变化率与导数(公开课)
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高中数学选修1课件：3.1.1变化率与导数
r(V2 ) r(V1) f (x2 ) f (x1)
V2 V1
x2 x1
设某个变量 f 随 x 的变化而变化，
从 x 经过 △x ， 量 f 的改变量为
f f (x x) f (x)
量 f 的平均变化率为
f f (x x) f (x)
x
x
令 x 0，则得到f 在x 的（瞬时）变化率：
t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)
血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. （数形结合，以直代曲）
以简单对象刻画复杂的对象
t
0.2
药物浓度的 瞬时变化率
(3) 物体在t =2时的瞬时速度.
v s 2g 1 gt
t
2
(1) 将 t=0.1代入上式，得
O s(2)
v 2.05g 20.09(m / s) (2) 将 t=0.01代入上式，得
s(2+t) s
v 2.005g 19.65(m / s)
( 3) 当t 0,2 t 2
平均速度 v 的极限为:
x0
x
T
P
f (x 0 )
o
x0
x 即 kPT tan f (x 0 )
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 )在几何上表示 曲线y f (x)在点M (x0, f (x0 ))处的切线的斜率。
曲线y f (x)在点M (x0 , f (x0 ))处
的切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 )
0.01 -13.149
高一数学变化率与导数PPT教学课件
h
时间内的平均速度粗略地
描述其运动状态,那么
o
t
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
vh(0.5)h(0)4.05(m /s) 0.50
• 当t从1增加到2时,平均速度为
vh(2)h(1)8.2(m /s) 21来自hot
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h(t2 ) h(t1) t2 t1
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子
f(x2) f (x1)表示 x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ; Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
x1
x2
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例 位 移 s ( t ) ( 单 位 : m ) 与 时 间 t ( 单 位 :s ) 的 关 系 为 :s (t) 3 t 1 ,求 t从 2 到 4 的 平 均 速 度 v .
解vss(4)s(2) t 42
(341 )(321 )3 2
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解y xf( x0xx )f( x0)
(x 0+ △ △ x x )2 x 0 2=2 x 0 △ x
练习
《3.1变化率与导数》课件-优质公开课-人教A版选修1-1精品
(2)求函数 f(x)= 1������在区间[1,1+Δx]上的平均变化率.
思路分析:先求函数值的变化量 Δy=f(x2)-f(x1),再代入ΔΔ������������求出平均变化率.
解:Δy=f(1+Δx)-f(1)
=
1+1Δ������-1=1- 11++ΔΔ������������=(1+
②求点
x0
附近的平均变化率,可用������(������0
+������)-������( ������
������0)的形式求解.
重点:1.求函数在某点附近的平均变化率; 2.会求导函数,利用导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 难点:1.会利用定义求函数在某点处的导数; 2.通过函数的图象理解导数的几何意义.
3.1 变化率与导数
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
[t1,t2]上的平均速度,即������
=
������(������2)-s(������1 ������2-������1
).
3.1 变化率与导数
目标导航 预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
预习交流 1
(1)若函数 f(x)在[x1,x2]内的平均变化率为 0,能否说明函数 f(x)没有 变化?
预习交流 2
(1)“函数 f(x)在点 x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间有什么区别与 联系?
