复变函数积分方法总结

d 的定积分计算；其中
为
cos
。
故 解 这 类 题 是 就 会 联 想 到 复 变 函 数 与 三 角 变 换 的 相 关 知 识 -- 欧 拉 公 式 ， 令
+ udy
= 参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)
例题 1：
积分路线是原点到 3+i 的直线段
解：参数方程 z=（3+i）t
= =(3+i)3 =6+ i 例题 2： 沿曲线 y=x2 计算
解： 参数方程 =(1+i)
或 z=t+it2 =
+ 2i
(0≤t≤1) ]
=- + i
1.3 定义衍生 2 重要积分结果： z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π) 由参数法可得：
=
dθ=
dθ
=
例题 1：
例题 2：
解： =0
解 =2πi
2.柯西积分定理法：
2.1 柯西-古萨特定理：若 f(z)dz 在单连通区域 B 内解析，则对 B 内的任意一
条封闭曲线有：
例题：
wenku.baidu.comC: =1
解：由高阶导数的柯西积分公式：
原式=2πi (ez)(4)|z= = 3.解析函数与调和函数：
定义：（1）调和函数：如果二元实函数 (x,y)在区域 D 内具有二阶连续函数，且 满足拉普拉斯方程：
+ =0，则称 (x,y)为区域 D 内的调和函数。若 f(z)=u+iv 为解析函数，则 u 和 v 都是调和函数，反之不一定正确 （2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv 在 D 内构 成解析函数的调和函数 v(x,y)称为 u(x,y)的共轭调和函数。若 v 是 u 的共轭调和函 数，则-u 是 v 的共轭调和函数 关系：任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和函数；且虚部
析，所以在 B 内沿围绕 z0 的闭曲线 C 的积分
一般不为零。 取 z0 位中心，
以 >0 为半径的正向圆周
= 位积分曲线 ，由于 f(z)的连续性，所以
=
=2πif(z0)
2.5.1 定理：若 f(z)在区域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，它的
内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，有：
Res[f(z),z0]=
4.4 无穷远处的留数：
定义：扩充 z 平面上设 z= 为 f(z)上的孤立奇点，即 f(z)在 R< <+ 内解析，C 为 圆环绕原点 z=0 的任一条正向简单闭曲线，则积分值
称为 f(z)在 z= 处的留数，记作
Res[f(z), ]= 如果 f(z),在 R< <+ 内的洛朗展开式为
所以 f(z)=
+c f(z)=
+c
3.3 线积分法：
若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程可得的 dv= dx+ dy=- dx+
故虚部为
v=
+C
该积分与路径无关，可自选路径，同理已知 v(x,y)也可求 u(x,y).
例 题 ： 设 u=x2-y2+xy 为 调 和 函 数 ， 试 求 其 共 轭 函 数 v(x,y) 级 解 析 函 数
= F(z1) - F(z0).
例题：求 解： 函数 zcosz 在全平面内解析
∴
=zsinz -
= isin i+cosz =isin i+cos i-1
=i
+
-1=e-1-1
此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此
方法的条件。
2.5 柯西积分公式法：
设 B 为以单连通区域，z0 位 B 中一点，如 f(z)在 B 内解析，则函数 在 z0 不解
(zk-zk-1)
存在，设k=zk-1,则
∑2=
(zk-zk-1)
因为 Sn 的极限存在，且应与∑1 及∑2 极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)=
∴
=b2-a2
1.2 定义衍生 1：参数法：
=b2-a2
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入
得：
=
- vdy + i
再设 z(t)=x(t)+iy(t) ( ≤t≤ )
奇点 ，一般对函数 求积分一般为零
=2πi 判断可去奇点方法：⑴函数
=0。
在某个去心邻域 0<
< 内解析，则 z0 是 的
可去奇点的充要条件是存在极限
=c0，其中 c0 是一复常数; ⑵在⑴的假设
下，z0 是 f(z)可去奇点的充要条件是：存在 r≤ ，使得 f(z)在 0<
<r 内有界
4.2.2 极点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内洛朗级数展开式中只有有
.当 C 为闭曲线时，f(z)的积分记作
例题：计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲线。
（1） 解：当 C 为闭合曲线时， =0.
∵f(z)=1 Sn=
(zk-zk-1)=b-a
∴
=b-a,即
=b-a.
(2)当 C 为闭曲线时， =0. f(z)=2z;沿 C 连续，则积分
∑1= 有可设k=zk，则
∴Res[f(z), ]=-{ Res[f(z),1]+ Res[f(z),-1]}= (
)=-sh1
(2) 由公式 Res[f(z), ]=-Res[f( ) 以 z=0 为可去奇点，所以
,0]，而 f( )=
Res[f(z), ]= -Res[f( ) ,0]=0
4.5 用留数定理计算积分：
4.5.1 形 如
=
这里的 z1 和 z0 积分的上下限。当下限 z0 固定，让上限
z1 在 B 内 变 动 ， 则 积 分
在 B 内 确 定 了 一 个 单 值 函 数 F(z), 即
F(z)=
所以有
若 f(z)在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z)必为 B 内的解析函数，且
=f(z).
