勾股定理及平方根
勾股定理与平方根的计算
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理用于确定直角三角形的边长关系 勾股定理在建筑设计中的应用 勾股定理在测量中的应用 勾股定理在解决实际问题中的应用
平方根在日常生活中的应用
建筑测量：在建筑行业中，平方根可以用于计算建筑物的面积和体积，以确保建筑物的 尺寸和比例符合要求。
科学实验：在科学实验中，平方根可以用于计算实验数据的平均值和标准差，以评估实 验结果的可靠性和准确性。
解析
勾股定理与平方根的练习题：提供了一些经典的练习题，帮助学生巩固所学知识。 解析过程：详细解释了每道练习题的解题思路和步骤，帮助学生理解解题方法。
题目难度：对每道练习题的难度进行了评估，方便学生根据自己的学习水平进行选择。 易错点分析：总结了解题过程中容易出现的错误，提醒学生注意避免类似错误的发生。
02 平方根的计算
平方根的定义
平方根是一个数的平方等 于给定值时的数
平方根有正负之分，因为 正负数的平方都是正数
平方根的表示方法是在数 前加根号，如√4=2
平方根的运算一个非负数a的平方根，记为√a，表示a的算术平方根。
性质：正数的平方根有两个值，互为相反数；0的平方根是0；负数没有实 数平方根。
平方根计算在勾股定理中的应用
勾股定理的证明需要用到平方根的概念。
平方根的计算可以帮助我们找到直角三角形斜边的长度，从而验证勾股定理。
在实际应用中，平方根的计算可以帮助我们解决一些与勾股定理相关的问题，例如建筑、航海 等领域的问题。
掌握平方根的计算方法对于理解和应用勾股定理至关重要。
04
勾股定理与平方根的实 际应用
勾股定理与平方根的 计算
XX,a click to unlimited possibilities
勾股定理与平方根复习
第 1 页 共 3 页第二章勾股定理与平方根 教案班级 姓名 学号学习目标：1回顾勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题2平方根及立方根，能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数，会进行实数的有关计算学习难点：勾股定理及其应用，平方根及立方根教学过程：一、知识要点1、勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边。
①c2＝a2＋b2；②a2＝c2－b2；③b2＝c2－a2。
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
也称二次方根，也就是说，如果x2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。
5、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0，记作0 ；③负数没有平方根。
6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
公式：( a )2＝a (a ≥0)，a2 ＝a (a ≥0) ， a2 ＝－a(a ≤0)。
8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作3a 读作“三次根号a ”。
9、开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆算。
10、立方根的性质：正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根0。
二、课堂小练习 1、16 的平方根________，64 的立方根_______。
苏教版八年级上数学知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
勾股定理、方根专题知识点整理
勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理是描述直角三角形边的关系的定理，它由公式a²+b²=c²表示，其中a、b、c分别代表直角三角形的两个直角边和斜边。
这一定理源自古希腊的数学家毕达哥拉斯提出的观察和实验结果。
应用：勾股定理在几何学中的应用非常广泛，可以用于求解直角三角形的边长、计算三角形的面积等。
同时，它还有重要的应用于导出三角函数的定义和性质。
例如，我们可以通过勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度。
如果已知两个直角边的长度分别是a=3和b=4，那么根据勾股定理，可以计算出斜边c的长度：c²=a²+b²c²=3²+4²c²=9+16c²=25c=√25c=5所以，直角三角形的斜边长度为5二、平方根平方根是一种运算，表示一个数的平方根。
对于非负实数x，它的平方根是一个非负实数y，满足y²=x。
平方根的正号由计算的上下文决定。
平方根的运算方法可以通过求解方程x²=y来实现。
实质上，平方根是指数运算的逆运算。
应用：平方根在代数学中的应用广泛，可用于求解方程、计算数值等。
它还在几何学中有重要的应用，例如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的半径等。
在实际应用中，平方根的计算可以通过手算、计算器、计算机等方式进行。
一些常见的平方根的近似值也被广泛使用，例如√2≈1.414，√3≈1.732三、勾股定理与平方根的关系勾股定理和平方根的关系可以通过勾股定理的应用来理解。
当我们需要求解直角三角形的斜边长度时，可以使用平方根运算。
在勾股定理中，由于a²+b²=c²，所以有c=√(a²+b²)。
这个式子告诉我们，当已知两个直角边的长度时，我们可以通过平方根运算来计算斜边的长度。
例如，当已知两个直角边的长度分别为a=3和b=4时，根据勾股定理，我们可以计算出斜边c的长度为c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5这个例子展示了勾股定理和平方根的关系，它们在求解直角三角形边长时密切相关。
勾股定理与平方根理论
