空间几何中的角度计算和距离计算

平时行,其中一个平面上的任意一点到另
一平面的距离相等;线段平被行平面 时,线段两端的点到平
面的距离相等.
平分
(3)体积法:根据体积公式,若求出该几何体的
和
,也就可以求出高,即点到平面的距离. 体积
底面积
导.学. .固 思
1 已知 A∈α,P∉α,PA 与平面 α 所成的角为 60°,PA=4,则 PA 在平面 α 上的射影的长度为( A ).
【解析】 (1)∵E,F 是 AB,AD 的中点, ∴EF∥BD,且在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, ∴EF⊥HC.
导.学. .固 思
又∵PC⊥平面 ABCD,EF⊂平面 ABCD, ∴EF⊥PC,HC∩PC=C,∴EF⊥平面 PCH. (2)由(1)知 EF∥BD,BD⊄平面 PEF, ∴BD∥平面 PEF, 设 AC,BD 交于点 O,则点 B 到平面 PEF 的距离等于点 O 到 平面 PEF 的距离,作 OG⊥PH 交 PH 于点 G, ∵EF⊥平面 PCH,OG⊂平面 PCH, ∴OG⊥EF,且 PH∩EF=H, ∴OG⊥平面 PEF, ∴点 O 到平面 PEF 的距离就是 OG 的长, 由 AB=4,PC=3 易求得 HC=3 2,OH= 2,PH=3 3. 由△OGH∽△PCH 得:OG=������������·������������= 2×3= 6.
求二面角的基本思想和方法 求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其 常用作法有三种: (1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便 于解决问题,可结合图形找某特殊的点),在两个半 平面内过该点分别作与棱 垂直的射线.
导.学. .固 思
(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角 的两个半平面形成交线(实质是射线),这 两条交所线成的角 是二面角的平面角.
【解析】 易发现底面 ABC 是直角三角 形,PA=PB=PC,所以 P 在底面 ABC 的射影是△ABC 的 外心,即斜边 AB 的中点 D,作 DE⊥AC,交 AC 于点 E,
则∠PED 是所求二面角的平面角,求得 DE=4,PE=8,cos∠PED=1,
2
所以∠PED=60°,即二面角 P-AC-B 的大小为 60°.
导.学. .固 思
因为 AB=AA1=2 2,AC=BC=2,
所以 B1E=BE= 10,BB1=2 2,
所以������Δ
������
������1
E
=1×2
2
2×2
2=4,
又因为 B1E= 10,C1E= 4 + 2= 6,B1C1=2, 所以 B1 E2 = C1 E2 + B1 ������12, 所以
导.学. .固 思
(1)找出该点到平面的 垂线段,再找到垂线段所在的
,然后三角形 求出解垂直线角段三的角长形度,运用这种方法求解关键
在于垂足是否容易找到及三角形是否易解.
(2)该点的垂线段不容易寻找时,可以将该点等价转化
为其他点到相应平面的距离.
如:直线与平面 时,该直线上任意一点到平面的距
离相等;两平面
导.学. .固 思
【解析】 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D,因为 AB⊥l,BC⊥l,AB∩BC=B,所以 l⊥平面 ABC,又 AD⊂平 面 ABC,
所以 l⊥AD,且 AD⊥BC,l∩BC=B, 所以 AD⊥β,所以∠ACD 为直线 AC 与平面 β 所 成的平面角, 所以∠ABC 为二面角 α-l-β 的平面角,所以 ∠ABC=45°, 所以 AD=BD=AB×sin 45°= 3, 所以 CD=BC-BD=1,tan∠ACD=������������= 3,
导.学. .固 思
∴SB=BC= 2,SC=2, ∴在 Rt△SAC 中,∠ECA=30°,∴∠EDC=60°, 即二面角 E-BD-C 的大小为 60°.