根据定理 2.2 和 2.4 可得
有无限个负幂项，则称 z0 是 f(z)的本性奇点
判断方法：孤立奇点是本性奇点的充要条件是不存在有限或无穷的极限
。
4.3 函数在极点的留数：
准则一：若 z0 为一级极点，则
Res[f(z),z0]= 准则二：做 z0 为 m 级极点，则
Res[f(z),z0]=
{(z-z0)mf(z)}
准则三：设 f(z)= ,P(z)以及 Q(z)都在 z0 解析，如果 P(z0) 0， Q(z0) ，则 z0 是 f(z)的一级极点，而且：
=0
2.2 定理 2：当 f 为单连通 B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的
起点 z0 与终点 z1 来确定。
2.3 闭路复合定理：设函数 f(z)在单连通区域 D 内解析，C 与 C1 是 D 内两条
正向简单闭曲线，C1 在 C 的内部，且以复合闭路 =C+C1 所围成的多连通区域 G 全 含于 D 则有：
为实部的共轭调和函数。
3.1 求解方法： （1）偏积分法：若已知实部 u=u(x,y),利用 C-R 方程先求得 v 的偏导数 = ，
两 边 对 y 积 分 得 v=
.再由 = 又得
+ =-
从而
=
dx + C
v=
+
dx + C 同理可由 v(x,y)求 u(x,y).
3.2 不定积分法：
因为 =Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX
< 内解析，则称 以 z=-
=
洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对 f(z)在 z0 处的奇异 性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点 z0 的类型：
4.2.1 可去奇点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内的洛朗展开式中不含
负幂项，即对一切 n<0 有 cn=0，则称 z0 是 f(z)的可去奇点 因为没有负幂项，即 c-n=0,(n=1,2.....)故 c-1=0。遇到函数 f(z)的奇点类型是可去
<
4.1 留数定理：设函数 f(z)在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1z2…zn,
=2πi
其中 zk 表示函数 的孤立奇点
4.2 孤立奇点：
定义：如果函数 在 z0 不解析，但在 z0 某个去心邻域 0<
z0 为 的孤立奇点。 例如 、 都是以 z=0 为孤立奇点函数 1、z=2 为孤立奇点.......... 在孤立奇点 z=z0 的去心邻域内，函数 可展开为洛朗级数
f(z),=
则有 Res[f(z), ]=-c-1
4.4.1 如果 f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远处在内）设为
z1，z2，…，zn 则 f(z)在各奇点的留数总和为零,即
+Res[f(z), ]=0;
4.4.2 Res[f(z), ]=-Res[f( ) ,0]
例题：求下列 Res[f(z), ]的值
4.留数求积分：
留数定义：设 z0 为函数 f(z)的一个孤立奇点，即 f(z)在去心邻域、
0<
< ,我们把 f(z)在 z0 处的洛朗展开式中负一次幂项系数 c-1 称为 f(z)在 z0
处的留数，记为 Res[f(z),z0]即 Res[f(z),z0]=c-1
或者 Res[f(z),z0]=
C 为 0<
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也
具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数
求解方法。就复变函数：
z=x+iy i² =-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作 x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ，y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
解：利用 C-R 条件
=2x+y =-2y+x =2 =-2 所以满足拉普拉斯方程，有
= =2y-x = =2x+y
所以 v=
+ =2xy- +
=2x+ =2x+y
=y
= +c
v(x,y)=2xy-
+c
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)= (2-i) +iC
限个负幂项，即有正整数 m，c-m 0，而当 n<-m 时 c-n=0
则称 z0 是 f(z)的 m 级极点。
其 洛 朗 展 开 式 是 ： f(z)=
+
+…
+…+ +c0+c1(z-z0)n+m+…+c0(z-z0)n
这里 c-m 0，于是在 0<
< 有 f(z)=[
+
+…+ +c0+c1(z-
z0)n+m+…+c0(z-z0)n +…]=
（1）f(z)=
(2)f(z)=
解 ： （ 1 ） 在 扩 充 复 平 面 上 有 奇 点 ： 1 ， ， 而 1 为 f(z) 的 一 级 极 点 且
Res[f(z),1]=
=
=e
Res[f(z),-1]=
=
=-
∵Res[f(z), ] + Res[f(z),1] + Res[f(z),-1]=0 得
f(z0)=
例题：1）
2）
解：=2π isin z|z=0=0 解： =
=2πi |z=-i=
2.6 解析函数的高阶导数：
解析函数的导数仍是解析函数，它的 n 阶导数为
f(n)(z0)=
dz(n=1,2…)
其中 C 为 f(z)的解析区域 D 内围绕 z0 的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含
于 D.
=
+
=0
即
=
推论：
=
例题：
C 为包含 0 和 1 的正向简单曲线。
解： 被积函数奇点 z=0 和 z=1.在 C 内互不相交，互不包含的正向曲线 c1 和 c2。
=
+
=
=
++
+
=0+2πi+2πi+0 =4πi
2.4 原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：
定理 2.2 可知，解析函数在单连通域 B 内沿简单曲线 C 的积分只与起点 z0 与终点 z1 有关，即
1.定义法求积分：
定义：设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B 的一条光 滑的有向曲线，把曲线 C 任意分成 n 个弧段，设分点为 A=z0 ，z1，…，zk-1， zk，…，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点k 并作和式
Sn=
.*
一个在 0<
< 解析，同时
，则 z0 是 f(z)的 m 级极点。
判断定理：（1）f(z)在 z0 的去心邻域 0<
<
，z0 是 f(z)的 m 级极点的充
要条件是可以表示成*的形式。（2）z0 是 f(z)的 m 级极点的充要条件是
=.
4.2.3 本性奇点：若函数 f(z)在孤立奇点 z0 的去心邻域内洛朗级数展开式中只
(zk-zk-1)=
∆zk 记∆zk= zk- zk-1，弧段 zk-1 zk 的长度
=
{∆Sk}(k=1,2…,n),当 0 时，不论对 c 的分发即k 的取法如何，Sn 有
唯一的极限，则称该极限值为函数 f(z)沿曲线 C 的积分为：
=
∆zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作) (C 圆周正方向为逆时针方向)