勾股定理与平方根理论勾股定理应用在金融市场上，有两个直角三角形最为重要：第一，等腰直角三角形，直角两边皆为1，则其斜边比率将为开方2，即1.414. 第二，直角三角形的直角夹角一边为1，另一边为2，其斜边的长度为开方5即2.236. 转一个计法，开方2的倒数为0.707；开方5的倒数为0.447.就引出两组重要市场比率：1.414和2.236；0.707和0.447 在金融市场黄金比率发挥着极大的作用，我们可以利用勾股定理推演出黄金比率的关系。
黄金矩形的几何分析方法：四边形边长为2单位其对角线长度是5的平方根，将这条对角线变成X轴，超出原四边形边长的1.236个单位，超出长度是四边形边长的0.618.换言之，若四边形的横轴是表示时间，纵轴是价格，这条对角线实际上是江恩1X2线，应用在图表分析上，则市场调整的时间便有可能在升市时间的1.236倍后结束。
从另一个角度去考虑，若这种增长方式以两度空间的形成增长，则横向的增长的比率将为2、5、13、34的开方形式无限延伸。
而向上增长的比率为3、8、21、55开方的形式增长。
换言之，平方根比率的增长模式乃是以神奇数字系列排列的单双数的形式延伸开来。
这两度空间可以视为图表上时间与价格的两大角度。
总而言之，在金融市场的价格与时间分析方面，有两套重要比率影响着市场的发展。
第一套黄金比率及其衍生比率第一，黄金比率0.618及其衍生比率：0.618的开方----0.7860.618一次方----0.6180.618二次方----0.3820.618三次方----0.2360.618四次方----0.146第二，黄金比率的0.618的倒数1.618及其衍生比率：1.618的开方----1.2721.618一次方----1.6181.618二次方----2.6181.618三次方----4.2361.618四次方----6.854第二套比率以神奇数字本身的开方数为主。
最重要的是2、3、5的开方以及其衍生的比率。
平方根的应用
平方根的应用平方根是数学中常见的一个概念，它代表一个数的平方根，即将一个数乘以自己得到的结果。
平方根在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨平方根在几何、物理、工程以及其他领域中的应用。
一、平方根在几何中的应用1.直角三角形中的勾股定理勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
即c² = a² + b²。
在解决直角三角形相关问题时，我们常常需要计算未知边长或角度。
此时，平方根的应用就非常明显了，只要已知两边的长度，就可以通过取平方根来求解斜边的长度。
2.几何图形的面积计算在计算几何图形的面积时，平方根也发挥着重要的作用。
以矩形为例，若已知长和宽，可以通过将长和宽相乘再取平方根的方式计算出矩形的面积。
同样地，平方根也可以用于计算其他几何图形，如正方形、圆形等。
二、平方根在物理学中的应用1.速度和加速度的计算在物理学中，我们经常需要计算物体的速度和加速度。
当一个物体以恒定加速度运动时，它的速度可以通过将加速度乘以时间再开平方根来求解。
同样地，加速度也可以通过将速度的平方除以时间再开平方根来计算。
2.力学中的牛顿定律根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，即F = m*a。
如果我们已知力和质量，那么可以通过将力除以质量再开平方根来求解加速度。
三、平方根在工程学中的应用1.结构力学中的弯曲刚度在工程学中，弯曲刚度是用来描述某个材料或结构在受力时的弯曲程度的一种性质。
它通常与材料的几何形状和材料的弯曲模量有关。
弯曲刚度可以通过对材料的几何形状进行计算公式的推导，其中包括平方根的运算。
2.电气工程中的电压和电流在电气工程中，电压和电流是两个重要的物理量。
根据欧姆定律，电压等于电流乘以电阻，即V = I*R。
通过将电阻除以电流再开平方根，我们可以得到电压的值。
四、平方根的其他应用1.金融计算中的利率计算在金融学中，利率是一个重要的指标。
在复利计算中，当我们已知年化利率和投资期限时，可以通过将年化利率除以投资期限再开平方根来计算每期的利率。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
数学杂谈-(二次方根与勾股定理)
P80第二章二次方根与勾股定理数学杂谈一、教学设计理念2-1 二次方根的意义在实数系中，无理数是不可或缺的，为了使学生建立无理数的概念，本教材藉由「正方形面积反求边长」的方法，让学生先承认这个数的存在，再引进根号数的符号，接着安排学习根号数的相反数，目的是想使学生对根号数的正负数有所区别，以做为学习平方根意义的先备知识。
教材中也藉由电算器及乘方开方表，让学生更能尽量接近一个根号数的值，使根号数能成为一个确定的「数」，逐步让根号数的观念更趋于完善。
2-2 根式的运算教材中先处理根式的乘除，再做根式的加减，目的是便于判别同类根式，以利根式的化简，进而处理根式的四则运算。
教材中更利用已习的乘法公式做为根式运算的练习，藉此连结，使学生熟练分母根式的有理化。
2-3 勾股定理一般来说，勾股定理有三种表达方式（梁宗巨，民84）：1. 直角三角形斜边上的正方形等于直角边上两个正方形这里的「等于」意指「拼补相等」。
所谓的拼补相等，是将直角边上的两个正方形经过切割，再合并拼凑成斜边上的正方形。
此种作法，完全没有从数的观点出发，只考虑图形经由切割拼凑后的全等问题。
为了区别于别种不同思维下的「勾股定理」，有学者专家称此为「形的勾股定理」。
2. 直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度平方之和这种「勾股定理」强调长度的平方，并未涉及长度平方所代表的几何意义，较强调数的运算，故有人称其为「数的勾股定理」。
中下程度的学生对此较难理解，然而透过数值的计算，便可让学生了解定理的合理性。
3. 直角三角形直角边上的两个正方形面积和等于斜边上正方形的面积我们常用数量相等来表示面积相等的概念，然而面积是几何概念，不一定要用数的计算才能判定面积是相等的，所以此种「勾股定理」的概念可说是数形关系的连结。
