离散数学第二章

怎么符号化？ 怎么符号化？
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3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
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代换实例
为含有p 的命题公式， 设A为含有 1,p2,…,pn的命题公式，A1, A2,…, An是一阶公 为含有 代替p 所得公式 称为A的代换实例 所得公式B称为 式，用Ai代替 i,所得公式 称为 的代换实例 例5 试指出 命题公式 p→q 的代换实例 → 例6 判定下列一阶公式的类型（永真式，重言式， 判定下列一阶公式的类型（永真式，重言式， 永假式三个小题） 永假式三个小题） 1) ∀xP(x)→ ∃x P(x) → 2) ∀xP(x,y)↔∀ ↔∀xP(x,y)∧(∀xP(x,y)∨∃zF(z)) ↔∀ ∧∀ ∨ 3) ∀xP(x) ∧ ¬ ∀xP(x)
2、存在量词： “有些”，“存在”，“至少有一 、存在量词： 有些” 存在” 表示个体域D中存在个体 用符号“ 中存在个体， 表示。 个”，表示个体域 中存在个体，用符号“∃”表示。
如，有的人是爱笑. 有的人是爱笑 符号化上述命题！ 符号化上述命题！
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特性谓词
——用来特指个体域的谓词 用来特指个体域的谓词. 用来特指个体域的谓词
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例1 将下列命题用0元谓词符号化。 将下列命题用0元谓词符号化。
1、4是偶素数。 、 是偶素数 是偶素数。 1元谓词 元谓词 是偶数， 是素数， 解：设F(x): x是偶数，G(x):x是素数，a: 4，则此 是偶数 是素数 ， 命题符号化为 F(a) ∧ G(a) 0元谓词 元谓词 2、若4大于 ，3大于 ，则4大于 。 、 大于3， 大于 大于2， 大于2。 大于 大于 大于y， 解：设F(x, y): x 大于 ，则此命题可符号化为 F(4, 3) ∧ F(3, 2) → F(4, 2) 2元谓词 元谓词
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前束范式的概念
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2.3 一阶逻辑等值式与前束范式
是一阶逻辑公式， 等值的 设A, B是一阶逻辑公式，若A↔B是永真 是一阶逻辑公式 是 则称A与 是等值的。记作A⇔ ，称为等值式 等值式。 式，则称 与B是等值的。记作 ⇔B，称为等值式。 怎样判断一个公式是永真式? 怎样判断一个公式是永真式?
注:1)永真公式的代换实例是永真式 :1)永真公式的代换实例是永真式 2)命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式. 2)命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式. 命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式 3)换名规则: xP(x)⇔ xP(x)⇔∀ ⇔∀yP(y) 3)换名规则:∃xP(x)⇔ ∃yP(y), ∀xP(x)⇔∀yP(y) 换名规则 4)代替规则：P(x)⇔ 4)代替规则：P(x)⇔P(y) 代替规则
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3. 量词辖域收缩与扩张等值式
(1) ∀x( A( x) ∨ B) ⇔∀xA( x) ∨ B;
∀x( A( x) ∧ B) ⇔∀xA( x) ∧ B; ∀x( A( x) → B) ⇔∃xA( x) → B; ∀x(B → A( x)) ⇔ B →∀xA( x); );
( ( (2) ∃x( A x) ∨ B) ⇔∃xA x) ∨ B; ∃x( A( x) ∧ B) ⇔∃xA( x) ∧ B; ∃x( A( x) → B) ⇔∀xA( x) → B; ∃x(B → A( x)) ⇔ B →∃xA( x).
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闭式
~~设A为任意一公式，若A中无自由出现的个体变项， 设 为任意一公式， 中无自由出现的个体变项， 为任意一公式 中无自由出现的个体变项 则称A是封闭公式 简称闭式。 是封闭公式， 则称 是封闭公式，简称闭式。
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解释
一个解释I由下面 部分组成 一个解释 由下面4部分组成： 由下面 部分组成： (i) 非空个体域 非空个体域 个体域D; (ii) D中一部分特定元素 用来解释个体常项 ； 中一部分特定元素(用来解释个体常项)； 中一部分特定元素 用来解释个体常项 (iii) D中一部分特定函数 用来解释出现的函数变项 ； 中一部分特定函数(用来解释出现的函数变项 中一部分特定函数 用来解释出现的函数变项)； (iv) D上一些特定谓词 用来解释谓词变项 上一些特定谓词(用来解释谓词变项) 上一些特定谓词 用来解释谓词变项
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4、量词分配等值式 、 1) ∀x( A( x) ∧ B( x)) ⇔∀xA( x) ∧∀xB( x);
2) ∃x ( A( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA( x ) ∨ ∃xB( x x)) ⇔∀xA( x) ∨∀xB( x); ∃x( A( x) ∧ B( x)) ⇔∃xA( x) ∧∃xB( x);
D={1，2}化掉下列公式中的量词 例1 D={1，2}化掉下列公式中的量词 1）∃x∀yF(x,y) 2）∃xP(x)→∀yQ(y) xP(x)→∀yQ(y) →∀
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2. 量词否定等值式： 量词否定等值式： 1) ¬∀xA( x) ⇔∃x(¬A( x)); 2) ¬∃xA( x ) ⇔ ∀x (¬A( x )).
