随机过程电子科大考博试题
随机过程复习题及答案1
kh da
w.
co
m
2-69(P99)
2-70(P99)设 X [ n] 为独立同分布随机变量序列，定义离散时间随机过程
M [n] =
试求 M [ n] 的均值、方差和协方差。
课 后
X [1] + X [2] + ... + X [n] n
答
案
网
ww w.
kh da
w.
co
m
2-71(P100)
P{ X < Y } = ∫ P{ X − Y } = ∫
0 ∞
∫ ∫
0
2e − x e − 2 y dxdy =
y +10
0
0
课 后
P{ X 2 < Y } = ∫
∞
0
∫
0
2 2e − x e −2 y dxdy = 1 − e −10 3 1 y π 8 2 2e − x e − 2 y dxdy = 2 + e ( 2crf ( ) − 2 ) 4 4
2.5(P93) 已知集合S={1，2，3，4，5}，试给出三个定义于集合S上的Borel集。 解：根据Borel集的定义，可以在S上定义如下Borel集：
_
B1 = {∅ , S} B2 = {∅ , S, {1}, {2, 3, 4, 5}}_ B3 = {S的所有子集}
其中集合B3一共有32个元素，包括空集和全集。 2.17(P94) 某实验室从A B C三个芯片制造商处购得某芯片，数量比为1：2：2.已知ABC三个芯 片制造商的芯片次品率分别为0.001，0.005和0.01。若该实验室随机使用的某芯片是次品，向该 次品芯片购自制造商Z或C的概率分别是多少？ 解：用符号D表示芯片为次品这个事件，ABC分别表示芯片购自ABC三个芯片制造商，由Bayes 共识知道
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (6)
§2.2 维纳过程维纳过程是最基本、最简单同时又是最重要的随机过程, 而且许多过程可以看成是它在某种意义下的推广, 现已广泛应用于物理、经济、通信、生物、管理科学与数理统计中.维纳过程的研究成果应用于计量经济学，使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用于非平稳的经济过程，如变化激烈的金融商品价格的研究等.12将一个小球投入无限大高尔顿钉板内,小球各以的概率向左或向右移动一格.21EX.1(高尔顿钉板模拟试验)演示随机游动数学模型3⎩⎨⎧−=.1;,1)(层向左位移一格在第，层向右位移一格在第k k k X P {X (k )=i }－1 1X (k )2/12/1{X (k ), k ∈N +}是一个独立随机过程,令∑==n k k X n Y 0),()(小球在第n 次碰撞后所处位置{Y(n),n ∈N +}是一个平稳独立增量过程.4(),0][)]([1==∑=nk k X E n Y E 均值函数为,)]([)]([1∑===nk n k X D n Y D 方差函数为由独立同分布中心极限定理知)()()(1y y n k X P y n n Y P n k Φ→⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=∞→n as ",2,1,)()(*==n nn Y n Y 即依分布收敛于标准正态分布随机变量.2.2.1 维纳过程的数学模型及定义维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运动规律时建立的随机游动数学模型.在一条直线上的简单对称的随机游动.设一粒质点(花粉)每隔时间Δt, 随机地以概率p =1/2向右移动Δx(>0), 以概率q =1/2向左移动一个Δx, 而且每次移动相互独立. 56x t x t +Δxx t －Δx p =1/2q =1/2",2,1.,1,,1=⎩⎨⎧−=i i i X i ，次向左移动第次向右移动第记则t 时刻质点的位置为)(][21t t t X X X x X ΔΔ+++="取整运算()0,i E X =因()0,t E X =故2()()[]t t D X x t =ΔΔ2()()1,1,2i i D X E X i ==="7][)()(,0)(2tt x X D X E t t ΔΔ==故实际粒子的不规则运动是连续进行的, 考虑的情形.0→t Δ由物理实验结论,可假定0).x t c Δ=Δ>为常数(1)有并令代入上式0,→t Δt c tt t c t t x X D t t t t 220200][lim ][)(lim )(lim ===→→→ΔΔΔΔΔΔΔ0)(lim 0=→t t X E Δ和显然X 0= 0.(2)8又因由泛函中心极限定理, 对任意的有对任意t >0 )(][21t t t X X X x X ΔΔ+++="可看为个相互独立同分布的随机变量之和,][t tΔ(3)0,[]t t tΔ→→∞Δ时0,>∈t R x }0,{>t X t 故过程是平稳独立增量过程.)(Φ}0{lim }{lim 2][0020x x tc X x P x t c X P i t t i t t t =≤−=≤∑=→→ΔΔΔΔ即当时, X t 趋于正态分布N (0, c 2t ).0→t Δ(4)9定义2.2.1若随机过程满足}0,{≥t W t (1) 平稳独立增量过程;(2) 对任意t >0, );0(),0(~2>σ，σt N W t 1}0{)3(0==W P 称{W t ,t ≥0}是参数为σ2的维纳过程.D (W t )随时间的推移而增大特别当σ=1，称{W t ,t ≥0}是参数为σ2的标准维纳过程.101.一维分布：W t ～N (0,σ2t )；2.增量分布：W t －W s ～N (0,σ2|t －s |);设t ＞s,因W 0=0, 且W t 是平稳独立增量过程，故有相同分布N (0,σ2(t－s )).2.2.2 维纳过程的分布及性质ss s t s t W W W W −=−+−0t s t sW W W −−−=与11证设维纳过程{ W ( t ),t ≥0}的参数是σ2，,121n t t t n <<<≥"及任取nk W W X W X k k t t k t ,,3,2,ˆ,ˆ111"=−==−n k t t N X k k k ,,2,1)),(,0(~12"=−−σX 1, X 2…, X n 相互独立, 且k t X X X W k +++="21则有独立增量过程是可加过程定理2.2.1维纳过程是正态过程.