【初中数学课件】圆的切线ppt课件
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分析：∵PA过⊙O上一点A，要证PA为切线，只要证PA⊥AO，为此，作
直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可。
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
（2） ∠O=68.5°， ∠A=21.5°;
（3）tgA=
3 3
B
O
A
返回
练习3 Rt△ABC内接于⊙O, ∠A=30°。 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径， 求证：DC是⊙O的切线。
C
A
.
O
B
D
返回
1．判断： (1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线
l
O
P
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O D 几何语言
2.与半径垂直
切线的判定定理
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
OD是⊙O的半径 OD⊥l于D
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和 “垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
是圆的切
(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切 线
(3)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 (4)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心，直角边的一 半为半径的圆，与 两条直角边相切。
小结
一 判定一条直线是圆的切线有三种方法 1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3，根据例1圆心到直线的距离等于半径
2．如图(10)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝ BC，E和F分别
为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切。
分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证
明OH等于直径EF的一半。
动画演示
3．如图，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC， 求证：PA是 ⊙O的切线。
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
=180°－(60°+30°)
=90°
∴ AB是⊙O的切线
题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相
例2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB 的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝ 30°，求证：DC是⊙O的切线。
C
证明：连OC、BC， ∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30° A
∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形
O
B
D
∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°
∴∠DCO＝90°
∴DC⊥OC
∴DC是⊙O的切线。
例3．已知：如图,⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，
OC⊥AB于C，OB＝4 cm，OA＝2 cm，
例4:当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线
已知：⊙O的圆心O到直线l 的距
离等于⊙O的半径r。
求证：直线l 是⊙O的切线
O
证明：过点O作OA⊥l ，A为垂足。
∵OA＝d=r ∴点A在⊙O上
A
∴OA是⊙O的半径
∴ l 是⊙O的切线
题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有 明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距 离等于半径”
求证：AB与⊙O相切。
证明：∵OA⊥OB，OC⊥AB
∴△AOB是直角三角形 又∵OA＝2 cm，OB＝4 cm
∴AB＝10 根据三角形面积公式有：AB·OC＝OA·OB ∴OC＝ 4(cm)，OC是⊙O的半径。 直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于
半径OC所 以AB与 ⊙O相切。
题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半 径”，即可得直线与圆相切。
如图,△ABC内接于⊙O，∠B＝∠C，小圆与 AB相切，求证：AC为小 圆的切线。
证明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D 设小圆的半径为r。
(
∵∠B＝∠Hale Waihona Puke Baidu，∴AB＝AC，
∴OD＝OE
又∵AB与大圆相切， ∴OD＝r，∴OE＝r
故由切线判定定理知，AC为小圆切线。
练习1 已知点B在⊙O上。根据下列条件， 能否判定直线AB和⊙O相切？
二 添辅助线的方法 1，已知直线与圆有交点， 连接圆心与交点 2，没有明确的公共点， 过圆心作直线的垂线段
1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，
如图，求证：DE是⊙O的切线。
动画演示
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，
再证明DE⊥OD。
【初中数学课件】圆的切线ppt课件
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。
O
其中的直线叫做圆的切线。
A
唯一的公共点叫做切点。
已知⊙O和⊙O上的一点D， 如何过点D画⊙O的切线？
不妨在直线l 上任意取一点P （点D除外），连结OP， 则OP＞OD ∴点P在⊙O外 ∴l 与⊙O只有一个交点D。 ∴l 与⊙O相切
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
关于切线的判定问题，常见类型 有：
例1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于 C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝ 30°。求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
直径AD，并连结CD，只要证PA⊥AD即可。
（1）OB=7，AO=12，AB=5；
（2） ∠O=68.5°， ∠A=21.5°;
（3）tgA=
3 3
B
O
A
返回
练习3 Rt△ABC内接于⊙O, ∠A=30°。 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径， 求证：DC是⊙O的切线。
C
A
.