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5 同类量词交换等值式
1）∀x∀yA(x,y)⇔∀ ∀xA(x,y) ） ∀ ⇔∀y∀ ⇔∀ 2）∃x∃yA(x,y)⇔ ∃y∃xA(x,y) ） ∃ ⇔ ∃ 例2 用等值演算证明下列等值式 1) ∃x∀y(P(y)→Q(x))⇔ ∀y ∃x(P(y)→Q(x)) ∀ → ⇔ → 2) ∃x(P(x)→Q(x))⇔ ∀xP(x)→ ∃xQ(x) → ⇔ →
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公式的定义
元谓词， 原子公式 若P(x1,...,xn)是n元谓词，t1,...，tn是项，则P(t1,...， 是 元谓词 ， 是项， ， tn)为原子公式。 为原子公式。 合式公式(或一阶公式 的递归定义如下 如下： 合式公式 或一阶公式)的递归定义如下： （1）原子公式是一阶公式； ）原子公式是一阶公式； （ 2） 如 A， B是公式 ， 则 ¬ A, A∧B, A∨B, A→B, ） ， 是公式 ∧ ∨ → 也是公式； A↔B也是公式； ↔ 也是公式 是公式， 是 中出现的任意有关变元 中出现的任意有关变元， （ 3）如A是公式， x是A中出现的任意有关变元， ） 是公式 也是一阶公式 则∀xA,∃xA也是一阶公式。 ∃ 也是一阶公式。 有限次使用 ）（2）（ （4）只有有限次使用（1）（ ）（ ）生成的符号串才 ）只有有限次使用（ ）（ ）（3） 一阶公式（也称谓词公式） 是一阶公式（也称谓词公式）
特性谓 词
→ 例：所有不读书的人都缺乏想象力. ∀x(M(x)→ Q(x)) 所有不读书的人都缺乏想象力
例：有的男人也爱哭。 有的男人也爱哭。
练习： 练习：在全总个体域下符号化 1）兔子比乌龟跑得快. ）兔子比乌龟跑得快
∃x(M(x)∧K(x)) ∧
2）在北京工作的未必都是北京人. ）在北京工作的未必都是北京人
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2 谓词
(回答：具有什么性质或者有什么关系？) 回答：具有什么性质或者有什么关系？ 回答
谓词常项：表示具体性质或关系的词。常用大写英文字母 谓词常项：表示具体性质或关系的词。常用大写英文字母F, G, H, … 来表示。 来表示。 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词。 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词。也常用大写英文字母 F, G, H, … 来表示。 来表示。 n元谓词：带有n个个体词 变项 的谓词。记为 元谓词：带有 个个体词 变项)的谓词 记为F(x1,…,xn) 个个体词(变项 的谓词。 元谓词 0元谓词：不含个体变项的谓词，即命题. 元谓词：不含个体变项的谓词，即命题 元谓词
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复习
在一阶逻辑中进行命题符号化 1 存在最小的自然数 存在最小的自然数. 2 在北京工作的未必都是北京人 在北京工作的未必都是北京人. 3 张华的母亲爱张华 张华的母亲爱张华.
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2.2 一阶逻辑公式及解释
项的递归定义如下： 递归定义如下： 如下 (1)任意个体常元或个体变元是项。 任意个体常元或个体变元是项。 任意个体常元或个体变元是项 (2)如果 1,x2,x3,...,xn)是任意 元函数，t1,t2,...tn是项，则 如果f(x 是任意n元函数 是项， 如果 是任意 元函数， f(t1,t2,...,tn)仍然是项。 仍然是项。 仍然是项 (3) 只有有限次使用 只有有限次使用(1) ,(2)生成的符号串才是项。 生成的符号串才是项。 生成的符号串才是项 项的一般定义：常项、 项的一般定义：常项、变项以及由它们生成的各种函数及复 合函数都叫做项。 合函数都叫做项。