分析需证对任意的,0121n t t t n <<<<≥"及T t t t nW W W ),,,(21"服从n 为联合正态分布.12⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=000O #⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=−)()(B 1212212n n t t t t t σσσ%随机向量可表示为T t t t n W W W ),,,(21"T n X X X ),,,(21"的满秩线性变换:其中故服从n 维联合正态分布N (O,B). T n X X X ),,,(21"13⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n t t t W W W #21⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111001110001100001#####⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n X X X #21由正态分布的线性变换不变性可知Tt t t n W W W ),,,(21"或CXW =满秩矩阵是非退化n 维正态随机向量.14由维纳过程的定义可得1. E (W t )=0, D (W t ) =σ2t ;2. C (s, t )=R (s,t )=σ2min (s,t )维纳过程是平稳独立增量过程(性质1.3.1)根据定理2.1.3之推论1可知的均值向量为CO=O, 协方差矩阵为Tt t t n W W W ),,,(21"ΓW = CBC T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n t t t t t t t t t 22212222212121212σσσσσσσσσ"#%##""维纳过程的数字特征15故维纳过程的n 维联合概率密度为=),,,(21,,,21n t t t x x x f n ""⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−X X 1W 21W2Γτ21exp Γ2π1n 其中.),,,(21T n x x x "=X 一维概率密度为R x t x t x f t ∈−=},2exp{21)(22σσπ16EX.2设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程, 求下列过程的均值函数和相关函数.1) X (t )=W 2(t ), t ≥0；.0),1()()2>=t t tW t X 解1）m X (t )=E [X (t )]=E [W 2(t )]=D [W (t )]+{E [W (t )]}2= σ2t.)]()([)]()([),(22t W s W E t X s X E t s R X ==})]()()()[({22s W s W t W s W E +−=( s <t )17)]}()()[({2)]([})]()()[({3422s W t W s W E s W E s W t W s W E −++−=)]([})]()({[)]([422s W E s W t W E s W E +−=独立增量)),(min 2(),(24t s st t s R X +σ=故)2(3)(242422s st s s t s +=+−=σσσσ)]()([)]()([),(22t W s W E t X s X E t s R X ==})]()()()[({22s W s W t W s W E +−=( s <t )另因若X ～N (0,σ2), 有⎪⎩⎪⎨⎧=−−σ=="""6,4,2,1)3)(1(,5,3,1,0)(n n n n X E n n18.0,0)]1([)]([)()2>===t t W tE t X E t m X )]1()1([)]1()1([),(t W s W stE t tW s sW E t s R X ==).,min()1,1min(22t s t s st σσ==EX.2设{W (t ), t ≥0}是参数为σ2的维纳过程, 求下列过程的均值函数和相关函数.1) X (t )=W 2(t ), t ≥0；.0),1()()2>=t ttW t X19定理2.2.2 (判断正态过程是否为维纳过程的充分必要条件)0),,min()(2>=C t s C W W E t s 且轨道连续, 则{Wt , t ≥0}是维纳过程, 反之亦然.轨道连续: 过程的样本函数是连续函数.结论维纳过程{W t ,t ≥0}几乎所有样本函数都是连续的. 即存在A Ω, P (A )=1, 使ω∈Ω时,W t (ω)在[0, ∞)上连续.⊂设{W t , t ≥0}是正态过程, W 0= 0, 对任意t , s >0 有E (W t )= 0 及20思考题设是参数为σ2的维纳过程，a 为一正常数，令}0),({≥t t W 0)()()(≥−+=t t W a t W t X 试讨论是否为正态过程, 是否为维纳过程.}0),({≥t t X21泛函中心极限定理(functional central limit zheorem) 设随机变量序列{X t ,t =1,2, …}是相互独立同分布的，且满足：;0)()1=t X E ;)()()222∞<==σt t X E X D 设r 为闭区间[0, 1]上的任一正实数，则统计量∑==][1)(Tr t tT X r R ).()(,r W r R T as T 弱收敛于∞→r满足：rW其中]1,0[),(∈（1）W(0)=0;（2）E{W(t)}=0;（3）W(t)～N(0,σ2t ), (σ＞0).（4）具有独立平稳增量;22。
