8有理函数

2u + 1 + u2 − 1 − u2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 − (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du − ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) − ln | 1 + u | + C 2 x Q u = tan 2 x x = + ln | sec | − ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
2B A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = , B = − , C = , 5 5 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 ∴ = 5 + 5 25. 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 将有理函数化为部分分式之和后， 现三类情况： 现三类情况：
有理函数和可化为有理函数的 不定积分
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分 三、简单无理函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义： 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n−1 + L + an−1 x + an = m m −1 Q( x ) b0 x + b1 x + L + bm −1 x + bm
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q− , 4
2
2
Mp b= N − , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
Mt b dt + ∫ 2 =∫ 2 dt 2 n 2 n (t + a ) (t + a )
修改万能置换公式, 解（二） 修改万能置换公式 令 u = tan x
u 1 sin x = , dx = du, 2 2 1+ u 1+ u 2 1 1 1 1+ u ∫ sin 4 x dx = ∫ u 4 ⋅ 1 + u2 du = ∫ u4 du 2 1+ u
1 1 1 3 = − 3 − + C = − cot x − cot x + C . 3u u 3
都是非负整数； 其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 ,L , a n 及
b0 , b1 ,L , bm 都是实数，并且a 0 ≠ 0 ，b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
解（三） 可以不用万能置换公式 可以不用万能置换公式.
1 dx = ∫ csc 2 x (1 + cot 2 x )dx ∫ sin 4 x
= ∫ csc xdx + ∫ cot x csc 2 xdx
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3
= d(cot x)
比较以上三种解法, 结论 比较以上三种解法 便知万能置换不一定 是最佳方法(平方 相乘), 平方， 是最佳方法 平方，相乘 故三角有理式 的计算中先考虑其它手段, 的计算中先考虑其它手段 不得已才用万 能置换. 能置换
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + − 2 2 x ( x − 1) x ( x − 1) x − 1
1 A Bx + C , + 例3 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 = Q sin x = 2 sin cos = 2 2 2 x 2 x 1 + tan sec 2 2 2 x 2 x cos x = cos − sin , 2 2
x 2 x 1 − tan 1 − tan 2= 2, cos x = 2 x 2 x sec 1 + tan 2 2 x 令u = tan 万能置换公式） x = 2 arctan u（万能置换公式） 2
1 x + x+1 . = x+ 2 例 2 x +1 x +1
3
难点 将有理函数化为部分分式之和 将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律： 有理函数化为部分分式之和的一般规律： （1）分母中若有因式 ( x − a ) ，则分解后为 ）
k
A1 A2 Ak , + + L+ k k −1 ( x − a) ( x − a) x−a
Mx + N dx (1) n = 1, ∫ 2 x + px + q p x+ M b 2 2 + C; = ln( x + px + q ) + arctan 2 a a Mx + N dx ( 2) n > 1, ∫ 2 n ( x + px + q ) M 1 b 2 dt . =− 2 2 n −1 + ∫ 2 n (t + a ) 2( n − 1)( t + a )
2
2 2u 1− u 2 sin x = , cos x = , dx = du 2 2 2 1+ u 1+ u 1+ u
2u 1 − u 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx =∫ R 1 + u2 , 1 + u2 1 + u2 du.
2
sin x dx . 例4 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x = 2 1+ u 1 − u2 2 cos x = dx = du, 2 2 1+ u 1+ u sin x 2u ∫ 1 + sin x + cos x dx = ∫ (1 + u)(1 + u2 )du
三、简单无理函数的积分
ax + b 讨论类型 R( x , ax + b ), R( x , ), cx + e
n
n
解决方法 作代换去掉根号. 作代换去掉根号.
1 1+ x 例6 求积分 ∫ dx x x
解
1+ x 2 1+ x 令 =t , =t ⇒ x x
1 x= 2 , t −1
dx = −
四、小结
有理式分解成部分分式之和的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分 （注意：必须化成真分式） 注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） 三角有理式的积分 （万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 注意：万能公式并不万能） 简单无理式的积分. 简单无理式的积分 作业： 作业：P199：1（2，4，6）2（2，4，6） ： （ ， ， ） （ ， ， ）
A Mx + N (1) 多项式； ( 2) 多项式； ; ( 3) ; n 2 n ( x − a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
p p Q x + px + q = x + + q − , 2 4 p 令 x+ =t 2
5、有理函数的原函数都是_________ . 有理函数的原函数都是_________ 二、求下列不定积分： 求下列不定积分： xdx 1、 ∫ ； ( x + 1)( x + 2)( x + 3) 1 3、 dx ； 3、 ∫ 4 1+ x dx 5、 5、 ∫ ； 2 sin x − cos x + 5 1 − x dx ； 7、 ∫ 7、 1+ x x
1 dx . 例5 求积分 ∫ 4 sin x x 2u 2 , dx = du, 解（一） u = tan , sin x = 2 2 2 1+ u 1+ u 2 4 6 1 dx = 1 + 3u + 3u + u du ∫ sin 4 x ∫ 8u 4 1 1 3 u3 = [ − 3 − + 3u + ] + C 8 3u u 3 3 1 3 3 x 1 x + tan + tan + C . =− 3 − 2 24 2 x 8 tan x 8 24 tan 2 2
思考题
将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？
思考题解答
分解后的部分分式必须是最简分式. 分解后的部分分式必须是最简分式
练习题
一、填空题： 填空题： 3 Bx + C A ____, dx = ∫ 1、∫ 3 + 2 dx ，其 A = ____, x +1 x + 1 x − x + 1 B = ________ ,C = __________； _______ ____ __________ _____； A x2 + 1 B C dx = ∫ 2、∫ + + dx , 2 2 x + 1 x − 1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) _____, _____, _______； 其中 A = _____, B = _____,C = _______； dx __________ _________ 3、 计算 ∫ , 可用万能代换sin x = ___________, 2 + sin x ____________； dx = _____________； __ dx , 令t = ___, x = ___,dx = ____ . 4、计算 ∫ ___, ax + b + m
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. Байду номын сангаас三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 有理函数的原函数都是初等函数.
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义： 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之． 构成的函数称之．一般记为 R(sin x , cos x )
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
真分式化为部分分式之和的待定系数法 真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
(t
2tdt
2
− 1)
2
,
2t t 2dt 1 1+ x (t 2 − 1)t 2 2 dt = −2∫ 2 ∫ x x dx = − ∫ t −1 (t − 1)
t −1 1 +C = −2 ∫ 1 + 2 dt = −2t − ln t +1 t − 1
2 1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x − 1) x − 1 x ( x −1 )
1 = A( x − 1) 2 + Bx + Cx ( x − 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
都是常数. 其中 A1 , A2 ,L , Ak 都是常数
A ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 x−a
（2）分母中若有因式 ( x + px + q ) ，其中 ） 2 p − 4q < 0 则分解后为
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
Q x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2), ∴ x + 3 = ( A + B ) x − ( 3 A + 2 B ),
A + B = 1, A = −5 , ⇒ ⇒ − ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6 x+3 6 −5 . ∴ = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3