求点到直线的距离 如图,底面是正方形ABCD,PC⊥平面
ABCD,E,F是AB,AD的中点,AB=4,PC=3. (1)求证:EF⊥平面PCH; (2)求点B到平面PEF的距离.
导.学. .固 思
如图,在四面体 ABCD 中,△ABD、△ACD、 △BCD、△ABC 都全等,且 AB=AC= 3,BC=2,求以 BC 为棱,以平面 BCD 和平面 ABC 为面的二面角 的大小.
导.学. .固 思
【解析】取 BC 的中点 E,连接 AE、DE.
∵AB=AC,∴AE⊥BC. 又∵△ABD≌△BCD,∴DB=DC, ∴DE⊥BC, ∴∠DEA 为二面角 A-BC-D 的平面角. 由△ABC≌△DBC 可知,AB=AC=DB=DC= 3. 又∵△ABD≌△BDC,∴AD=BC=2, 在 Rt△DEB 中,DB= 3,BE=1,
【解析】∵SA⊥平面 ABC, ∴SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD. ∵ED 垂直平分 SC,∴SE=EC. ∵SB=BC,∴SC⊥BE,∴SC⊥平面 BDE,∴SC⊥BD. 又∵SA⊥BD,∴BD⊥平面 SAC,∴BD⊥AC,BD⊥DE, ∴∠EDC 是二面角 E-BD-C 的平面角. 设 SA=1,则 SA=AB=1, 而 SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,
������������
所以∠ACD=60°. 故直线 AC 与平面 β 所成角的大小为 60°.
导.学. .固 思
求二面角 如图,在△ABC 中,AB⊥BC,SA⊥平面 ABC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC、SC 于点 D、E,又 SA=AB,SB=BC,求二面角 E-BD-C 的大小.
∴DE= ������������2-B������2= 2,同理 AE= 2.
在△AED 中,∵AE=DE= 2,AD=2, ∴AD2=AE2+DE2, ∴∠AED=90°, ∴以 BC 为棱,以平面 BCD 和平面 ABC 为面的二 面角的大小为 90°.
导.学. .固 思
在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AC=BC=2,AB=AA1=2 2,E 是 AA1 的中点,连接 C1E,求点 B 到平面 B1C1E 的距离.
【解析】 因为 AD=CD=1,AC= 2, 所以 AD2+CD2=AC2,
所以 AD⊥CD,
同理可得 BD⊥CD,
导.学. .固 思
所以∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. 又因为 AB=BD=AD=1,所以∠ADB=60°, 所以二面角 A-CD-B 的大小为 60°.
求直线与平面所成的角 如图,二面角 α-l-β 的大小为 45°,AB⊂α,BC⊂β,AB⊥l,BC⊥l, AB= 6,BC=1+ 3. 求直线 AC 与平面 β 所成角的大小.
AB-D 的大小为( D ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.60°或 120°
【解析】 两个半平面的垂线所成的角,与二面角相
等或互补,故选 D.
导.学. .固 思
在三棱锥 A-BCD 中,AD⊥底面 BCD,BD⊥DC,AD=BD=DC=1, 则点 D 到平面 ABC 的距离 h= 3 .
3
导.学. .固 思
问题1 空间几何体来自百度文库角度和距离 (1)空间几何中有关角度的类型有: ①线线角:主要指两条异面直线所成角. ② 线面角:直线与平面所成角. ③ 二面角:从一条直线出发的两个半平面所成的图
形. (2)空间几何中有关距离的类型有: 点到直线、的距离 点、到平面的距离 两平行线间、的两距异离面直线间的距离(不要求掌握)
(3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点A向另 一个半平面作垂线AB,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂 线BO,垂足为O,连接AO,易证 ∠AO即B为二面角的平面角.
问题4 求空间中的点面距离的基本思想和方法 空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点
面距离问题是一切距离问题的基础,通常有以下几种方法 求空间中的点面距离:
、直线与平面平行时的线面距离、 两平行平面.这之些间距的离距问离题往往都会转化成点面、
点线之间的距离来作解.