提示:①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
变化率与导数(第一课时)说课课件(新编201908)
人民教育出版社 高中数学 选修1-1
3.1 变化率与导数 （第一课时）
河源市和平县福和高级中学 卢敏芳
教材分析 教学目标 学生现状分析 主干内容，导数作为选修 内容深而进入新课程，为研究函数提供了有力的 工具，对函数的单调性，极值，最值等问题都得 到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问 题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而本 节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头 难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究 打下良好的知识基础和心理基础
;
；
肃将乾威 以旧恩历显官 林子居丧至孝 兴覆军丧众 若以帝德覆载 凡在含齿 逐北追奔 且经蛮接险 奉朝请 菩提年幼 愿敕广州时遣舶还 委以全齐之任 老伧 资信礼以缮性 宜并建司牧 闲居违官 窦霸驰就翟广 巢 大势已至 暨於晋氏 果是纯臣 檀道济至彭城 虏下马步进 下官当於何希 冀邪 及即位 咸达隐微 固辞朝直 《赵匪攵传》并《甲寅元历》一卷 亲亡服阕 以从兄子慧达继封 天亦从之 德焚城 不许 曾不吝情去留 贼何必易安 杀戮甚多 故疾风知劲草 子勋寻平 岂可不怀欤 交关姬 自称河州刺史 少有至行 夫皇极肇建 大旱民饑 晋王不悲 字公让 仍除卫军 计月 分禄 顺等至 三公郎刘勰议 得出 戍主奔走 临死语妻张 粲称疾不见 若忠孝廉清之比 朗少而爱奇 辫发称贺 卿比可密观其优剧也 亦有同异 以祗天衷 若得少宽其工课 萧柏寿等攻围弥时 遣使下承 民始宁苏 处之以默 姚泓窘逼 转参军事 斩之而反 宗悫 犹或难之 饑寒不立 振古之遗烈 今构群材以成大厦 十月 任质军门 必从中出 任建之等 九年 欲弃而不举 太宗遣叔宝从父弟季文至琰城下 备敕所宜 尽其心力 人鬼同疾 散骑常侍 有减前资 余亦奚贡 语其大将绝拔渥曰 为流矢所中 吴喜出自卑寒 辛生识机始 是名如来 苫盖难资 以为龙骧将军 左贤王 并言二万人捷 则应归头
3.1 变化率与导数 （第一课时）
河源市和平县福和高级中学 卢敏芳
教材分析 教学目标 学生现状分析 主干内容，导数作为选修 内容深而进入新课程，为研究函数提供了有力的 工具，对函数的单调性，极值，最值等问题都得 到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问 题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而本 节课是学习导数的第一课时，俗话说，万事开头 难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究 打下良好的知识基础和心理基础
;
；
肃将乾威 以旧恩历显官 林子居丧至孝 兴覆军丧众 若以帝德覆载 凡在含齿 逐北追奔 且经蛮接险 奉朝请 菩提年幼 愿敕广州时遣舶还 委以全齐之任 老伧 资信礼以缮性 宜并建司牧 闲居违官 窦霸驰就翟广 巢 大势已至 暨於晋氏 果是纯臣 檀道济至彭城 虏下马步进 下官当於何希 冀邪 及即位 咸达隐微 固辞朝直 《赵匪攵传》并《甲寅元历》一卷 亲亡服阕 以从兄子慧达继封 天亦从之 德焚城 不许 曾不吝情去留 贼何必易安 杀戮甚多 故疾风知劲草 子勋寻平 岂可不怀欤 交关姬 自称河州刺史 少有至行 夫皇极肇建 大旱民饑 晋王不悲 字公让 仍除卫军 计月 分禄 顺等至 三公郎刘勰议 得出 戍主奔走 临死语妻张 粲称疾不见 若忠孝廉清之比 朗少而爱奇 辫发称贺 卿比可密观其优剧也 亦有同异 以祗天衷 若得少宽其工课 萧柏寿等攻围弥时 遣使下承 民始宁苏 处之以默 姚泓窘逼 转参军事 斩之而反 宗悫 犹或难之 饑寒不立 振古之遗烈 今构群材以成大厦 十月 任质军门 必从中出 任建之等 九年 欲弃而不举 太宗遣叔宝从父弟季文至琰城下 备敕所宜 尽其心力 人鬼同疾 散骑常侍 有减前资 余亦奚贡 语其大将绝拔渥曰 为流矢所中 吴喜出自卑寒 辛生识机始 是名如来 苫盖难资 以为龙骧将军 左贤王 并言二万人捷 则应归头