西安电子科技大学2011秋研究生随机过程试题
课程编号： 0721001 考试日期：考试日期： 2012 年 1 月 4 日考试时间： 150 分) 任课教师：任课教师：任课教师： 班号班号-saa a a a wE X l.i.ml.i.m X X lim )2C T T t -ò))22C TTTT-=-òò(2) 求状态5的首达概率(2)55f 和(5)55f以及计算511j jjm =å。
七. （12 分） 设j 为一齐次马尔可夫链的常返状态且周期为d ，则一定有，则一定有()lim nd jjn jjdp m ®¥=，其中jj m 为状态j 的平均返回时间。
的平均返回时间。
证明下面的问题：证明下面的问题：(1) 状态j 为零常返当且仅当()lim 0n jjn p®¥=。
(2) 状态j 为遍历的当且仅当()1lim 0n jjn jjpm®¥=>。
八. （12 分）分）设齐次马尔可夫链设齐次马尔可夫链{},0,1,2,...n X X n ==的状态空间{1,2,3,4,5,6}S =，且其且其 一步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵为0.60.400.6000.400.10.10.10.10.50.1 00.20.20.40.2 0 00.2 0 00.8 00.4 0 0 0 00.6P éùêúêúêú=êúêúêúêúëû （1）试对状态空间进行分解。
）试对状态空间进行分解。
（2）问平稳分布是否存在？如果存在试求出所有的平稳分布。
（3）设初始分布0(), i P X i i S p ==Î，其中{}1261111,,...,,,0,0,,4634p p p ìü=íýîþ，求概率，求概率(1)?, =1,2,n P X n ==和概率1(1,2)?, =1,2,3,...=1,2,3,...n n P X X n +===。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第三章作业
(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2
2014西安电子科技大学随机过程考试
西安电子科技大学研究生课程考试试题考试科目：随机过程考试日期：2015年1月13日考试时间：150分考试方式：（闭卷）任课教师：班号：学生姓名：学号：一．（10分）在华为公司上班的小吉某日（t=0）开通了支付宝账户，在时间段[0,t]内他向该账户内转了N t次账。
假设N={N t:t≥0}是参数为λ的Poisson过程，每次转账的金额相互独立，转账次数和转账金额也独立。
根据经验，一次转账为1000元、1200元和1500元的概率分别为1/2、1/3和1/6。
若Y t表示到t时刻为止小吉转入支付宝账户的总金额。
求（1）Y t的特征函数φt(u)。
（2）Y={Y t:t≥0}的均值函数m Y(t)。
二．（20分）设W={W t:t≥0}是一个标准布朗运动，即初值为0，具有平稳独立增量性，t(t>0)时刻的状态W t:N(0,t)。
若设X t=e−αW t（实常数α≠0），称X={X t:t≥0}是几何布朗运动。
（1）求X的自协方差函数C x(s,t)(s<t)。
（2）问X是否具有平稳增量性，并给出证明。
三．（20分）1.设某天文台观察到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星。
试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率。
（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数。
2.设脉冲到达计数器的规律符合到达率为λ的泊松过程。
每个到达的脉冲被记录的概率为p，且脉冲是否被记录是相互独立的。
令X t表示直到t(t≥0)时刻已被记录的脉冲数。
（1）计算P(X t=k),k=0,1,2,⋯。
（2）X={X t,t≥0}是否为泊松过程？若是请给出证明。
四．（20分）设实平稳过程X={X t,t≥0}的均值函数为零，相关函数为R x(τ)=e−|τ|,τ∈(−∞,+∞)。
令Y t=X t+cos(ωt+θ)，其中ω为常数，θ是与随机过程X独立的且服从[0,2π]上均匀分布的随机变量。
2004年秋季电子科技大学考博英语真题试卷(题后含答案及解析)
2004年秋季电子科技大学考博英语真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. Structure and V ocabulary 2. Reading Comprehension 3. Cloze 4. English-Chinese Translation 5. WritingStructure and V ocabulary1．Obviously these are all factors affecting smooth operation, but the underlying problem is still to be identified.A．operationalB．fundamentalC．operatingD．underneath正确答案：B解析：本题中，underlying的意思是“在下面的，根本的，潜在的”。
四个选项中，fundamental的意思是“基础的，根本的”，如：a fundamental difference between their aims(他们目标的根本差异)。
operational的意思是“操作的”；operating的意思是“运行的，操作的”；underneath的意思是“下面的”。
只有B 项符合题意。
2．If you can convince the interviewer of your special qualifications, your chance of being accepted will be greatly enhanced.A．appreciatedB．encouragedC．frustratedD．increased正确答案：D解析：本题中，enhanced的意思是“提高，增强”。
