参照系变换

参照系变换

邓敛冰

前言

如果说力学是中学物理的根基，牛顿三定律是力学的基石，那么正交分解法、参照系变换则是运用牛顿三定律解决具体力学问题的两大支柱，是中学力学的两大基本分析方法，是力学的两条“腿”。离开前者，走不动，离开后者，跑不远！

只要具备一定物理基础知识和逻辑思维能力，经过几个课时全面系统的训练，要掌握这两大基本方法，难度并不大。

本文力求从基础知识、具体方法步骤两个方面，对参照系变换做一个相对系统的阐述，希望能起到一个抛砖引玉的作用。

一、基础知识

（一）相关概念、定义及其说明。

1、参照系：在研究物体运动的过程中，我们通常要选择一个系统（或者说物体）作为标准（认为该系统或物体是静止不动的），这个系统就叫参照系（或参照物）。

运动是相对的。一个物体是运动还是静止，物体的位移、速度、加速度的大小、运动的轨迹等均取决于参照系的选取。

参照系的选取是任意的。选择任何系统作为参照系，从

理论上讲都是允许的。但在中学物理中，参照系的选取要坚持三条原则：一是惯性原则。二是统一原则。就是说各物理量必须是相对同一参照系而言的，否则得不出正确的结论。三是有利原则。就是说参照系的选取要使运动的研究变得简单、清晰、明了，有利于问题的解决。参照系变换的目的也正在于此。不做特别说明时，我们一般默认地面为参照系。

在参照系变换中，对系统问题进行研究时，往往选择系统质心作为参照系，这就是所谓的质心系。质心系是参照系变换的重点和难点。选取质心作为参照系，不但能大大简化计算，也往往能使相对复杂的力学问题变得简洁、清晰、明了，使整个物理过程了然于胸。长期运用，不仅能加深对相关力学规律本质的认知，而且能使各力学知识点融会贯通，为高起点解决力学问题提供崭新的思路。它是沟通对力学现象感性认识与理性认识的桥梁，从根本方法上提高了把握和解决复杂力学问题的能力。深入掌握这一方法、思想，对深入学习、了解力学，提高力学整体思维能力具有里程碑式的意义！

2、惯性参照系：通俗讲，一切相对于太阳系静止或做匀速直线运动的物体都可作为惯性参照系。

由于地球自转和公转的速度很小，地面可认为是近视的惯性参照系。

3、非惯性参照系：一切相对于太阳系做加速运动的物

体都是非惯性参照系。

4、系统质心：顾名思义，就是系统的质量中心。

一般情况下，可近视认为系统的质心与重心重合。质分布均匀规则的单个几何体的质心在其几何中心。

5、系统质心的位移：顾名思义，就是在某一运动过程中，系统的质心的位移。

6、系统质心的速度：顾名思义，就是系统的质心运动的速度。

7、系统质心的加速度：顾名思义，就是系统的质心运动的加速度。

8、系统所受的合外力：系统各质点所受力的矢量和。

（二）理论依据。

1、系统质心位臵计算。

理论依据：杠杆原理。

A、双质点系统质心位臵的计算（一维空间）：

设两质点质量及其在数轴上的坐标分别为：M1（X1）、M2（X2）设系统质心坐标为X，据杠杆原理有:

(X-X1)M1=(X2-X)M2,

整理可得:

X=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）

所以，系统质心坐标X满足下面关系式：

X=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）

B．同一平面上的三质点系统质心位臵的计算（二维空间）：

设平面内各质点质量及坐标分别为：M1（X1、Y1）、M2（X2、Y2）、M3（X3、Y3），系统质心坐标为（X，Y），则：X=(M1X1+M2X2+M3X3)/（M1+M2+M3）

Y=(M1Y1+M2Y2+M3Y3)/（M1+M2+M3）

证明从略。

C、三维空间多质点系统质心位臵的计算：

设空间各质点质量及坐标分别为：M1（X1、Y1、Z1）、M2（X2、Y2、Z2）、M3（X3、Y3、Z3）、…………

则系统质心坐标为:

X=(M1X1+M2X2+M3X3+…….)/ （M1+M2+M3+…….）Y=(M1Y1+M2Y2+M3Y3+…….)/ （M1+M2+M3+…..）

Z=(M1Z1+M2Z2+M3Z3+……)/ （M1+M2+M3+…….）

2、系统质心的位移：

可通过计算质心初始位臵，最终位臵来确定，亦可由相关运动学公式及质心的速度、加速度等来确定。

3、系统质心的速度公式：

为了更好的理解,先从特殊的实例入手。

例1：设两小球M1、M2的质量均为M，初始时，相距10米，小球M1静止不动，小球M2以2米/秒沿M1M2方向做匀速直线运动。（1）问T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大

小；（2）问前5秒内、10秒内M1、M2系统质心的平均速度；（3）试猜测M1、M2系统质心做何运动，并加以证明。（4）若M1、M2质量不相等，结论（3）是否成立；（5）若M1、M2均不静止，均在直线M1M2上做匀速直线运动，速度分别为V1、V2（选M1M2方向为正方向），其它条件不变，问系统质心运动的速度。（6）由上你可总结出什么结论。（7）若M1、M2不在同一直线上运动，要使你得出的结论成立，需要对你得出的公式做何说明。（8）对于多质点系统，结论是否仍成立。

解：（1）以M1为原点，M1M2方向为正方向建立数轴。则由双质点系统质心位臵的计算公式可得：

质心初始位臵坐标：

S0=（M1X1+M2X2）/（M1+M2）

=（M*0+10M）/2M=5米

T=5秒时，质心坐标为：

S5=[ M*0+M（10+2*5）]/2M

=10米

T=10秒时，质心坐标为：

S10=[ M*0+M（10+2*10）]/2M=15米所以，T=5秒，T=10秒时，M1、M2系统质心位移的大小分别为：5米、10米

（2）由（1）计算可知：前5秒、10秒内M1、M2系统质心的平均速度分别为：1米/秒、1米/秒