概率标准化作业-2答案

七年制概率标准化作业 (二) 答案

一、单选题

1．设随机变量X 的分布密度为 01()2 120 x x f x x x <≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪⎩

其它，则{ 1.5}P X <=( C )

2．下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是（ D ）

()A 1()1F x x =

+ ()B 31

()arctan 4F x x =+

()C 2

()arctan 1F x x π

=+

()D 0 0() 01x F x x

x x

<⎧⎪

=⎨≥⎪+⎩

3．要使函数sin ()0 x a x b

f x ≤≤⎧=⎨⎩其它

为某个随机变量的概率密度，则区间[a,b]是（ A ）

()[0,]2

A π

()[0,]B π

()[,0]2

C π

-

3

()[,]2

D ππ

4．设23),1,0(~+=X Y N X ，则（ C ）

()A )1,0(~N Y

()B )2,2(~N Y

()C )3,2(~2N Y ()D )3,0(~2N Y

二、填空题

5．若||()()x f x Ae x -=-∞<<+∞是某个随机变量的概率密度，则A = 2

1

6．设随机变量X 的分布函数为1(1) 0()0 0

x x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩，则 {1}P X <= e 2

1-。

7．设X 服从泊松分布，且{1}{2}P X P X ===，则{4}P X == 2

3

2-e

()0.75A 1.5

()(2)B x dx -⎰ ()0.875C

1.5

1

()

(2)D x dx -⎰

8．设X 的概率密度函数为6

4

4261)(+--

=

x x e x f π

+∞<<∞-x ,则}31{≤

.438.01)3

1

(

2=-Φ。

三、计算题

9.一口袋中装有5只球，分别标号1, 2, 3, 4, 5，在口袋中同时取3只，以X 表示取出3只球的最大号码，求X 的分布列及分布函数。

.5,4,3:X ;101)3(3522

===C C X p ;103)4(3523===C C X p .106)5(3

5

24===C C X p 10610

310

1543

P

X ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=x x x x x F 5,

154,104

4

3,1013,

0)(

10.设有一批电子管50只，其中次品10只，用以下方法从中任取5只，（1）每次取一只，取后又放回去；（2）每次取一只，取后不放回去，分别求取出5只中所含次品数的概率函数。

只中所含次品数为令5X

.5,4,3,2,1,0,

)5

4()51()(),51

,

5(~155=⋅==-k C k X P B X k k

k ）（

.5,4,3,2,1,0,)(25

50

540

10===-k C C C k X P k

k ）（

11. 某射手有五发子弹，射一次命中的概率为0.9，如果命中就停止射击，如果不命中 就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数X 的概率函数及分布函数。

,9.01,0)(.5,4,3,2,1:1⋅==-k k X P X .4,3,2,1=k .1.09.01.0)5(54+⋅==X p

0001.00009.0009.009.09.05

4321P

X ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨

⎧≤<≤<≤<≤<≤<=x

x x x x x x F 5,

154,9999.043,

999.03

2,99.021,9.01,0)(

12. 设随机变量X 的密度函数为 212(1

),12()0,

x f x x

⎧

-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他； 求（1）分布函数()F x ；（2）{1.22}.P X ≤<

;0)(1=

(2)11(2)()(211

2

-+=-

=

=

<≤⎰

⎰

∞

-x x dx x

dx x f x F x x

x

时， .1)(2=≥x F x 时， ⎪

⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=2,121,4)1

(21,

0)(x x x x x x F

.15

14

4)2.112.1(21)2.1()2()22.1(=++

-=-=<≤F F X P 13. 设随机变量X 的分布函数为 2

0()0 0

x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩，

求（1）A 与B 的值；（2）密度函数 ()f x ；（3）{12}P X <<。

.

0)0()(lim )00(,

1)(lim )()

1(2

2

2

2

==+=+=+==+=+∞-→-

+∞

→+

F B A Be A F A Be

A F x x x x 解得 A=1, B=-1;

即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-

0,

00,1)(2

2

x x e x F x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0,00,)()(22x x e x x F x f x

.11)1()2()21(22

12

12

4

--

-

-

-=+--=-=<

e

e

F F x P

14. 设随机变量2~(3,2)X N ，（1）确定c ，使得)()(c X P c X P ≤=>；（2）设d 满足

9.0)(≥>d X P ，问d 至多为多少？

,2

1)()()(1)()1(=≤⇒≤=≤-=>c X P c X P c X P c X P

即 ;3,02

3

,21)23(

)(==-=-Φ=c c c c F 查表