变化率与导数(公开课)
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y 2 x x
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
如果用运动员在某段时间内的 平均速度描述其运动状态, 那么:
o
0.66 2
t
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
探究： 如何求t=2时的瞬时速度？
v
o
0.66
t
探究： （以高台跳水为例）
思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
3.根据下列条件，分别画 出函数图象在这点附近 的大致形状: (1)f(1)=-5, f’(1)=-1 (2)f(5)=10, f’(5)=15 (3)f(10)=20, f’(10)=0
4.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水， 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则 下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
2 练习：若f(x)=x ,求f
’(1)
例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为 f(x)=x2-7x+15 (0x 8h).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
例2.请分别计算出下面两个图象表示的 函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
h
10
O
百度文库
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
观察这三个数据你有什么发现？
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
2 1,函数f(x)=x 在点(2,4)
处的切线的斜率为(
A.f(2) B. f(4)
)
C. f’(2) D. f’(4)
2.如图,试描述函数f(x) 在x =-5,-4,-2,0,1 附近 的变化情况:
记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
kCD=
11 8.6 0.4( kg / 月) 12 6
引例2：下图为王女士一年内的减肥曲 线，请你分别计算出减肥期间前三个月 及后面九个月体重的平均变化率，并解 释你的计算结果。
W(kg) 80 65 50
前三个月：
65 80 5 (kg / 月) 30
0
3
6
9
12 T(月)
t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度 当Δt趋于0的极限！
2、在某一时刻 t 0的瞬时速度怎样表示？
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
一般地，
导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x 上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数
变化率与导数
知识运用
引例1 ：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示。
W(kg) 11 8.6 6.5
D
C B
3.5 A
0
从出生到第3个月，婴儿 体重的平均变化率： 6.5 3.5 (kg / 月) kAB= 3 0 1 从第6个月到第12个月， 婴儿体重的平均变化率：
3
6
9
12 T(月)
y f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
导数的几何意义： y f ( x)
y
相交
o
P
x
再来一次
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
后九个月
50 65 5 (kg / 月) 12 3 3
课堂小结 形 曲线陡峭 数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
平均变化率
一般地，函数 f ( x)从x1到x2的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
已知函数 f ( x) x ，分别计算
2
下列区间上 f ( x )的平均变化率：
（1） [1，2]（2）[1，1+Δx] 解：(2)△ y= (1+ △x)2-12 =2△x+△x2 所以平均变化率为
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
如果用运动员在某段时间内的 平均速度描述其运动状态, 那么:
o
0.66 2
t
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
探究： 如何求t=2时的瞬时速度？
v
o
0.66
t
探究： （以高台跳水为例）
思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
3.根据下列条件，分别画 出函数图象在这点附近 的大致形状: (1)f(1)=-5, f’(1)=-1 (2)f(5)=10, f’(5)=15 (3)f(10)=20, f’(10)=0
4.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水， 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则 下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
2 练习：若f(x)=x ,求f
’(1)
例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为 f(x)=x2-7x+15 (0x 8h).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
例2.请分别计算出下面两个图象表示的 函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
h
10
O
百度文库
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
观察这三个数据你有什么发现？
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
2 1,函数f(x)=x 在点(2,4)
处的切线的斜率为(
A.f(2) B. f(4)
)
C. f’(2) D. f’(4)
2.如图,试描述函数f(x) 在x =-5,-4,-2,0,1 附近 的变化情况:
记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
kCD=
11 8.6 0.4( kg / 月) 12 6
引例2：下图为王女士一年内的减肥曲 线，请你分别计算出减肥期间前三个月 及后面九个月体重的平均变化率，并解 释你的计算结果。
W(kg) 80 65 50
前三个月：
65 80 5 (kg / 月) 30
0
3
6
9
12 T(月)
t=2瞬时速度就是t=2附近的平均速度 当Δt趋于0的极限！
2、在某一时刻 t 0的瞬时速度怎样表示？
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
一般地，
导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x 上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数
变化率与导数
知识运用
引例1 ：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示。
W(kg) 11 8.6 6.5
D
C B
3.5 A
0
从出生到第3个月，婴儿 体重的平均变化率： 6.5 3.5 (kg / 月) kAB= 3 0 1 从第6个月到第12个月， 婴儿体重的平均变化率：
3
6
9
12 T(月)
y f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
导数的几何意义： y f ( x)
y
相交
o
P
x
再来一次
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
后九个月
50 65 5 (kg / 月) 12 3 3
课堂小结 形 曲线陡峭 数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
平均变化率
一般地，函数 f ( x)从x1到x2的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
已知函数 f ( x) x ，分别计算
2
下列区间上 f ( x )的平均变化率：
（1） [1，2]（2）[1，1+Δx] 解：(2)△ y= (1+ △x)2-12 =2△x+△x2 所以平均变化率为