对正弦信号的采样频谱分析

给定采样频率fs，两个正弦信号相加，两信号幅度不同、频率不同。

要求给定正弦信号频率的选择与采样频率成整数关系和非整数关系两种情况，信号持续时间选择多种情况分别进行频谱分析。

二、题目原理与分析：
本题目要对正弦信号进行抽样，并使用fft对采样信号进行频谱分析。

因此首先对连续正弦信号进行离散处理。

实际操作中通过对连续信号间隔相同的抽样周期取值来达到离散化的目的。

根据抽样定理，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

设抽样周期为TS(抽样角频率为ωS)，则
可见抽样后的频谱是原信号频谱的周期性重复，当信号带宽小于奈奎斯特频率的二分之一时不会产生频谱混叠现象。

因此，我们对采样频率的选择采取fs>2fo,fs=2fo,fs<2fo三种情况进行分析。

对信号采样后，使用fft函数对其进行频谱分析。

为了使频谱图像更加清楚，更能准确反映实际情况并接近理想情况，我们采用512点fft。

取512点fft不仅可以加快计算速度，而且可以使频谱图更加精确。

若取的点数较少，则会造成频谱较大的失真。

三、实验程序：
本实验采用matlab编写程序，实验中取原信号为
ft=sin(2πfXt)+2sin(10πfXt) ，取频率f=1kHz，实验程序如下：
f=1000;fs=20000;Um=1;
N=512;T=1/fs;
t=0:1/fs:;
ft=Um*sin(2*pi*f*t)+2*Um*sin(10*pi*f*t);
subplot(3,1,1);
plot(t,ft);grid on;
axis([0 *min(ft) *max(ft)]);
xlabel('t'),ylabel('ft');
title('抽样信号的连续形式');
subplot(3,1,2);
stem(t,ft);grid on;
axis([0 *min(ft) *max(ft)]);
xlabel('t'),ylabel('ft');
title('实际抽样信号');
k=0:N-1;
Fw=fft(ft,N);
subplot(3,1,3);
plot(k,abs(Fw));grid on;
axis([0 550 65*pi]);
title('抽样信号幅度谱')
在实际操作过程中，对于信号频率与采样频率所成整数倍与非整数倍关系时，信号持续时间不同时，只需改变程序中的相关语句即可。

既t=0:1/fs:to；语句控制信号持续时间，改变to即可。

改变抽样频率只需对fs取不同的值即可。

四、实验过程及图示：
1.信号持续时间为，信号频率与采样频率成整数关系：
（1）fs>2fo，取fs=20kHz，得到频谱图：
（2）fs=2fo，取fs=10kHz，得到频谱图：
（3）fs<2fo，取fs=5kHz，得到频谱图：
通过比较三个图形发现当抽样信号频率大于原信号频率的二倍时抽样信号能较好的反应原信号，并且抽样信号频谱呈现两个峰值，与正弦信号的理想频谱既冲击函数较为接近。

但是由于实际信号的持续时间是有限的，因此频谱不可能完全表现为冲击函数的情况，会有尾部延伸。

当抽样频率等于原信号频率的二倍时，抽样信号只能表现为单个正弦信号的形式，因此频谱只能表现为单峰情况，且幅度也较前者有较大的下降。

当抽样信号频率小于原信号频率的两倍时，抽样信号波形有较大的失真，且幅度有更大的下降，频谱的尾部所占比例更大，失真较为严重。

2.持续时间为，信号频率与采样频率成非整数关系：
（1）fs>2fo,取fs为，得到频谱为：
（2）fs=2fo的情况同1，省略。

（3）fs<2fo，取fs为，得到频谱为：
通过观察频谱图发现，对抽样频率取三种情况时频谱的规律与成整数关系时的规律基本相同，但是纵向比较时，抽样信号的波形与原信号波形有较大的失真，这是由于抽样信号的频率不为原信号的整数倍造成的，反应到频率谱上，导致出现的峰值下降，较为弱的趋向理想冲击函数。

3.持续时间为，信号频率与采样频率成整数倍关系：
（1）fs>2fo,取fs=20kHz，得到频谱图为：（2）fs=2fo，去fs为10kHz，得到频谱图为：（3）fs<2fo，取fs=5kHz，得到频谱图为：
4.持续时间为，信号频率与采样频率成非整数关系：（1）fs>2fo，取fs=，得到频谱图为：
（2）fs=2fo，略
（3）fs<2fo，取fs=，得到频谱图为：
5.持续时间为，采样频率与信号频率成整数关系：（1）fs>2fo，取fs=20kHz，得到频谱图为：
（2）fs=2fo，取fs=10kHz，得到频谱图为：
（3）fs<2fo，取fs=5kHz，得到频谱图为：
6.持续时间为，采样频率与信号频率成非整数关系：（1）fs>2fo,取fs=，得到频谱图为：
（2）fs=2fo，略
（3）fs<2fo，取fs=，得到频谱图为：
通过观察持续时间为和时的时域图形和频谱图我们发现，对于每个不同的持续时间，随抽样信号的频率不同，分别满足抽样定理的要求，这同持续时间为是得到的结论是一样的。

但是随着持续时间的增加，意味着抽样得到的点数增多，
反应到频谱图中即为信号峰值增大，更加接近于冲击函数。

五、结果分析：
本试验中我们讨论了对连续正弦信号进行抽样，并讨论抽样信号的频谱与抽样信号频率和信号持续时间的关系。

这里使用控制变量法来讨论，一下是具体分析。

（1）抽样信号频率：通过比较图形发现当抽样信号频率大于原信号频率的二倍时抽样信号能较好的反应原信号，并且抽样信号频谱呈现两个峰值，与正弦信号的理想频谱既冲击函数较为接近。

当抽样频率等于原信号频率的二倍时，因此频谱只能表现为单峰情况，且幅度也较前者有较大的下降，这是由于抽样信号有较大失真造成的。

当抽样信号频率小于原信号频率的两倍时，抽样信号波形有更大的失真，且幅度有更大的下降。

这个结论对抽样信号频率为原信号的整数倍和非整数倍时均适用。

当抽样信号频率为原信号的非整数倍时，与整数倍的情况相比较，可以发现抽样信号有一定的失真，导致频谱有一定的失真，即为频谱更严重的偏离冲击函数，尾部展宽，幅度下降。

（2）信号持续时间：对于抽样信号频率为原信号频率的整数倍和非整数倍的情况，当信号持续时间增加时，也就是抽样的点数增多时，抽样信号的频谱函数更加趋近于冲击函数，尾部缩小，峰值增加。

因为理想正弦信号的频谱图即为冲击函数，但是实际信号持续时间不能趋于无穷大，是有限的，因此频谱图不是冲击函数，随着持续时间的增加，频谱图趋近于冲击函数。