导.学. .固 思
问题2 求直线与平面所成角的基本思想和方法 求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜
足,再作垂线找射影,然后通过 解直角三求角解形,可以 简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求( 解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出 平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角 的关键.
【解析】 设点 B 到平面 B1C1E 的距离为 h,A1B1 的中点为 F,连接 C1F, 因为 AC=BC=2, 所以 A1C1=B1C1=2, 所以 C1F⊥A1B1,C1F= 2, 又 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥C1F,且 AA1∩A1B1=A1, 所以 C1F⊥平面 AA1B1B, 连接 BE,则������������-������1������1E =������������1-B������1 E ,即13h������△������1������1E =13·C1F·������△������������1E ,
������������ 3 3 3
∴点 B 到平面 PEF 的距离等于 6.
3
导.学. .固 思
在三棱锥 P-ABC 中,侧面 PAC 与面 ABC 垂 直,PA=PB=PC=3.
(1)求证:AB⊥BC; (2)若 AC=4,求 PB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
【解析】 (1)如图所示,取 AC 中点 D,连接 BD,PD. ∵PA=PC,∴PD⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,∴PD⊥平面 ABC. ∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC, ∴AC 为△ABC 的外接圆直径, ∴AB⊥BC.
第8课时 空间几何 中的角度计算与距离
计算
导.学. .固 思
1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进 行一些空间几何中的线面角和二面角的计算.
2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的 计算.
导.学. .固 思
前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么 在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技 巧呢?我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步 求出空间几何体的体积呢?今天我们将初步揭开它们的面纱, 探寻解这类问题的方法规律呢?
A.2
B.2 3
C.3
D.4
【解析】 作 PB⊥α,垂足为 B,则 PA 在平面 α
上的射影为 AB,且∠PAB=60°,所以 AB=PA×cos
60°=2.
2 已知平面 ABC∩平面 ABD=AB,直线 m,n 满足:m⊥平面 ABC,n⊥平面 ABD,直线 m,n 所成的角为 60°,则二面角 C-
C1E⊥B1C1,������△
������1
������1
E
=1C1E·B1C1=1×
2
2
6×2=
6,
所以1·h× 6=1· 2×4,解得 h=4 3.
3
3
3
所以点 B 到平面 B1C1E 的距离为 h=4 3.
3
导.学. .固 思
1.线段 AB 的长等于它在平面 α 内射影长的 2 倍,则 AB 所
【解析】等体积法:VA-BCD=VD-ABC,所以
1AD×S△BCD=1h×SΔABC.显然△ABC 为等边三角形,
3
3
边长为 2,则 S△ABC= 3·( 2)2= 3,又 S△BCD=1,
4
2
2
代入解得 h= 3.
3
4 四面体 ABCD 中,已知棱 AC=BC= 2,其余各棱长
都为 1,求二面角 A-CD-B 的大小.
在直线与平面 α 所成的角为( C ).
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】 由直角三角形的边角关系,可知直线与平面 α 所 成的角为 60°.
2.已知矩形 ABCD 的边长 AB=6,BC=4,在 CD 上截 取 CE=4,将△BCE 沿 BE 旋转 90°后如图所示, 记旋转后的 C 的位置为 C',则 C'到 AB 的距离为 ( B ).
A.2 2
B.2 3 C.2 6 D.4
导.学. .固 思
【解析】 取 BE 中点为 F,C'E=C'B=4,所以 C'F⊥BE, 所以 C'F⊥平面 ABED,作 C'G⊥AB,连接 FG,易证 FG⊥AB,所以 FG=2,C'F=2 2,所以 C'G=2 3.
3.三棱锥 P-ABC,PA=PB=PC= 73,AB=10,BC=8,CA=6,则二面 角 P-AC-B 的大小为 60° .