离散数学第二章

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2.3 一阶逻辑等值式与前束范式
是一阶逻辑公式， 等值的 设A, B是一阶逻辑公式，若A↔B是永真 是一阶逻辑公式 是 则称A与 是等值的。记作A⇔ ，称为等值式 等值式。 式，则称 与B是等值的。记作 ⇔B，称为等值式。 怎样判断一个公式是永真式? 怎样判断一个公式是永真式?
注:1)永真公式的代换实例是永真式 :1)永真公式的代换实例是永真式 2)命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式. 2)命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式. 命题逻辑等值公式的代换实例是一阶逻辑等值公式 3)换名规则: xP(x)⇔ xP(x)⇔∀ ⇔∀yP(y) 3)换名规则:∃xP(x)⇔ ∃yP(y), ∀xP(x)⇔∀yP(y) 换名规则 4)代替规则：P(x)⇔ 4)代替规则：P(x)⇔P(y) 代替规则
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复习
在一阶逻辑中进行命题符号化 1 存在最小的自然数 存在最小的自然数. 2 在北京工作的未必都是北京人 在北京工作的未必都是北京人. 3 张华的母亲爱张华 张华的母亲爱张华.
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2.2 一来自百度文库逻辑公式及解释
项的递归定义如下： 递归定义如下： 如下 (1)任意个体常元或个体变元是项。 任意个体常元或个体变元是项。 任意个体常元或个体变元是项 (2)如果 1,x2,x3,...,xn)是任意 元函数，t1,t2,...tn是项，则 如果f(x 是任意n元函数 是项， 如果 是任意 元函数， f(t1,t2,...,tn)仍然是项。 仍然是项。 仍然是项 (3) 只有有限次使用 只有有限次使用(1) ,(2)生成的符号串才是项。 生成的符号串才是项。 生成的符号串才是项 项的一般定义：常项、 项的一般定义：常项、变项以及由它们生成的各种函数及复 合函数都叫做项。 合函数都叫做项。
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
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代换实例
为含有p 的命题公式， 设A为含有 1,p2,…,pn的命题公式，A1, A2,…, An是一阶公 为含有 代替p 所得公式 称为A的代换实例 所得公式B称为 式，用Ai代替 i,所得公式 称为 的代换实例 例5 试指出 命题公式 p→q 的代换实例 → 例6 判定下列一阶公式的类型（永真式，重言式， 判定下列一阶公式的类型（永真式，重言式， 永假式三个小题） 永假式三个小题） 1) ∀xP(x)→ ∃x P(x) → 2) ∀xP(x,y)↔∀ ↔∀xP(x,y)∧(∀xP(x,y)∨∃zF(z)) ↔∀ ∧∀ ∨ 3) ∀xP(x) ∧ ¬ ∀xP(x)
第2章 一阶逻辑
也称谓词逻辑， 也称谓词逻辑，主要研究命题的内 谓词逻辑 部结构和命题之间的内在关系
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2.1 一阶逻辑的基本概念
分析命题的内部结构
什么？ 什么？ 2 是偶数 有什么性质？ 有什么性质？
张三与李四是朋友。 张三与李四是朋友。 谁？ 有什么关系？ 有什么关系？
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回答： 什么? 的词) 回答 1 个体词 (回答：谁？什么 的词 个体常项：将表示具体或特定的个体词称为个体常项。 个体常项：将表示具体或特定的个体词称为个体常项。 具体或特定的个体词称为个体常项 一般用小写英文字母a, 表示。 一般用小写英文字母 b, c, …表示。 表示 个体变项：表示抽象的或泛指的个体词称为个体变项。 个体变项：表示抽象的或泛指的个体词称为个体变项。 抽象的或泛指的个体词称为个体变项 一般用小写英文字母x, 一般用小写英文字母 y, z, …表示 表示 个体域：个体变项的取值范围称为个体域，也称论域。 个体域：个体变项的取值范围称为个体域，也称论域。 个体域 论域 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域。 全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域。
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5 同类量词交换等值式
1）∀x∀yA(x,y)⇔∀ ∀xA(x,y) ） ∀ ⇔∀y∀ ⇔∀ 2）∃x∃yA(x,y)⇔ ∃y∃xA(x,y) ） ∃ ⇔ ∃ 例2 用等值演算证明下列等值式 1) ∃x∀y(P(y)→Q(x))⇔ ∀y ∃x(P(y)→Q(x)) ∀ → ⇔ → 2) ∃x(P(x)→Q(x))⇔ ∀xP(x)→ ∃xQ(x) → ⇔ →
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
特性谓 词
→ 例：所有不读书的人都缺乏想象力. ∀x(M(x)→ Q(x)) 所有不读书的人都缺乏想象力
例：有的男人也爱哭。 有的男人也爱哭。
练习： 练习：在全总个体域下符号化 1）兔子比乌龟跑得快. ）兔子比乌龟跑得快
∃x(M(x)∧K(x)) ∧
2）在北京工作的未必都是北京人. ）在北京工作的未必都是北京人
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闭式
~~设A为任意一公式，若A中无自由出现的个体变项， 设 为任意一公式， 中无自由出现的个体变项， 为任意一公式 中无自由出现的个体变项 则称A是封闭公式 简称闭式。 是封闭公式， 则称 是封闭公式，简称闭式。
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解释
一个解释I由下面 部分组成 一个解释 由下面4部分组成： 由下面 部分组成： (i) 非空个体域 非空个体域 个体域D; (ii) D中一部分特定元素 用来解释个体常项 ； 中一部分特定元素(用来解释个体常项)； 中一部分特定元素 用来解释个体常项 (iii) D中一部分特定函数 用来解释出现的函数变项 ； 中一部分特定函数(用来解释出现的函数变项 中一部分特定函数 用来解释出现的函数变项)； (iv) D上一些特定谓词 用来解释谓词变项 上一些特定谓词(用来解释谓词变项) 上一些特定谓词 用来解释谓词变项
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3. 量词辖域收缩与扩张等值式
(1) ∀x( A( x) ∨ B) ⇔∀xA( x) ∨ B;
∀x( A( x) ∧ B) ⇔∀xA( x) ∧ B; ∀x( A( x) → B) ⇔∃xA( x) → B; ∀x(B → A( x)) ⇔ B →∀xA( x); );
( ( (2) ∃x( A x) ∨ B) ⇔∃xA x) ∨ B; ∃x( A( x) ∧ B) ⇔∃xA( x) ∧ B; ∃x( A( x) → B) ⇔∀xA( x) → B; ∃x(B → A( x)) ⇔ B →∃xA( x).
