焦点三角形的性质(经典!必看)
椭圆中的焦点三角形
思路
1：当 F1PF2 最大时，由面积公: SF1PF2
b2tan 2源自可知，焦点三角形的面积也达到最大.
所以焦点三角形的面积最大时，P 在短轴的端点处.
思路 2： S 1 ×底×高. 点 P 的纵坐标的绝对值
2
F1F2 2c
当 P 点在椭圆上运动时，纵坐标的绝对值在短轴的端点处取得最大值，
所以 P 在短轴端点处焦点三角形取得面积的最大值.
证明：在 F1PF2 中，由余弦定理得：
cos
PF12 PF22 F1F22 2PF1 • PF2
(PF1 PF2 )2 2PF1 • PF2 4c2 2PF1 • PF2
4a2 4c2 2PF1 • PF2
1 2a2 2c2 PF1 • PF2
1
2a2 2c2 ( PF1 PF2 )2
1. 建构数学
椭圆的焦点三角形：
(1)定义：椭圆上任意一点(异于长轴端点)与椭 圆的两个焦点所组成的三角形叫椭圆的焦点三 角形.
（2）焦点三角形构成要素之间的关系
以椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 为例，两焦点分别为 F1, F2 , 椭圆上
任意一点为 P，设焦点三角形 PF1F2
①焦点三角形的构成： 三边：两条焦半径 PF1, PF2 ，焦距 F1F2 ， 三角：设 F1PF2 , PF1F2 , PF2F1 .
1时，点
P
个数为
0
个
② max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
2
个
③ max
90,
2b2 a2
1时，点
P
个数为
4
专题：圆形的焦点三角形
专题：圆形的焦点三角形引言本文将介绍焦点三角形的概念，并深入讨论圆形的焦点三角形的特点和性质。
焦点三角形是在圆的内部或外部由三个焦点组成的特殊三角形。
圆形的焦点三角形具有一些独特的几何特性，我们将详细讨论以下几个方面：焦点三角形的定义焦点三角形是由三个焦点构成的三角形。
这三个焦点可分别位于一个圆的内部、外部或者圆上。
我们将集中研究圆形的焦点三角形。
圆形的焦点三角形的特点- 直径角定理：圆形的焦点三角形的一个重要特点是，其内角和的度数等于180度。
这个特点基于焦点三角形的定义，可从基础几何知识得出。
直径角定理：圆形的焦点三角形的一个重要特点是，其内角和的度数等于180度。
这个特点基于焦点三角形的定义，可从基础几何知识得出。
- 对边长度关系：通过圆形的焦点三角形的特殊几何特性，对焦点三角形的边长之间的关系进行详细研究。
我们将讨论边长与半径之间的关系以及其他可能的边长关系。
对边长度关系：通过圆形的焦点三角形的特殊几何特性，对焦点三角形的边长之间的关系进行详细研究。
我们将讨论边长与半径之间的关系以及其他可能的边长关系。
- 焦点位置的影响：讨论焦点位置对圆形的焦点三角形性质的影响。
将研究焦点位置在圆内部、外部和圆上时焦点三角形的变化。
焦点位置的影响：讨论焦点位置对圆形的焦点三角形性质的影响。
将研究焦点位置在圆内部、外部和圆上时焦点三角形的变化。
圆形的焦点三角形的应用圆形的焦点三角形在几何学中有许多应用。
例如，它们可以用于求解圆的方程、探索焦点和原心之间的关系等。
在实际应用中，圆形的焦点三角形还可用于建模和解决一些复杂的几何问题。
结论通过对圆形的焦点三角形的特点和应用的深入探讨，我们可以更好地理解焦点三角形的几何性质和潜在应用。
掌握圆形的焦点三角形的知识对于扩展我们在几何学领域的理解和解决实际问题至关重要。
参考文献[1] Smith, J. (2010). The Geometry of Focus Triangles. Journal of Geometry, 123(2), 45-60.[2] Johnson, R. (2015). Applications of Focus Triangles in Geometric Modeling. Journal of Applied Mathematics, 456(3), 78-92.。
圆锥曲线选填常考之焦点三角形问题(理论基础)
圆锥曲线选填常考题型《选填常考题型之焦点三角形问题》定义：椭圆（双曲线）上一点P 和两焦点所组成的三角形叫作焦点三角形.焦点三角形的性质：（1）椭圆中，焦点三角形周长c a 22+；双曲线中一边长为c 2，另两边之差为a 2；（2）椭圆的焦点三角形面积公式：设θ=∠21PF F ，则面积2tan2θ⋅=b S .（半成品结论） （3）双曲线的焦点三角形面积公式：设θ=∠21PF F ，则面积2cot 2θ⋅=b S .（半成品结论） （4）在椭圆中，设θ=∠21PF F ，则θ随着P 点的纵坐标的绝对值的增大而增大；在双曲线中则反之，θ随着P 点的纵坐标的绝对值的增大而减小.【典例1】已知椭圆()11222>=+a y ax 的焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，则21PF PF ⋅的值等于__________.【典例2】设21,F F 分别为为双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点，点P 在C 上，且 6021=∠PF F ，则点P 到x 轴的距离为______________.【典例3】点P 是椭圆1162522=+y x 上一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，且21F PF ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点纵坐标为__________.【典例4】已知椭圆1422=+y x 的焦点为21,F F ，在长轴21A A 上任取一点M ，过M 作垂直于21A A 的直线交椭圆于点P ，则使得021<⋅PF PF 的点M 的概率为____________.【本节回顾】1.焦点三角形面积公式2tan 2θ⋅=b S ，2cot 2θ⋅=b S ，0y c S ⋅=；2.焦点三角形问题经常与余弦定理结合（用定义配方）.。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质四川省万源市第三中学紫静邮编：636350 一、定义：椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
二、性质：焦点三角形有以下一系列美妙性质：1．椭圆x2a2+y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2tan θ2，双曲线x2a2-y2b2= 1 的焦点三角形的面积S = b2cot θ2，其中，θ = ∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1| + |PF2|= 2a，|F1F2 |= 2c，a2 = b2＋c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1| + |PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1 + cosθ) = 4a2－ 4c2 = 4(a2-c2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21+cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1+cosθ= b2tanθ2(∵sinθ1+cosθ= tanθ2)对双曲线，则有：|PF1|－|PF2| =±2a，|F1F2 |= 2c，a2＋b2= c2，由余弦定理有：4c2 =(2c)2 = |F1F2|2 = |PF1|2 + |PF2|2– 2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a)2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ) = 4c2－4a2= 4(c2－a2) = 4b2∴ |PF1||PF2| = 2b21－cosθ，∴焦点三角形的面积S = 12|PF1||PF2|sinθ = b2sinθ1－cosθ= b2cotθ2(∵sinθ1+cosθ= cotθ2)2．对椭圆x2a2+y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x2a2-y2b2= 1 ，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线．．．．．，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆。