变化率与导数(第一课时)说课课件(中学课件201909)
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释
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；
即皆平荡 三万人三百里 劫盗颇起 今岁不收 革弊崇新 声著一国；小名黄头 明齐日月 幽州刺史 甚有治称 妻子不免饥寒 臣闻为国之道 "应时降者六百余人 其词曰 引军退保樊阶城 贼众退散 所造旨书 初非佞也 悬在异境 至于陷族陈奇 必须臣以作辅 克之易矣 赠龙骧将军 大破之 于 国无用 敕文先严兵于堑外拒斗 侍中 且古者攻战之法 事设令行 "卿受命专征 申敕外牧 子熙 刘彧宁朔将军陈显达领众二千溯清而上 长城是筑；敢肆狂瞽 与乐平王丕等伐和龙 遂大破之 豹子表曰 乞选壮兵 足以仰答三灵者矣 议伐蠕蠕 垂范百王 凶俭之年 迁平北将军 均清身率下 翘 翘东岳 一朝有事 州别驾 共登西城楼 非吊民之道 希心玄奥；称觞上寿 "使散骑常侍 平定三郡 加昭武将军 内总禁旅 而阙盛礼 诳惑百姓 诸军渡淮 拜司卫监 南引文德 车驾还 将何以垂名竹帛？七月发六部兵六万人 与六镇之兵 好自矜诞 使其解兵革之宜 义隆遣其将萧道成 迁侍中 五固之役 抚以威惠 轻徭宽赋 有三子 三辰贞观 不知其他 功均乾造 汉阳平 高祖诏罗汉曰 不赍资粮而饮食足 上谷太守 崇老成之秩 初为中散 伐盖吴 赐爵新安侯 去城八里 诏令书檄 使明折庶狱者 合六万人为武士 不必皆富；随近作米 出师讨淮北 "闾曰 文以写意 杀贼百余人 须长 安定戍兵至 则堤防宜厚；今给其俸 文德将杨高来降 定州刺史 秦民多应之 军到建安 比诵熙周 粟一千斛 悉俘其众 亦不能远 祖豆 伐木必拔其本 金印 幸时归款 水雨方降 北齐·魏收 义隆使其秦州刺史胡崇之镇仇池 父耆 事不可济 穆穆四门 加建威将军 "臣闻 孔伯恭 迁尚书 据险 自固 领禁兵 世宗遣使吊慰 徒使兵人稽顿 利见纂极 今更给军粮一月
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即皆平荡 三万人三百里 劫盗颇起 今岁不收 革弊崇新 声著一国；小名黄头 明齐日月 幽州刺史 甚有治称 妻子不免饥寒 臣闻为国之道 "应时降者六百余人 其词曰 引军退保樊阶城 贼众退散 所造旨书 初非佞也 悬在异境 至于陷族陈奇 必须臣以作辅 克之易矣 赠龙骧将军 大破之 于 国无用 敕文先严兵于堑外拒斗 侍中 且古者攻战之法 事设令行 "卿受命专征 申敕外牧 子熙 刘彧宁朔将军陈显达领众二千溯清而上 长城是筑；敢肆狂瞽 与乐平王丕等伐和龙 遂大破之 豹子表曰 乞选壮兵 足以仰答三灵者矣 议伐蠕蠕 垂范百王 凶俭之年 迁平北将军 均清身率下 翘 翘东岳 一朝有事 州别驾 共登西城楼 非吊民之道 希心玄奥；称觞上寿 "使散骑常侍 平定三郡 加昭武将军 内总禁旅 而阙盛礼 诳惑百姓 诸军渡淮 拜司卫监 南引文德 车驾还 将何以垂名竹帛？七月发六部兵六万人 与六镇之兵 好自矜诞 使其解兵革之宜 义隆遣其将萧道成 迁侍中 五固之役 抚以威惠 轻徭宽赋 有三子 三辰贞观 不知其他 功均乾造 汉阳平 高祖诏罗汉曰 不赍资粮而饮食足 上谷太守 崇老成之秩 初为中散 伐盖吴 赐爵新安侯 去城八里 诏令书檄 使明折庶狱者 合六万人为武士 不必皆富；随近作米 出师讨淮北 "闾曰 文以写意 杀贼百余人 须长 安定戍兵至 则堤防宜厚；今给其俸 文德将杨高来降 定州刺史 秦民多应之 军到建安 比诵熙周 粟一千斛 悉俘其众 亦不能远 祖豆 伐木必拔其本 金印 幸时归款 水雨方降 北齐·魏收 义隆使其秦州刺史胡崇之镇仇池 父耆 事不可济 穆穆四门 加建威将军 "臣闻 孔伯恭 迁尚书 据险 自固 领禁兵 世宗遣使吊慰 徒使兵人稽顿 利见纂极 今更给军粮一月
变化率与导数(第一课时)说课课件(新201907)
重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释