四个选项中，increased 的意思是“增强的”，如：My wages have increased this year．(我的工资今年增加了)。
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第四章作业
为独立增量过程 Y (n )
∴ Y (n ) 为马氏链
Y (0 ) = 0
Pij (m , k ) = P { Y (m + k ) = j Y (m ) = i } = P{ Y (m + k ) − Y (m ) = j − i Y (m ) − Y (0 ) = i } m+k = P ∑ X (i ) = j − i i= m +1
16 8 ) λ (17 41 , 41 , 41 放在 A 处好
1 1
1 1
习题十三
1 1 2 3 4 5 . . ∞
1 2
习题十四
2
1 1 2 2
3 0
1 1 2 2
4 0 0
1 1 2 2
5 0 0 0
1 1 2 2
6 0 0 0 0
1 2
7 ........
∞
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
1
=
1
2
p
a −1
+
p
a +1
p (a + b ) − p (a + b − 1 ) = p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) p (a + b − 1 ) − p (a + b − 2 ) = p (a + b − 2 ) − p (a + b − 3 . p (a . p( 1 ) − p (0
0 0 0
+ + +
0 0 0 0 0 0
1 1 1
3 3 3
× 60 × 10 × 10
7 7 7 30 30 30
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (1)
5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构，需对其状态按概率特性进行分类，状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见，从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态，而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4，记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率；5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有，及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1）显然ii 1i 2j2）分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注：若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={－1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式：,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命，有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式，任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使，若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使，存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零，故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常，“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ，若f ii <1，称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1，称状态i 是常返的；若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ，若μii <+∞, 称状态i 是正常返的；进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。
2016年桂林电子科技大学考博试题3004数字信号处理
2.在对连续信号进行均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率 s 与信
号最高截止频率 h 应满足关系
。
（1） s 2h
（2） s h
（3) s 2h
(4) s h
3. 以下对实平稳随机过程 X (t) 的自相关函数 RX ( ) 的论述不正确的是
是
， X (t0 ) 是
， A0 cos(0t ) 是
。
（1）样本函数 （2）随机过程
（3）随机变量
7．下面哪一种滤波器能用于处理非平稳随机信号？
（1）维纳滤波器
（2）卡尔曼滤波器
第1页共5页
8. 特征分解法进行谱分析时，要划分出信号子空间和噪声子空间，组成噪声子空间的特征向
量对应于自相关矩阵的
白噪声过程 w(n) 激励时，它们的输出功率谱密度 Sxx (z) 和 Sxx () 的公式。
4．写出经典谱估计中周期图法的谱估计公式，并说明经典谱估计存在哪些缺点？ 5. 写出用自相关序列的离散傅里叶变换表示的离散随机序列功率谱密度公式，同时写出逆变
换公式。
四、 计算题（共 41 分）
1.（6 分）设一个 AR（3）模型为 x(n) 0.9x(n 1) 0.36x(n 2) 0.145x(n 3) w(n) ，
求与其等价的 ARMA（1，1）模型的参数。
2.