怎么符号化？ 怎么符号化？
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3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
2、存在量词： “有些”，“存在”，“至少有一 、存在量词： 有些” 存在” 表示个体域D中存在个体 用符号“ 中存在个体， 表示。 个”，表示个体域 中存在个体，用符号“∃”表示。
如，有的人是爱笑. 有的人是爱笑 符号化上述命题！ 符号化上述命题！
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特性谓词
——用来特指个体域的谓词 用来特指个体域的谓词. 用来特指个体域的谓词
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公式的定义
元谓词， 原子公式 若P(x1,...,xn)是n元谓词，t1,...，tn是项，则P(t1,...， 是 元谓词 ， 是项， ， tn)为原子公式。 为原子公式。 合式公式(或一阶公式 的递归定义如下 如下： 合式公式 或一阶公式)的递归定义如下： （1）原子公式是一阶公式； ）原子公式是一阶公式； （ 2） 如 A， B是公式 ， 则 ¬ A, A∧B, A∨B, A→B, ） ， 是公式 ∧ ∨ → 也是公式； A↔B也是公式； ↔ 也是公式 是公式， 是 中出现的任意有关变元 中出现的任意有关变元， （ 3）如A是公式， x是A中出现的任意有关变元， ） 是公式 也是一阶公式 则∀xA,∃xA也是一阶公式。 ∃ 也是一阶公式。 有限次使用 ）（2）（ （4）只有有限次使用（1）（ ）（ ）生成的符号串才 ）只有有限次使用（ ）（ ）（3） 一阶公式（也称谓词公式） 是一阶公式（也称谓词公式）
例2 对下面的公式进行解释 1） ∃ y ∀x F(x,y) ） 见教材p43 例2.8) 例4(见教材 见教材
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2) ∀x ∃ y F(x,y)
的真值为？ 例3，设D={1,2,3},命题 ∃ y∀x(x+y=4) 的真值为？ ， 命题 ∀
谓词公式的类型
为一个谓词公式,如果 永真式 设A为一个谓词公式 如果 在任何 为一个谓词公式 如果A在 解释下均为真,称 为逻辑有效式(或称 或称永真 解释下均为真 称A为逻辑有效式 或称永真 式)； ；
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前束范式的概念
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
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4、量词分配等值式 、 1) ∀x( A( x) ∧ B( x)) ⇔∀xA( x) ∧∀xB( x);
2) ∃x ( A( x ) ∨ B( x )) ⇔ ∃xA( x ) ∨ ∃xB( x );
注：下面的式子不成立
∀x( A( x) ∨ B( x)) ⇔∀xA( x) ∨∀xB( x); ∃x( A( x) ∧ B( x)) ⇔∃xA( x) ∧∃xB( x);
D={1，2}化掉下列公式中的量词 例1 D={1，2}化掉下列公式中的量词 1）∃x∀yF(x,y) 2）∃xP(x)→∀yQ(y) xP(x)→∀yQ(y) →∀
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2. 量词否定等值式： 量词否定等值式： 1) ¬∀xA( x) ⇔∃x(¬A( x)); 2) ¬∃xA( x ) ⇔ ∀x (¬A( x )).
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例1 将下列命题用0元谓词符号化。 将下列命题用0元谓词符号化。
1、4是偶素数。 、 是偶素数 是偶素数。 1元谓词 元谓词 是偶数， 是素数， 解：设F(x): x是偶数，G(x):x是素数，a: 4，则此 是偶数 是素数 ， 命题符号化为 F(a) ∧ G(a) 0元谓词 元谓词 2、若4大于 ，3大于 ，则4大于 。 、 大于3， 大于 大于2， 大于2。 大于 大于 大于y， 解：设F(x, y): x 大于 ，则此命题可符号化为 F(4, 3) ∧ F(3, 2) → F(4, 2) 2元谓词 元谓词
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2 谓词
(回答：具有什么性质或者有什么关系？) 回答：具有什么性质或者有什么关系？ 回答
谓词常项：表示具体性质或关系的词。常用大写英文字母 谓词常项：表示具体性质或关系的词。常用大写英文字母F, G, H, … 来表示。 来表示。 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词。 谓词变项：表示抽象或泛指的谓词。也常用大写英文字母 F, G, H, … 来表示。 来表示。 n元谓词：带有n个个体词 变项 的谓词。记为 元谓词：带有 个个体词 变项)的谓词 记为F(x1,…,xn) 个个体词(变项 的谓词。 元谓词 0元谓词：不含个体变项的谓词，即命题. 元谓词：不含个体变项的谓词，即命题 元谓词