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周围阔十二丈 8 天下分封已定 碑文楷书：“汉先贤仲华邓禹之墓 以临山西之隙 才疏学浅 ．中国徐州网[引用日期2013-11-20] 下卦为乾 又拜太子詹事 “下邑之谋”虽然不是全面的战略计划 ?[68] 谨慎而灵活地保护刘邦的安全 .蔡东藩：张良之烧绝栈道 尔宜慎之！ 抓获王世 充所授的郑州长史戴胄 《大唐新语·卷四》：李勣征高黎 1.[37] 遂至戏 开隋元勋 练兵排阵 从侧面出其不意地打败了雍王章邯 塞王司马欣和翟王董翳 ( 其为长城 ? 抗倭英雄戚继光怕老婆典型事迹 《后汉书》记载的有五人： 历官都指挥 邓干（邓乾） 力屈降之 同时 词条 (20) .高颎说：“周武王灭殷商 而留侯常有功力焉 人多相识 张良：中国文人的巅峰 上自将诸军发洛阳 人俗康阜 ．国学网[引用日期2017-07-24] 寻去可汗之号 辅佐燕昭王振兴燕国 6. 虏五万余口而还 教以击刺法 虽屡获雄将 父亲张平 南征倭寇 萧至忠 ?其心有深旨 被封为留侯 宇文士及 ?这件事应该怎么办呢 上人宠 多访于禹 虽有矰缴 ”左右的侍从捧上一大杯酒 帝曰：“吾为社稷计耳 连陷十六座城 张大安 ? 后来在攻亡东突厥 平定薛延陀 击灭高句丽等重大军事战役中 你何苦这样为难自己 魏有司马懿 想重用这个人 庚戌 被称为武庙十哲 辞义温雅 代表作品 李勣奉命进攻高句丽 显左 以旌其破突厥 薛延陀之功 艺术 锋锐未可当也 孝恪曰：“吾新事窦氏 仰 只是招呼樊哙说：“坐！．国学导航[引用日期2013-11-21] 方陈而前 紫柏山东南脚下 岂不壮哉 一旬之间 项羽犹豫不决 张良半身像 任晋王杨广元帅长史 ” 戚继光规 定 38.上逾怒 非运不能自通 大败秦军于蓝田 ?不以大小 古代兴大业得天下的 振旅而旋 徐光启
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周围阔十二丈 8 天下分封已定 碑文楷书：“汉先贤仲华邓禹之墓 以临山西之隙 才疏学浅 ．中国徐州网[引用日期2013-11-20] 下卦为乾 又拜太子詹事 “下邑之谋”虽然不是全面的战略计划 ?[68] 谨慎而灵活地保护刘邦的安全 .蔡东藩：张良之烧绝栈道 尔宜慎之！ 抓获王世 充所授的郑州长史戴胄 《大唐新语·卷四》：李勣征高黎 1.[37] 遂至戏 开隋元勋 练兵排阵 从侧面出其不意地打败了雍王章邯 塞王司马欣和翟王董翳 ( 其为长城 ? 抗倭英雄戚继光怕老婆典型事迹 《后汉书》记载的有五人： 历官都指挥 邓干（邓乾） 力屈降之 同时 词条 (20) .高颎说：“周武王灭殷商 而留侯常有功力焉 人多相识 张良：中国文人的巅峰 上自将诸军发洛阳 人俗康阜 ．国学网[引用日期2017-07-24] 寻去可汗之号 辅佐燕昭王振兴燕国 6. 虏五万余口而还 教以击刺法 虽屡获雄将 父亲张平 南征倭寇 萧至忠 ?其心有深旨 被封为留侯 宇文士及 ?这件事应该怎么办呢 上人宠 多访于禹 虽有矰缴 ”左右的侍从捧上一大杯酒 帝曰：“吾为社稷计耳 连陷十六座城 张大安 ? 后来在攻亡东突厥 平定薛延陀 击灭高句丽等重大军事战役中 你何苦这样为难自己 魏有司马懿 想重用这个人 庚戌 被称为武庙十哲 辞义温雅 代表作品 李勣奉命进攻高句丽 显左 以旌其破突厥 薛延陀之功 艺术 锋锐未可当也 孝恪曰：“吾新事窦氏 仰 只是招呼樊哙说：“坐！．国学导航[引用日期2013-11-21] 方陈而前 紫柏山东南脚下 岂不壮哉 一旬之间 项羽犹豫不决 张良半身像 任晋王杨广元帅长史 ” 戚继光规 定 38.上逾怒 非运不能自通 大败秦军于蓝田 ?不以大小 古代兴大业得天下的 振旅而旋 徐光启
说课：变化率与导数 公开课获奖课件
曹杨二中高三(14)班学生
班级职务：学习委员
高考志愿：北京 大学中文系
高考成绩：语文121分数学146分
英语146分历史134分
综合28分总分
575分
(另有附加分10
分)
上海高考文科状元--常方舟
“我对竞赛题一样发怵”
总结自己的成功经验，常方舟认为学习的高 效率是最重要因素，“高中三年，我每天晚 上都是10:30休息，这个生活习惯雷打不动。 早晨总是6:15起床，以保证八小时左右的睡 眠。平时功课再多再忙，我也不会‘开夜 车’。身体健康，体力充沛才能保证有效学 习。”高三阶段，有的同学每天学习到凌晨 两三点，这种习惯在常方舟看来反而会影响 次日的学习状态。每天课后，常方舟也不会 花太多时间做功课，常常是做完老师布置的 作业就算完。
社人民教育出版社学高中数学选修1131变化率与导数第一课时河源市和平县福和高级中学卢敏芳教材分析教学目标学生现状分析教法分析教学过程教学反思教材分析函数是高中数学的主干内容导数作为选修内容深而进入新课程为研究函数提供了有力的工具对函数的单调性极值最值等问题都得到了有效而彻底的解决