（6
分）考虑随机过程
x(n)
A exp(n0
)
w(n)
，其中
w(n)
是均值为零、方差为
2 w
的高斯白噪声， 是在区间[ , ]上均匀分布的随机变量， A 和 是常量。求 x(n) 的
自相关序列及其功率谱密度。
电子科技大学随机信号分析中期考题2006随机（A）
电⼦科技⼤学随机信号分析中期考题2006随机（A）1.设随机过程21)(cos )(2-Θ+=t t X ω，Θ是随机变量，其特征函数为)(υφΘ。
证明：)(t X 是⼴义平稳随机过程的充要条件是0)4()2(==ΘΘφφ。
证明：（1）)(t X 的均值为：()21()[()][cos ()]2111[1cos 2()][cos(22)]22211cos(2)[cos(2)]sin(2)[sin(2)]22X m t E X t E t E t E t t E t E ωωωωω==+Θ-=++Θ-=+Θ=Θ-Θ由上式可知，当且仅当0)]2sin()2[cos(][)2(2=Θ+Θ==ΘΘj E e E j φ时，()0X m t =，才与t ⽆关。
（2）)(t X 的相关函数为：22(,)[()()]11[(cos ())(cos ())]2211[cos(222)cos(22)]22[cos(2)][cos(424)]811cos(2)cos(42)[cos(4)]881sin(42)][sin(4)]8X R t t E X t X t E t t E t t E E t t E t E ττωωτωωωτωωτωωτωτωωτωωτ+=+=++Θ-+Θ-=++Θ?+Θ+++Θ==++Θ-+Θ同理可得，当且仅当0)]4sin()4[cos(][)4(4=Θ+Θ==ΘΘj E eE j φ时，)cos(21),(ωττ=+t t R X 与t ⽆关。
2.设随机过程)sin()(0Θ+Ω=t A t X ，其中0A 为常数，ΘΩ和为相互独⽴的随机变量，Ω在]2010[ππ内均匀分布，Θ在]20[π内均匀分布。
证明：（1） )(t X 是⼴义平稳随机信号；（2） )(t X 的均值是各态历经的。
解：（1）00000[()][sin()][sin()cos()cos()sin())][sin()][cos()][cos()][sin())]0E X t E A t E A t A t A E t E A E t E =Ω+Θ=ΩΘ+ΩΘ=ΩΘ+ΩΘ= 202020(,)[()()][sin()sin()]cos()cos(22)2cos()2X R t t E X t X t A E t t t A E A E ττττττ+=+=Ω+Ω+ΘΩ+ΘΩ-Ω+Ω+Θ??=Ω??=所以)(t X 是⼴义平稳随机信号（2）[]00000001[()][sin()]lim sin()lim sin()lim cos()|0TT T T T T A X t A A t A t dtT A A t d t t T T →+∞→+∞→+∞=Ω+Θ=Ω+Θ=Ω+ΘΩ=-Ω+Θ=ΩΩ时间平均等于统计平均，所以)(t X 的均值是各态历经的。
2012秋研究生随机过程试题
三. （15 分）设 1 , 2 ..., n ,... 为一列独立同分布的离散型随机变量并且仅取值于 1, 1 以
及对应的分布律为 P 1 1 P 1 1 0.5 。定义离散时间随机过程：
Sn k ,
k 1
n
n 1, 2,3,...
