平面向量常见题型汇编4 平面向量的投影问题

平面向量的投影问题

数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）

（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题

1. 定值问题

例题1： 已知向量满足

，且，则在方向上的投影为 解析：考虑b 在a

上的投影为

a b b

⋅，所以只需求出a b ⋅即可。由a a b ⊥+ 可得：

()

2

0a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以9a b ⋅=-。进而

9223

a b b

⋅-=

=-

变式1： 两个半径分别为12,r r 的圆,M N ,公共弦AB 长为3，如图所示，则

AM AB AN AB ⋅+⋅=__________.

分析：AB 为两个圆的公共弦，从而圆心,M N 到弦AB 的投影为AB 的中点，进而,AM AN 在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算AM AB ⋅和AN AB ⋅时可利用向量的投影定义。 解析：取AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MT AB NT AB ⊥⊥

21922AM AB AT AB AB ∴⋅=⋅== 219

22

AN AB AT AB AB ∴⋅=⋅==

9AM AB AN AB ∴⋅+⋅=

,a b 3,23a b ==()

a a

b ⊥+b a

例题2： 如图，在ABC 中，4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高，则

AD AC ⋅的值等于

解析：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以2

AD AC AD ⋅=，只需求出

ABC 的高即可。由已知可得sin 2AD AB ABC =⋅=，所以2

4AD AC AD ⋅==

变式2： 如图，O 为ABC 的外心，4,2,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅的值为

解析：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ， 所以AO 在,AB AC 上的投影为11

,22

AP AB AQ AC ==，而M 恰好为BC 中点， 故考虑()

1

2

AM AB AC =

+， 所以()()

2211111

+522222AM AO AB AC AO AB AO AC AO AB AC ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅== ⎪⎝⎭

2. 范围问题

例题3： 若过点()1,1P 的直线l 与2

2

:4O x y +=相交于

,A B 两点，则OA OB ⋅的取值范围是_______

解析：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线，

垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OB OA ⊥时，

0OA OB ⋅=，AB 位于其他位置时，D 点始终位于OA 的反向延长线上，OA OB OA OD ⋅=-⋅，故

0OA OB ⋅<，故()

max

0OA OB

⋅=，下面寻找最小值，即DO 的最大值，可得当B 在OA

上的投影与C 重合时，DA 最大，即为AC ，此时直线OP 即为直线AB 。所以

()

2min

4OA OB OA OD OA OC r ⋅=-⋅=-⋅=-=-。进而OA OB ⋅的范围是[]4,0-

变式3： 已知1,3OA OB ==

，且,OA OB 的夹角为150，

点C 是AOB 的外接圆上优弧AB 上的一个动点，则OA OC ⋅的最大值是________

分析：题中OA 的模长为定值，考虑OA OC ⋅即为OA 乘以OC 在OA 上的投影，从而OA OC ⋅的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当MC 与OA 同向时，投影最大。 即()

max

OA OC

OA OD ⋅=⋅，只需计算OD 的模长即可

解析：当MC 与OA 同向时，OC 在OA 上的投影最大，()

max

OA OC

OA OD ∴⋅=⋅

在AOB 中，2

2

2

2cos 7AB OA OB OA OB AOB =+-=，7AB ∴=

7

2271sin 2

AB R AOB

∴=

=

= 即7R =

11

722

OD ON ND OA R ∴=+=

+=+，()

max

1

72

OA OC OA OD ∴⋅=⋅=

+ 例题4： 如图，菱形ABCD 的边长为2,60,A M ∠=为DC 中点，若N 为菱形内任意一点（含边界）

，则AM AN ⋅的最大值为

分析：菱形AM 方向大小确定，在求数量积时可想到投

影定义，即AM 乘以AN 在AM 上的投影，所以AM AN ⋅的最大值只需要寻找AN 在

AM 上的投影的最大值即可，而A 点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在AM 投影

距离A 最远的，结合图像可发现C 的投影距离A 最远，所以()

max

AM AN AM AC ⋅=⋅，

再由,AD DC 表示后进行数量积运算； 解析：()

()()()

max

12AM AN

AM AC AD DM AD DC AD DC AD DC ⎛⎫

⋅=⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭

2

213

922

AD DC AD DC =++⋅=

变式4： 如图，在等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，P 点是ABC 内（包括边界）任一点，则AN MP ⋅的取值范围是____________ 解析：因为P 点为ABC 内任一点，所以很难用定义表示出

AN MP ⋅，考虑利用投影定义。由AN 长为定值，可得AN MP

⋅为AN 乘以MP 在AN 上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过M 作AN 的垂线，则M 点的投影为F ， 当P 在B 点时， MP 在AN 上的投影最大且为线段FE 的长，

当P 在A 点时， MP 在AN 上的投影最小，为AF -，分别计算相关模长即可。 在图中有条件可得：5,1AN CN BN === BE AE ⊥，

Rt ACN Rt BEN ，则

5=

5

AN NE NE CN

BN

=

⇒，6

55AE AN NE =+=，