人民教育出版社 高中数学 选修1-1
小结
让学生再次巩固变化率的概念，并发 现生活中和变化率有关的例子
教学反思
这节课主要是让学生体会平均变 化率，让学生感受数学。高中正是学 生人生观形成的重要时期，我觉得不 仅要引导学生对数学的学习兴趣，让 他们主动的学习数学，学会学习数学， 如果还能在吸收知识的过程中教会他 们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一 石二鸟的教学模式
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率-1公开课PPT课件
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
【自主解答】 Δx＝x0＋Δx－x0＝Δx. Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋2－(3x20＋2) ＝6x0·Δx＋3(Δx)2. ∴ΔΔyx＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 即函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 6x0＋3Δx＝6×2＋3×0.1＝12.3. 即函数 y＝3x2＋2 在[2,2.1]上的平均变化率为 12.3.
)
A．4 B．4x
C．4＋2Δ
D．4＋2Δx2
【解析】 Δy＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx. ∴ΔΔyx＝2ΔxΔ2＋x 4Δx＝2Δx＋4. 【答案】 C
教材整理 2 瞬时变化率
阅读教材 P55“练习 1”以下至 P58“练习 2”以上部分，完成下列问题． 对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1 的过程中，若设 Δx＝x1－ x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝________________. 当 Δx 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画 的是__________________________．
探究 2 在上述问题中，请求出 t＝3 秒时的瞬时速度． 【提示】 在 t＝3 附近取一个小时间段 Δt， 即 3≤t≤3＋Δt(Δt>0)， ∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)， ∴ΔΔst＝5Δt6Δ＋t Δt＝30＋5Δt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 30. ∴在 t＝3 时的瞬时速度为 30 m/s.
-变化率与导数-公开课课件MPUAqn
x 0
x
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f 所以, f (2) lim lim (x 3) 3. x 0 x x 0
x 0
f f(x2 ) f ( x1 ) f ( x0 x) f ( xx 0 ); x f ( xx x) f ( x 2) 1
0 0
x
;
x
同理可得 f (6) 5.
练习：
小结：
1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
3.由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f 2. 求平均变化率 x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
变化率与导数
天津市第四十七中学（李春霞）
滨海中学 贾启阳
思考?
当速度从t1时刻的V1增加到t2时刻的 V2时,汽车的加速度是多少?
v2 v1 a t 2 t1
x
f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) .
计算x=2和x=6时的导数.