本教材是以数形关系的连结做为教材设计的理念，并在文中介绍有关勾股定理的数学史，以增加学生学习此单元的兴趣，接着再处理勾股定理的应用，最后将它连结到两点距离公式，使勾股定理成为学生了解两点距离公式的基本心像。
初二数学平方根与勾股定理的运用
初二数学平方根与勾股定理的运用数学作为一门基础学科，在我们学习过程中，掌握好基本的数学知识是非常重要的。
而平方根与勾股定理作为数学中的重要概念，在初中阶段更是需要我们深入掌握和灵活运用。
本文将从数学原理、实际应用和解题技巧三个方面展开，为大家详细介绍初二数学平方根与勾股定理的运用。
一、数学原理1. 平方根的概念平方根是数学中的一个概念，用来表示一个数的算术平方根。
对于一个非负数a，如果有一个数b，使得b的平方等于a，那么b就被称为a的平方根，记作√a。
2. 勾股定理的定义勾股定理是一种表达直角三角形边长关系的定理，也被称为毕达哥拉斯定理。
定理表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即c^2 = a^2 + b^2。
二、实际应用1. 平方根的应用之开平方运算开平方运算是平方根的一种应用形式。
这在测量和计量中具有广泛的应用。
例如，在测量直角三角形的斜边时，我们可以通过求解斜边的平方根来得到其实际长度。
2. 勾股定理的应用之求解三角形的边长勾股定理可以帮助我们在已知两个边长的情况下，求解出直角三角形的第三个边长。
这在实际测量中有着广泛的应用。
例如，我们在测量建筑物高度时可以利用勾股定理来计算。
三、解题技巧1. 平方根的运算技巧在进行平方根运算时，我们可以利用一些技巧来简化计算。
例如，当求解√16时，可以发现16可以分解为4的平方，即16 = 4^2，因此√16 = √4^2 =4。
2. 勾股定理的解题方法在运用勾股定理解决问题时，我们需要注意找到直角形成的两条边，并利用定理进行计算。
同时，还需要注意边长的单位一致性，确保计算的准确性。
总结起来，初二数学中的平方根与勾股定理是我们学习中非常重要的内容。
通过深入理解数学原理、掌握实际应用和解题技巧，我们能够更好地运用这些知识，解决实际问题。
在今后的学习中，我们应该持续加强对平方根与勾股定理的研究和应用，提升自己的数学水平。
7算术平方根及勾股定理
1．算术平方根，那么这个正数x叫做a的算术平方一般地，如果一个正数x的平方等于a，即2x a根.a的算术平方根记为______，读作________，a叫做__________.规定：0的算术平方根是_____.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角___．性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___．4．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．5．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．（20-40分钟）解算术平方根考点1【典题导入】【亮点题】【例1】求下列各数的算术平方根（1）100 （2）0.0001【方法提炼】根据算术平方根的定义求解即可.【小试牛刀】练1.求下列各数的算术平方根（1）0.0025 （2）121【解析】根据算术平方根的定义计算即可.练2. （2014春•普陀区校级月考）2(4) 的算术平方根是________；81的算术平方根的相反数是__________.【解析】先将原式化简，再利用算术平方根的定义求解即可.勾股定理 【典题导入】【亮点题】【例2】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高AD=8，则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对．高线AD 可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【方法提炼】【小试牛刀】练3. （2014秋•绥化六中质检）在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 上的高AD 长为12，则△ABC 的面积为（ ）A ．84B ．24C ．24或84D ．42或84【解析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．练4.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE=（ ）A ．1B ．C ．D ．2等腰直角三角形考点2 考点3【典题导入】【亮点题】【例3】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1【解析】根据△ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△ADE 的面积，找出规律即可．【方法提炼】【小试牛刀】练5.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．勾股定理的应用考点4【典题导入】【亮点题】【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 【解析】可将截取的钢条做为直角边或斜边，然后根据勾股定理，计算出钢条的长度，看其是否符合题意．【方法提炼】【小试牛刀】练6.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米D．米【解析】分两种情况讨论：①第三根铁棒的长为斜边；②第三根铁棒的长为直角边．平面展开-最短路径问题【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC 是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cmD．16cm【解析】根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．练6．（2014春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．