金融时间序列的随机波动模型评述

有学者发现在牛 市和熊 市中 ， 益的条件均 值明显依赖于 收 前期 的涨跌 ， 方差 对过去收 益 的反映也 是非对 称的 ， 在坏 消息 影响下 的方差 比好消 息情况下趋 于更大 ，即所谓的杠杆效 应。 基本 ｓ ｖ模型 中假 设收益和波动过程 的误 差项是两个相互独立 的过程 ， 因此没有考虑 到金融市场 尤其是股票市 场上 的杠杆效 应 。ｆ ｑ ｉｒＮｉ ｏａ、 ｏ ｏ 、 ｓ （０ ３ 利 用 ＭＣ ａ ｕｅ、 ｃ ｌ Ｐ ｉ ｎ Ｒｏｓ ２ ０ ） ｃ ｈ ｓ ｓ ｉ ＭＣ方 法分 析 了 Ａ Ｖ，即收 益冲击 ８和 波动冲击 Ｕ之 间存在相 关关系 ， Ｓ ． 从
的大 多数模型可以通过 Ｅ ｉ 等常见软件得 以估计和检验 ， ｖ ｗｓ ｅ 而 基 于 贝叶 斯 的 ＭＣＭＣ 方 法 则 要 求 助 于 新 的 软 件 包 Ｗ Ｉ Ｎ—
ＢＵ ＧＳ。
二、 基本 的随机 波动模型及 其扩展 类型
从 （ ，） ｏ １上的均 匀分布 ，Ｅ 服 从参数 为 的指数分 布 ， 服从 ｆ｝ Ｎ 均值为 ｐｏ （ ／ 的泊松分布 ； ，， 之间是相互独立的 。基 ｌ １ ） ｇ ｕ ， ＥＮ 于对样本内分析表明 ｒ ｓ — ｖ捕 获尖峰厚尾性 以及平方收益序列
在收益 残差序 列用 ｔ 分布或 Ｇ Ｄ分布 来测度其 尖峰厚尾 Ｅ 性时， 与实际中典型的金融时间序列相比 ， 其峰度还是偏低。Ｂ — ｏ ｖｓＲａｆ ｉ ２ ０ ） ａ、 ｎ ｎ 等（ ０６ 还提 出一 种刻画 尖峰厚尾性 的伽马 随机波 ｉ
动模型（ — ｖ）其形 式为 ： ｒｓ ，
ｈ ６ ＋ ｌ Ｏ ＜ １ｔ ， ， ｈ １ｘ ，≤ 一 ， １２ …
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ＶＣ ＯＮ Ｏ ｔｃ —■■ Ｅ Ｍ ：。●Ｉ ■ Ｃ ■● Ｓ ｓ
【 摘要 】 本文总结 了在过 去几 十年 中金 融资产收益 的随
机 波动 ， 模 型 的发 展 过 程 ， 论 了迄 今 随 机 波 动 模 型 估 计 的 即 讨
ｈ是伽马随机变量 ， 密度 函数 为 ： 其
一
ｈＰ 、ｐ ＿。
ｈ； ｐ ＝ ， ）
‘ 、
， ０ ｋ ，＞ Ｏ ｈ Ｉ ， ＞Ｏ ｐ ＞
ＴＴ
１为独立 同分布序列 ， ｈ不相关 ， １ 与 且 ＝ ４ Ｅ ；ＵＪ ） ．｛ ＿ ） 服
Ｊ ＝ １Fra Baidu bibliotek 。
后 者则被认 为波动率 由潜在 的不可观测 的随机过程 昕决定 ， 即 在波动 率方程 中引入一个新 的随机变量 ， 该变量 可能服从马 尔 科夫过程 ， 随机 游走 或其他 。 Ｓ Ｖ中新的随机变量的引入 ， 使得 无论 是从长期波动性 的预 测能力来看 ， 是从波动 率序 列的稳定 性 、 还 抑或 对 资产 定价 理