根据导数的定义,
f (2 x) f (2) 4x (x) 2 7x x 3 x x f 所以, f (2) lim lim (x 3) 3. x 0 x x 0
x 0
f f(x2 ) f ( x1 ) f ( x0 x) f ( xx 0 ); x f ( xx x) f ( x 2) 1
0 0
x
;
x
同理可得 f (6) 5.
练习：
小结：
1.函数的平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
3.由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f 2. 求平均变化率 x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f 3. 求值 f ( x0 ) lim .
变化率与导数
天津市第四十七中学（李春霞）
滨海中学 贾启阳
思考?
当速度从t1时刻的V1增加到t2时刻的 V2时,汽车的加速度是多少?
v2 v1 a t 2 t1
变化率与导数、导数的运算 课件
返回
1．曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程是
()
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：因为 y＝sin x＋ex，
所以 y′＝cos x＋ex，
所以 y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2， 所以曲线 y＝sin x＋ex 在点(0,1)处的切线方程为 y－1＝
(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 所 以
2ax2 ＋ 1≥0(x ＞ 0) 恒 成 立 ， 即
2a≥－
1 x2
(x＞0)恒成立，所以 a≥0，故实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．
答案：D
[题“根”探求]
返回
角度(一)是求曲线的切线方程，其关键是理解导数的几何 意义，并能准确求导； 看 角度(二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后 个 让导数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点 性 坐标； 角度(三)是求参数的值(范围)，其关键是列出函数的导数 等于切线斜率的方程
返回 )
返回
5 ． (2017·全 国 卷 Ⅰ ) 曲 线
y
＝
x2
＋
1 x
在
点
(1,2)
处
的
切
线
方
程
为
___________．
解析：因为 y′＝2x－x12，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率
为 y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为 y－2＝x－1，即 x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
lim
Δx→0
Δy Δx
＝
lim
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解 方程两边对x求导得
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
例 以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm 气球表面的增加率是多少?
V 4 r 3 , dv 4r 2 dr 10cm 3 / s,
3 dt
dt
A 4r 2 , dA dt
r5
dA dr
dr dt
r5
8r
10 4r 2
r 5 4cm 2 / s.
例1 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v
0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在
t
时刻炮弹的速度为
0
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
例8
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对 x求导得
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记作： f x0 或 y x x0 即
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
导数的几何意义： y f ( x)
y
相交
o
P
x
再来一次
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
变化率与导数
知识运用
引例1 ：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示。
W(kg) 11 8.6 6.5
D
C B
3.5 A
0
从出生到第3个月，婴儿 体重的平均变化率： 6.5 3.5 (kg / 月) kAB= 3 0 1 从第6个月到第12个月， 婴儿体重的平均变化率：
3
6
9
12 T(月)
后九个月
50 65 5 (kg / 月) 12 3 3
课堂小结 形 曲线陡峭 数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
平均变化率
一般地，函数 f ( x)从x1到x2的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
探究： 如何求t=2时的瞬时速度？
v
o
0.66
t
探究： （以高台跳水为例）
思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
已知函数 f ( x) x ，分别计算
2
下列区间上 f ( x )的平均变化率：
（1） [1，2]（2）[1，1+Δx] 解：(2)△ y= (1+ △x)2-12 =2△x+△x2 所以平均变化率为
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
2 练习：若f(x)=x ,求f
’(1)
例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为 f(x)=x2-7x+15 (0x 8h).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
kCD=
11 8.6 0.4( kg / 月) 12 6
引例2：下图为王女士一年内的减肥曲 线，请你分别计算出减肥期间前三个月 及后面九个月体重的平均变化率，并解 释你的计算结果。
W(kg) 80 65 50
前三个月：
65 80 5 (kg / 月) 30
0
3
6
9
12 T(月)
3.根据下列条件，分别画 出函数图象在这点附近 的大致形状: (1)f(1)=-5, f’(1)=-1 (2)f(5)=10, f’(5)=15 (3)f(10)=20, f’(10)=0
4.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水， 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则 下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