【解析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．考点4（20-40分钟）A1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）（5分钟）1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．1．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．2．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．3．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．4．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．参考答案【例1】解： （1）∵102=100∴100的算术平方根是1010=（2）∵0.012=0.0001∴0.0001的算术平方根是0.010.01= 练1. 解： （1）∵0.052=0.0025∴0.0025的算术平方根是0.050.05=（2） ∵112=121∴121的算术平方根是1111=练2. 解： 242==的算术平方根是2；293==3【例2】解：在直角三角形ABD 中，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD 中，根据勾股定理，得CD=6．当AD 在三角形的内部时，BC=15+6=21；当AD 在三角形的外部时，BC=15﹣6=9．则BC 的长是21或9． 故选D ．练3.解：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD==9，CD==5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12=84；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=9，CD=5∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12=24．故选C．练4.解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选D．【例3】解：∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21﹣2；AC==，AD==2…，∴S△ACD=××=1=22﹣2；S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．故选A．练5.解：拿一张纸具体剪一剪，结果为A．故选A．【例4】解：设钢条长度的长度为l cm，将钢条看作直角边，则钢条长度l2+3600=10000，得到l=80，将钢条看作斜边，则l2=3600+10000，所以l=＞90cm，不合题意；故选A．练6.解：①第三根铁棒为斜边时，其长度为：=米；②第三根铁棒的长为直角边时，其长度为：=米．故选C．【例5】解：将圆柱体展开，连接D、C，圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，根据两点之间线段最短，CD==4≈13cm．而走B﹣D﹣C的距离更短，∵BD=4，BC=，∴BD+BC≈11.64≈12．故选B．练7．解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==m；②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB==5＜m；故选C．演练方阵1.考点：勾股定理．分析：根据勾股定理的内容，两直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况进行解答．解：分两种情况进行讨论：①两直角边分别为8，15，由勾股定理得第三边应该为=17，②一直角边为8，一斜边为15，由勾股定理得第三边应该为=，故选D．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．2．考点：勾股定理；三角形内角和定理．分析：先根据∠A：∠B：∠C=1：2：3，求出三个角的度数，然后根据直角三角形的性质进行解答即可．解：若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则根据三角形的内角和定理，得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．设a=x，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得c=2x，再根据勾股定理，得b= x，则a：b：c=1：：2．故选A．点评：熟记30°的直角三角形的三边比是1：：2．3．考点：勾股定理．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5．周长为：3+4+5=12厘米；（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=，周长为：3+4+=7+厘米．故选D．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．4．考点：勾股定理的应用．分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m，在Rt△ABC中，AC===4．点评：此题考查直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．5．考点：勾股定理的应用．分析：根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．解：由勾股定理得，断下的部分为=5米，折断前为5+3=8米．点评：此题主要考查学生运用勾股定理解决实际问题的能力，比较简单．6．考点：平面展开-最短路径问题．