O
B
D
返回
1．判断： (1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线
l
O
P
根据作图直线l是切线满足两个条件 1.经过半径的外端
O D 几何语言
2.与半径垂直
切线的判定定理
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线
OD是⊙O的半径 OD⊥l于D
l是⊙O的切线
说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端”和 “垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，
是圆的切
(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切 线
(3)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 (4)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心，直角边的一 半为半径的圆，与 两条直角边相切。
小结
一 判定一条直线是圆的切线有三种方法 1 根据定义直线与圆有唯一的公共点 2 根据判定定理 3，根据例1圆心到直线的距离等于半径
2．如图(10)，已知在△ABC中，AD⊥BC于D，AD＝ BC，E和F分别
为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作⊙O，求证：⊙O与BC相切。
分析：要证明以EF为直径的⊙O与BC相切，只要过O作OH⊥BC于H，证
明OH等于直径EF的一半。
动画演示
3．如图，△ABC内接于⊙O，P、B、C在一直线上，且PA2＝PB·PC， 求证：PA是 ⊙O的切线。
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
=180°－(60°+30°)
=90°
∴ AB是⊙O的切线
题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相
例2．已知：如图，AB是⊙O的直径，D在AB 的延长线上，BD＝OB，C在圆上，∠CAB＝ 30°，求证：DC是⊙O的切线。
C
证明：连OC、BC， ∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30° A
∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形
O
B
D
∴BD＝OB＝BC，∠D＝∠BCD＝30°
∴∠DCO＝90°
∴DC⊥OC
∴DC是⊙O的切线。
例3．已知：如图,⊙O的半径为4cm，OA⊥OB，
OC⊥AB于C，OB＝4 cm，OA＝2 cm，
例4:当圆心到直线的距离等于圆的半径 时，该直线是这个圆的切线
已知：⊙O的圆心O到直线l 的距
离等于⊙O的半径r。
求证：直线l 是⊙O的切线
O
证明：过点O作OA⊥l ，A为垂足。
∵OA＝d=r ∴点A在⊙O上
A
∴OA是⊙O的半径
∴ l 是⊙O的切线
题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有 明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距 离等于半径”
求证：AB与⊙O相切。
证明：∵OA⊥OB，OC⊥AB
∴△AOB是直角三角形 又∵OA＝2 cm，OB＝4 cm
∴AB＝10 根据三角形面积公式有：AB·OC＝OA·OB ∴OC＝ 4(cm)，OC是⊙O的半径。 直线AB经过半径OC的外端C，并且垂直于
半径OC所 以AB与 ⊙O相切。
题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半 径”，即可得直线与圆相切。
如图,△ABC内接于⊙O，∠B＝∠C，小圆与 AB相切，求证：AC为小 圆的切线。
证明：作OE⊥AC于E，OD⊥AB于D 设小圆的半径为r。
(
∵∠B＝∠Hale Waihona Puke Baidu，∴AB＝AC，
∴OD＝OE
又∵AB与大圆相切， ∴OD＝r，∴OE＝r
故由切线判定定理知，AC为小圆切线。
练习1 已知点B在⊙O上。根据下列条件， 能否判定直线AB和⊙O相切？
二 添辅助线的方法 1，已知直线与圆有交点， 连接圆心与交点 2，没有明确的公共点， 过圆心作直线的垂线段
1．已知：在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，
如图，求证：DE是⊙O的切线。
动画演示
分析：因为DE经过⊙O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD，
再证明DE⊥OD。
【初中数学课件】圆的切线ppt课件
当直线与圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。
O
其中的直线叫做圆的切线。
A
唯一的公共点叫做切点。
已知⊙O和⊙O上的一点D， 如何过点D画⊙O的切线？
不妨在直线l 上任意取一点P （点D除外），连结OP， 则OP＞OD ∴点P在⊙O外 ∴l 与⊙O只有一个交点D。 ∴l 与⊙O相切
下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线 不是圆的切线：
关于切线的判定问题，常见类型 有：
例1：如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于 C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝ 30°。求证：直线AB是⊙O的切线
证明：连结OB
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30°