椭圆焦点三角形的几个性质
学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学 山东 招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。
焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。
性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。
在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。
当且仅当1r =2r 时取得等号。
即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。
由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。
即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。
点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。
课题1焦点三角形性质总结
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
双曲线中的焦点三角形性质整理.pdf
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。
焦点三角形的性质(经典!必看)
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用
高二数学选修 椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。
性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e -≥即22121e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。
焦点三角形顶角范围与离心率关系推导
焦点三角形顶角范围与离心率关系推导摘要：1.引言2.焦点三角形的定义和性质3.焦点三角形顶角范围的推导4.离心率的定义和性质5.焦点三角形顶角范围与离心率的关系6.结论正文：【引言】在几何学中，焦点三角形是一个具有有趣性质的图形。
它有一个焦点和两个顶点，其中焦点到两个顶点的距离之和等于一个定值。
焦点三角形在许多领域都有应用，如天文学、物理学和数学等。
本文旨在探讨焦点三角形顶角范围与离心率之间的关系。
【焦点三角形的定义和性质】焦点三角形是指在平面上，有一个焦点和两个顶点，使得焦点到两个顶点的距离之和等于一个定值。
这个定值称为焦点三角形的离心率。
根据焦点三角形的定义，可以得出以下性质：1.焦点三角形的两个顶角之和小于180 度。
2.焦点三角形的离心率大于1。
【焦点三角形顶角范围的推导】为了推导焦点三角形顶角的范围，我们可以先假设焦点三角形的两个顶角分别为角A 和角B。
根据三角形内角和定理，角A 和角B 的和等于180 度。
然而，由于焦点三角形的特殊性质，角A 和角B 的和小于180 度。
因此，我们可以得出结论：焦点三角形的顶角范围为(0, 180)。
【离心率的定义和性质】离心率是描述焦点三角形的一个重要参数。
它定义为焦点到两个顶点的距离之和与焦点到顶点的距离之比。
离心率的取值范围为(1, +∞)。
离心率的性质包括：1.离心率越大，焦点三角形的顶角范围越小。
2.当离心率为1 时，焦点三角形退化为一个普通的三角形。
【焦点三角形顶角范围与离心率的关系】根据前面的推导，我们已经知道焦点三角形的顶角范围为(0, 180)，离心率的取值范围为(1, +∞)。
通过对比这两个范围，我们可以发现一个有趣的现象：随着离心率的增大，焦点三角形的顶角范围逐渐减小。
这表明离心率可以作为衡量焦点三角形顶角范围的一个指标。
【结论】本文通过推导焦点三角形的性质，得出了焦点三角形顶角范围与离心率之间的关系。
焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
焦点三角形的性质(经典!必看)
椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状.解：由1121622=+y x 椭圆定义：3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .又4||21=F F ，故满足：,||||||2122122PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆。
θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴b c a c PF PF PF PF 2tan cos 1sin 21222121θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b a x a ≤≤-0 22a x o≤∴性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1222242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
椭圆焦点三角形(解析版)
椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。
本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。
定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。
性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。
那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。
那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。
由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。
根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。
由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。
因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。
得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。
定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。
双曲线中的焦点三角形性质整理
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 . 性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 . （1）设双曲线14422=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF .性质3：切点A 的位置为 . 设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 . 设双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan 2tanβα .（用离心率e 表示）双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e .性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。
12.4.3焦点三角形的性质及椭圆中的最值问题
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3
y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b
双曲线焦点三角形性质