试完成以下问题： (1) 计算过程 S Sn : n 1, 2,3,... 的协方差函数。 (2) 证明过程 S Sn : n 1, 2,3,... 是一个齐次马氏链。 (3) 设泊松过程 N Nt : t 0 与过程 S Sn : n 1, 2,3,... 相互独立， 试画出复合泊松过 程 S Nt : t 0 的一条样本轨道（假设 S0 0 ） 。
西安电子科技大学
研究生课程考试试题
考试科目： 随机过程 课程编号： 日 考试时间： 0721001 150 班号 学 号： 分
考试日期： 2013 年 1 月
考试方式：( 闭卷) 任课教师： 学生姓名：
一.（15 分）设 W Wt : t 0 是一个标准布朗运动。定义随机过程：
X t t W2t ,
七. （8 分）设 i 是齐次马氏链的常返状态，令
S (i) { j : i j}
证明： S (i ) 是不可约闭集。 八. （15 分）设齐次马尔可夫链 X X n , n 0,1, 2,... 的状态空间为 S {0,1, 2,3, 4,5, 6} ， 一步转移概率矩阵为
t
独立的离散型随机变量，且有 P ( 1) P ( 1) 0.5 。 试完成以下问题： （1）计算 X= {X t , t 0} 的相关系数，并判断 X = {X t , t 0} 的功率谱密度。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
电子科技大学-信息论课件及历年考题
根据上凸函数定义，如果I(X;Y)在定义域内对
p(xi)或p(x)的极值存在，则该极值一定是极大
值。信道容量就是在固定信道情况下，求平均
C max I ( X ; Y )
互信息极大值的问题，即
p ( xi )
•I(X;Y)又是信道转移概率分布
11/100，可知相应的信息传输速率为：
89
R P (ai ) log
i 1
1
1
P (a90 ) log
P (ai )
P (a90 )
1
11
100
log100
log
100
100
11
log100 0.11log11
89
6.264 (bit / s )
比较 R’与无失真传输条件下的信息率R ,
例：设信源具有一百个以等概率出现的符号a1， a2，…，
a99，a100，并以每秒发出一个符号的速率从信源输出。试
求在允许失真度D＝0.1条件下，传输这些消息所需要的最
小信息率。
信源
a1, a2,..., a99,
a100
a1～a100
a1～a90
试验信道
{p(yj|xi)}
失真信
(a) 源
无扰离散
率P(yj|xi)为零时，所对应的dij为无限大）
该失真信源的组合方案的平均失真函数为：
d
P( x )P( y
i
j
| x i )d ij
XY
P( x )P( y
i
X 1Y1
j
电子科大 应用随机过程及应用 (陈良均 朱庆棠)第五章均方微积分作业
由于 R (s , t )在 ( t , t ) 连续 ⇒ X ( t ) 均方连续 ⇒ X ( t ) 均方可积 R (t + h , t + k ) − R (t , t + h ) − R (t , t + k ) + R (t , t ) lim h → 0 ,k → 0 hk 1 1 1 1 − 2 − 2 + 2 2 2 2 2 + + a h a k a a + (h − k ) 令h = k = hk 1 1 2 2 − 2 2 2 h2 a + h a lim = lim = h → 0 ,k → 0 h→ 0 h 2 a 2 a 2 + h 2 h2 2 = 4 < ∞ ⇒ X(t) 均方可导 a
E [Y 2 ] = = 1 4T 2
s
3
σ
s
2
(3 t
6
2
C
2
s
2
3 (3 t − s 6 f
)
σ
1
t
3
3 2 π tσ e
− s ) , s ≤ t时
2
∫ ∫
−t
t
t
−t
e
−2λ t − s
dsdt
一维分布
(t , s ) =
ϕ
exp
σ
2
x − 2σ
2
2 2
t
σ
ts
2
∫
0
dv
∫ ∫
v 0 t
udu
σ
ts
2
∫
t 0
dv
vdu
2
m X (t )m X (s ) =
电子科大随机过程总结 第2章 随机过程
������ + ������维联合分布函数
������1 −∞
������������
������1
������������
=���������������� (������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ , ������1 , ⋯ , ������������ )������������������������
+∞
互相关函数
−∞ −∞
∑ 均值函数（数学期望） ������(������) = ������[������(������)] =
+∞
������=1
������������ ������������ (������) ,
离散型 互协方差函数 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ������������1 ������2 (������, ������) = ������������1 ������2 (������, ������) − ������������1 (������)������ ������2 (������)
������
（离散参数）链 （连续参数）链
随机过程 一维分布函数 一维概率密度函数 特征函数 二维随机分布函数 二维概率密度函数