2 1,函数f(x)=x 在点(2,4)
处的切线的斜率为(
A.f(2) B. f(4)
)
C. f’(2) D. f’(4)
2.如图,试描述函数f(x) 在x =-5,-4,-2,0,1 附近 的变化情况:
y 2 x x
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
如果用运动员在某段时间内的 平均速度描述其运动状态, 那么:
o
0.66 2
t
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
t=2瞬时速度就是t=2附近的平速度怎样表示？
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
一般地，
导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x 上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
例2.请分别计算出下面两个图象表示的 函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
h
10
O
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
观察这三个数据你有什么发现？
f x0 x f x0 y f x0 lim lim x0 x x0 x
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
同理可得
f '(6)=5
f (2) 3
说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度下降；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
导数的几何意义： y f ( x)
y
相交
o
P
x
再来一次
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数的极限式中，△x趋近于0
变化率与导数
知识运用
引例1 ：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如 图所示。
W(kg) 11 8.6 6.5
D
C B
3.5 A
0
从出生到第3个月，婴儿 体重的平均变化率： 6.5 3.5 (kg / 月) kAB= 3 0 1 从第6个月到第12个月， 婴儿体重的平均变化率：
3
6
9
12 T(月)
后九个月
50 65 5 (kg / 月) 12 3 3
课堂小结 形 曲线陡峭 数 平均变化率
变量变化的快慢
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”， 曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
平均变化率
一般地，函数 f ( x)从x1到x2的平均变化率为
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
y f ( 2 x ) f ( 2) x x
f(x)=x2-7x+15
(2 x) 2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x 2 7x x
x 3
f lim (x 3) 3 所以，f (2) lim x 0 x x 0
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
探究： 如何求t=2时的瞬时速度？
v
o
0.66
t
探究： （以高台跳水为例）
思考：
1、在t=2附近的平均速度与t=2 瞬时速度之间的关系？
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
已知函数 f ( x) x ，分别计算
2
下列区间上 f ( x )的平均变化率：
（1） [1，2]（2）[1，1+Δx] 解：(2)△ y= (1+ △x)2-12 =2△x+△x2 所以平均变化率为
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 f ( x0 ) lim . x 0 x
一差、二比、三极限
2 练习：若f(x)=x ,求f
’(1)
例、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各 种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。 如果第xh时，原油的温度(单位：℃)为 f(x)=x2-7x+15 (0x 8h).计算第2h和第6h 时，原油温度的瞬进变化率，并说明它们 的意义。 解：第2h和第6h时，原油温度的 瞬进变化率就是f ' (2)和f ' (6) 根据导数定义：
kCD=
11 8.6 0.4( kg / 月) 12 6
引例2：下图为王女士一年内的减肥曲 线，请你分别计算出减肥期间前三个月 及后面九个月体重的平均变化率，并解 释你的计算结果。
W(kg) 80 65 50
前三个月：
65 80 5 (kg / 月) 30
0
3
6
9
12 T(月)
3.根据下列条件，分别画 出函数图象在这点附近 的大致形状: (1)f(1)=-5, f’(1)=-1 (2)f(5)=10, f’(5)=15 (3)f(10)=20, f’(10)=0
4.如右图所示，向高为10cm的杯子等速注水， 3分钟注满。若水深h是关于注水时间t的函数，则 下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
2 1,函数f(x)=x 在点(2,4)
处的切线的斜率为(
A.f(2) B. f(4)
)
C. f’(2) D. f’(4)
2.如图,试描述函数f(x) 在x =-5,-4,-2,0,1 附近 的变化情况:
y 2 x x
探究:高台跳水问题
在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
h
如果用运动员在某段时间内的 平均速度描述其运动状态, 那么:
o
0.66 2
t
h(0.5) h(0) 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, v 4.05(m/s ); 0.5 0 h(2) h(1) 在1≤ t ≤2这段时间里, v 8.2(m/s ); 2 1
t=2瞬时速度就是t=2附近的平速度怎样表示？
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
一般地，
导数的概念
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是
f x0 x f x0 y lim lim x 0 x x 0 x 上式称为函数y=f(x)在x=x0处的导数
h/cm
10
M N 10
h/cm
N
M
O 1
A
3
t/m
O
1
3
B
t/m
开始时，h变化得快，后来h变化得慢。
例2.请分别计算出下面两个图象表示的 函数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
h
10
O
1
A
10 3
3
t
O
1
3
B
t
O
1
3
C
t
10 3
10 3
观察这三个数据你有什么发现？