时 间序列所显现 出来 的一些特 性 ， 尖峰 厚尾 、 如 平方序 列 的长
记忆性等 ， 对模 型提 出了一 系列扩展 。基本 的随机波动模型为 ：
ｙ 、ｈ ｔ ／ ８ ＝
ｌｇ ｔ ｏ ｈ＝￣＋ １ ｇ ＋ Ｊ ８ｏ ｈ １ １
从基本 Ｓ Ｖ的形式可以看出 ， 标准 Ｓ Ｖ其实是一个对数收 益
自相关函数的缓慢衰减特征时 ， 与数据 表现 出的特征更符合 。
２ 非 对 称 的 随 机 波 动 模 型 、
金融 时间序列模型建模 的意义在于拟合 数据 ， 刻画金融 数
据 的一些特征 ， 并在 此基础 上进行检验和预 测。 Ｔ ｙｏ（９ ６ 自 ａｌｒ１８ ） 提出了基本 的离散时间 ｓ ｖ以来 ， 很多学者为了更好 地刻画金 融
服从一阶 自回归 的随机过程 ， 中 ｙ表示均值去除后 的收益 ，¨ 其 ｃ ８ Ｕ分别为收益序列和波 动序列 的扰 动 ， ． ８反映波动 率的持 续性 。
而对杠杆效 应进行了分析 ， 以及其他参数关 系不变 ： 模型
论 的应用 来看 ， 是优于 Ａ Ｃ 类模 型的 。但是 ， 它都 Ｒ Ｈ 也正是 因 为Ｓ Ｖ模 型中包 含着潜在变量 ，涉及 的似 然函数和无条件矩 要
通过 高维积分 来计算 ， 大似然法 不能直接求解 。基于 贝叶 斯 极
的 ＭＣ ＭＣ模拟为 ｓ ｖ模型的估计提供了切实可行的方法 。 计量
布 的引入能解 释收益率 的厚尾 特征 ， 却无法解 释收益 率自身的
非对称性 。
【 关键 词 】 随机波动模 型 马 尔科 夫链 蒙特卡 罗方法 资
产 收 益
一
、
引 言
波动 性建模是金融市场近几十年来 的热点 问题 。在波动率
模型中 ， 有两 类模型 的应用最 为广泛 ： 自回归 条件异 方差模 型
Ｃａｐ ｃｉ、ｕ ｉ （ ０ ４提 出了 基于另 外一种厚尾 分布 的 ｐ ｕ ｃ Ｌ ｂａ ２ ０ ） ｏ ｎ 偏 Ｇ Ｄ 随机波 动模 型（ ＧＥ Ｓ ， Ｅ 偏 Ｄ— Ｖ）不仅对 收益序 列的厚尾
性 ， 能对 它的非对称 性进 行刻画。 还
（ Ｒ Ｈ）￣ Ａ Ｃ ＊随机波动模型（ｖ 。 ｓ ） 前者将波动率视为过去信息集 的确定 函数 ，即波动率是 滞后平方观测 值和前期方 差的函数 ；
这 些扩展主要包括厚尾性 、 非对称性 、 长记忆性 等几个方面 。
１ 带厚尾 的随机 波动模 型 、
主 要 方 法 ， 中特 别 讨 论 了 ＭｃＭｃ 方 法 。 其 最后 指 出 了现 在 和 未
来 该 领 域 研 究 所 面 临 的 主要 问 题 。
Ｊｃｕ ｒ ｉ ｏ ｓ （０４扩 展了 ｓ ａ ｉ 、 ｃ ｌ 等 ２０ ） ｑ ｅＮ ｈ ａ ｖ模型 ， 服从 ｔ 布 将 分 的收益残差序列 引入进 来 ， ｓ （ 。ｓ服从 自由度 为 ‘的 ｔ 即 ｃ ∞） １ ） 分布 ， 其他参数不变 ： ｔ∞） Ｎ Ｏ ） 不相关 。ｔ ８ （ ， （， ， 与 ｖ￣ ８ 分