分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为：=2.60米．故答案为：2.60．课后作业1．考点：勾股定理．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解：设第三边为x（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=．所以第三边的长为5或．故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．2．考点：勾股定理．分析：分4为直角边和斜边两种情况利用勾股定理求解．解：当3和4是直角边时，第三边是=5；当4是斜边时，第三边是=．故选C．点评：考查分类讨论思想，熟练运用勾股定理．3．考点：勾股定理．分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即较长是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．解：当b是直角边时，根据勾股定理得c2=225﹣64=161；当b是斜边时，根据勾股定理得c2=225+64=289．故选D．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．4．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：首先根据勾股定理和等腰三角形的性质，确定出底边的长，进而求出其周长．解：如图，作高AD，△ABC中，AB=AC=5，AD⊥BC，AD=4；Rt△ABD中，AB=5，AD=4；根据勾股定理，得：BD==3；∴BC=2BD=6；所以△ABC的周长=5+5+6=16；故选C．5．考点：平面展开-最短路径问题．分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．解：如图所示，路径一：AB==13；路径二：AB==；路径三：AB==；∵＞13＞，∴cm为最短路径．点评：此题关键是把长方体拉平后用了勾股定理求出对角线的长度．6．考点：平面展开-最短路径问题．分析：把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于5，另一条直角边长等于2，利用勾股定理可求得．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB==cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．点评：本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．优能测1．考点：平面展开-最短路径问题．分析：题中由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，有两种爬法，即从前面到上面和从前面到右面，将两种爬法所经过的面分别展开，构成两个长方形，连接AC1，用勾股定理求出距离再比较即可．解：（1）如图2，经过上面，AC1==cm．（2）如图3，经过右面，AC1==cm．＜，所以此题答案为cm．2．考点：勾股定理的应用．分析：由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．解：∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，∴折断的部分长为=5，∴折断前高度为5+3=8（米）．点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．3．考点：勾股定理的应用．分析：本题中，要求露出外面的管长h的最短值，其实相当于求一个3×4×10长方体的对角线（此时，h最小），据此解答即可．解：如图所示：连接DC，CF，由题意：ED=3，EC=5﹣1=4CD2=32+42=25=52，CF2=52+102=125，∴吸管口到纸盒内的最大距离==5≈11cm．∴h=13﹣11≈2cm．故答案为：2．点评：本题考查了勾股定理的运用，要弄清楚h最短时管子的摆放姿势，然后根据勾股定理即可得出结论．4．考点：勾股定理的应用．分析：根据图形标出的长度，可以知道AC和BC的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边A和B的距离．解：∵AC=150﹣60=90mm，BC=180﹣60=120mm，∴AB==mm．。
第二章 勾股定理与平方根 基础知识复习讲义(2)
第二章 勾股定理与平方根 基础知识复习讲义（2）（主备人：陶明迎 审编：王恒川）要点回顾【知识点 1】 平方根概念： 算术平方根： 〖基础回顾〗1.求下列各数的平方根和算术平方根（先表示，再化简） 36 42 1452-1442 162．求下列各式中x 的值．0252=-x 81)1(42=+x 6442=x 09822=-x【知识点 2】 平方根意义： 〖基础回顾〗 计算： 914414449⋅494 8116- 41613+-【知识点 3】立方根概念： 立方根的意义： 〖基础回顾〗1．求各数的立方根（先表示，再化简） 125 （-8）2-642.计算 ⑴ 327102- （2）3271-- （3）336418-∙3.求下列各式的x.⑴x 3-216=0 ⑵8x 3+1=0 ⑶(x+5)3=64【知识点 4】 无理数概念： 常见无理数有： 〖基础回顾〗 1．在实数31，38-，3.14，π，2-，39中属于有理数有 ；属于无理数的有 ． 2．下列说法正确的是（ ）.A.无限小数都是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数是无限小数D.无理数是开方开不尽的数【知识点 5】 实数概念及分类 实数：〖基础回顾〗 1．与数轴上的点一一对应的数是 。
2. 数轴上表示6-的点到原点的距离是 。
点M 在数轴上与原点相距5个单位，则点M 表示的实数为 。