复随机过程 均值函数 方差函数
������(������) = ������(������) + ������������(������) ������������ (������) = ������������ (������) + ������������������ (������) ������������ (������) = ������������ (������) + ������������ (������)
电子科技大学随机信号分析中期考题07B卷
1． 两个联合平稳的随机过程为：()()()()00X cos Y sin t a t t b t ωω=+Θ=+Θ其中a 、b 、0ω皆为常数，Θ是在[]0,2π上均匀分布的随机变量。
试求互相关函数()()XY YX R R ττ和，并说明互相关函数在0τ=时的值具有什么意义。
解：()()()()()()()()()()()()()0000000Y X 0c o s s i n s i n 22s i n 2sin 2sin 2XY XY R E X t Y t E a t b t abE t ababR R ττωωτωωωτωτωτττωτ=+⎡⎤⎣⎦⎡⎤=++Θ+Θ⎣⎦=++Θ-⎡⎤⎣⎦=--==()()YX 000XY R R ==，说明()()X t Y t 和在同一时刻正交，对于本题，()()0E X t E Y t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=，说明()()X t Y t 和在同一时刻还互不相关。
3、 设有平稳过程()cos()X t a t =Ω+Θ，其中a 为常数，Θ是在[0,2]π上服从均匀分布的随机变量，Ω是概率密度函数满足()()f f ωω=-的随机变量，且Ω与Θ相互独立。
求证()X t 的功率谱密度2()()X S a f ωπω=。
解：[](,)cos()cos()X R t t E a t a t ττ+=Ω+Ω+ΘΩ+Θ[]2cos(22)cos()2a E t ττ=Ω+Ω+Θ+Ω 由于Ω与Θ相互独立[]2,()0cos(22)cos(22)(,)0E t t f d d πωτωωτθωθθωΩΦ∴Ω+Ω+Θ=++=⎰⎰[][]22(,)cos(22)cos()=cos()22X a a R t t E t E ττττ∴+=Ω+Ω+Θ+ΩΩ2cos()()2a f d ωτωω∞Ω-∞'''=⎰由于()()X X R S τω⇔，所以2()cos()()2X a S f d ωωτωω∞Ω-∞⎧⎫'''=⎨⎬⎩⎭⎰F 2cos()()2j a f d e d ωτωτωωτ∞∞-Ω-∞-∞⎡⎤'''=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2cos()()2j a e d f d ωτωττωω∞∞-Ω-∞-∞⎡⎤'''=⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2()2a f d πδωωδωωωω∞Ω-∞''''=-++⎡⎤⎣⎦⎰由于(), ()f δωωΩ''为偶函数，所以()()20()a f d πδωωδωωωω∞Ω''''=-++⎡⎤⎣⎦⎰()20()a f d πδωωωω∞Ω''=-⎰2()a f πωΩ=得证。
电子科大16秋《随机信号与系统》在线作业3
电子科技大学电子科大16秋《随机信号与系统》在线作业3一、单选题（共10 道试题，共40 分。
）1. 随机信号X（t，w）当时间变量t固定是，此函数为（）。
A. 随机信号B. 随机变量C. 样本函数D. 随机过程正确答案：2. 连续投两次硬币，两次的结果是一样的概率是（）。
A. 1/4B. 1/8C. 1/2D. 1正确答案：3. 若N(t)是方差为a的零均值独立高斯过程，则它在不同的两个时刻的相关函数是（）。
A. 0B. aC. 不确定正确答案：4. 已知X(t)=Acos(wt+θ),其中θ在[0,2*pi]上均匀分布，A为常数，则X(t)的均值为（）。
A. 1B. AC. 0D. w正确答案：5. 随机变量X~N(0,a),那么Y=2X的均值为（）。
A. aB. 0C. 4aD. 不确定正确答案：6. 均值为零的白噪声通过LTI系统后的输出噪声的均值为（）。
A. 2B. 0C. 1D. 不确定正确答案：7. 已知X(t)=Acos(wt+θ),其中θ在[0,2*pi上均匀分布，A服从均值为0的高斯分布，A与θ相互独立，则X(t)的均值为（）。
A. 0B. AC. 1D. w正确答案：8. 高斯信号X(t)的均值为u,方差d2,Y(t)=3X(t),Y(t)的方差为（）。
A. uB. d2C. 3uD. 9d2正确答案：9. 随机信号X(t)均值为2，通过一个LTI系统H(jw)=1/(jw+2),则输出Y(t)的均值为（）。
A. 2B. 1C. 1/2D. 0正确答案：10. 已知一随机信号X(t)是平稳的，则其均值可能是（）。
A. 2tB. t+2C. 2D. 以上都不可能正确答案：16秋《随机信号与系统》在线作业3二、多选题（共5 道试题，共30 分。
）1. 以下哪个信号不是随机信号？A. sin(2t)B. cos(2t+θ),θ~U[0,2*pi)C. t+a,a是常数D. 2t正确答案：2. 随机变量X1和X2都是服从均值为0，方差为1的高斯分布的且它们相互独立，Y=X1+X2，对于随机变量Y，下列说法正确的是（）。