－1，5） 表（3）中λ=（0，0，－11，－2，－2），则Y（3）=（2，2，0，0，11）