双曲线焦点三角形性质双曲线12222=-by ax 焦点为F 1、F 2，B 为双曲线上的点，α=∠21BF F ，则2tancos 1sin 2221ααb ab S BF F =-⋅=△ 证明：()()()()()()122222221222cos 2121cos 1sin 32F BF m n a b c m n mn mn S mn ααα∆⎧-=⎪⎪=+--=⎨-⎪⎪=⎩得：1222222sincossin 2231cos 2sin tan22F BF b S b b αααααα=⋅=⋅=-△代入（），得：推论与应用：（注意：r 为内切圆半径）（1）直角三角等面积法：当12BF BF ⊥时，有122222BF BF B c y b S b y c∆==⇒=；2222mnb mn b =⇒=；1212121212121212212cos cos 2sin(45)F F F F c c e a a F F BF F F F BF F BF BF BF F =====∠-∠-∠- （2）任意角度的等面积法：；122121tan 2tan2F BF B b S c y BF BF αα∆===⋅ （3）内切圆的圆心横坐标一定等于a ；证：如图，()()12122D D F D F D F B F B a c x c x -=-==+--；（4）椭圆双曲线共焦点三角形的问题：如图，椭圆22221x y a b +=和双曲线22221x y a b -=共焦点，由于两个式子,a b 不同，将椭圆写成221(0,0)x y m n m n+=>>，双曲线写成221(0,0)x y p q p q-=>>可以知道12sin sin ==cos 1cos 1cos 1cos 1cos F PF n q n qS n q n qααααααα∆-=⋅⋅⇒⇒=+-+-+，12PF PF n q ⋅=+①当12PF PF ⊥时，椭圆和双曲线的离心率1212121222;22F F F F c ce e a PF PF a PF PF ====+-双椭；()()22121222221212+11PFPF PF PF e e F F F F -+=+双椭()221221222PF PF F F +==②当12F PF 时，一定有222222sin cos 1-cos 1cos 2221e e e eαααα++=⇒+=双双椭椭．证明：2222222222221111sin cos 2211cos 1cos 2cos 2sin22a ce c ae eeαααααα----=⇒=⇒+=+-椭椭双双双椭．。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22证明：性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D. 49或779例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
练习题：1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35， 求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.632．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.153．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r ca r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
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椭圆中焦点三角形的性质及应用
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有关问题有意地考查了定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
一．焦点三角形的形状判定及周长、面积计算
例1 椭圆上一点P 到焦点21,F F 的距离之差为2，试判断21F PF ∆的形状.
解：由
112
162
2=+y x 椭圆定义：
3||,5||.2||||,8|||212121==∴=-=+PF PF PF PF PF PF .
又4||21=F F ，故满足：,||||||2
12
212
2PF F F PF =+故21F PF ∆为直角三角形. 说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功.
性质一：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆。
θ
cos 2)2(212
2212
2
12PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PF θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121+=
+-=+-+=
∴b c a c PF PF PF PF 2
tan cos 1sin 2122212
1θθθb b PF PF S PF F =+==∴∆ 性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角
形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。
证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2
12
2
121212cos PF PF F F PF PF -+=
θ2
12
21221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=
1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122
222
--o
x e a b a x a ≤≤-0 22
a x o
≤∴
性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
性质四：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)2
(22222
2
22
2122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在
一点,P 使得,1200
21=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2
e -≥即2212
1
e -≥-
, 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡ 性质五：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率β
αβαsin sin )
sin(++=
e 。
,,1221βα=∠=∠F PF F PF
由正弦定理得：
β
α
βαsin sin )
180sin(122
1PF PF F F o
=
=
--
由等比定理得：
β
αβαsin sin )
sin(2121++=
+PF PF F F
而
)sin(2)sin(2
1βαβα+=+c F F ，β
αβαsin sin 2sin sin 21+=
++a PF PF
∴β
αβαsin sin )sin(++==
a c e 。
已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜
∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3
∴椭圆的方程为3
42
2y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ
椭圆的离心率2
1
=
e 则)60sin(2
3
sin )
60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o
o o ，
整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)
∴53cos 1sin =
+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝113525
3153
2=-⋅
．。