3. 227.2540.317π-- 1.232232223222有理数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝ 正实数集合：｛ …｝负实数集合：｛ …｝实数正有理数正无理数负无理数4．在数轴上画出表示【知识点5】在实数范围内，无理数与有理数意义相同〖基础回顾〗1．21-的相反数是；绝对值是．2.-8-3.的倒数是，绝对值是，相反数是。
的算术平方根为。
【知识点6】近似数与有效数字有效数字。
了解精度的意义〖基础回顾〗1．用四舍五入法求30449的近似值，要求保留三个有效数字，结果是（）A.3.045×104B.30400 C3.05×104 D3.04×1042.近似数0.003020的有效数字个数为（）A.2B.3C.4D.53．2.4万的原数是 .4.近似数0.4062精确到，有个有效数字。
八年级数学第二章勾股定理与平方根知识梳理解读
初二年级数学学科第一单元知识点梳理第二章勾股定理与平方根江苏省数学特级教师张顺和二、典例分析例1 在△ABC 中，AB=17, AC=10,BC边上的高AD=8，则BC=_______. 分析已知三角形的两边与第三边上的高，这个三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，所以应分类考虑。
解如图1，当∠ACB 是锐角时，在Rt ⊿ABD 中，根据勾股定理，BD=AB 2-AD 2=2-82=15, 在 Rt⊿ACD 中, 根据勾股定理，CD=AC 2-AD 2=2-82=6 则BC=BD+CD=15+6=21如图2，当∠ACB 是钝角时， BC=BD-CD=15-6=9。
AA图1图2例2 已知｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0.求x ，y ，z 的值.分析因为绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，而几个非负数的和为0，则每一个加数都为0，从而可得方程组，进而求得x 、y 、z 的值.解∵｜x －1｜≥0，（y+3）2≥0，x +y +z ≥0，又｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0，⎧|x -1|=0⎧x -1=0⎪⎪2(y +3 =0即⎨⎨y +3=0⎪⎪x +y +z =0x +y +z =0⎩∴⎩⎧x =1⎪⎨y =-3⎪z =2∴⎩说明（1）到目前为止，我们学习了三种非负数：①绝对值｜a ｜，②平方数a 2，③算术平方根a （a ≥0）；（2）非负数+非负数=非负数；若几个非负数之和等于0，则这几个非负数一定都为0.例3 说明近似数1. 6与1. 60的区别。
解（1）精确度不同，近似数1. 6精确到十分位，而1. 60精确到百分位；（2）有效数字不同，近似数1. 6含有2个有效数字，分别是1、6，而1. 60含有3个有效数字，分别是1、6，0；（3）数轴上表示的范围不同，若设x ≈1. 6, y ≈1. 60，则有1. 55≤x <1. 65 ，1. 595≤y <1. 605。
初二平方根勾股定理立方根
八年级数学提优训练勾股定理，平方根，立方根，实数一、勾股定理勾股定理： 。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 。
公式的变形： 。
（满足a 2 + b 2＝ c 2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
）例1.已知一个直角三角形的两边长分别为5和12，则其周长为 2.如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3.某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，,因为活动，要在AB 段铺设红地毯，求红地毯的长度为4、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？5.如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和为多少？6.如图是一块地，已知AD ＝8m ，CD ＝6m ，∠D ＝90°，AB ＝26m ，BC ＝24m ，求这块地的面积。
二、勾股定理的逆定理： 。
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方＝较小两边的平方和.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边为 。
例 1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 。
2．已知△ABC 中，三条边长分别为a ＝n 2－１， b ＝2n ， c ＝n 2＋１ （n ＞1）．试判断该三角形是否是直角三角形，若是，请指出哪一条边所对的角是直角．三、最短距离问题：主要运用的依据是 。
例 1.在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。
勾股定理的方程式
勾股定理的方程式勾股定理，也称直角三角形定理，是数学中的一个重要定理，用于解决与直角三角形有关的计算问题。
勾股定理的方程式为a² + b² = c²，其中a、b和c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边的长度。
勾股定理最早出现在中国古代《周髀算经》中，但被称为勾股定理的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。
他发现了一个有趣的数学关系：在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
这个关系被称为勾股定理，是毕达哥拉斯学派的基础之一。
勾股定理的应用十分广泛，可以解决很多与直角三角形相关的计算问题。
其中最常见的就是通过已知两条直角边的长度来求解斜边的长度。
例如，如果已知一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度。
根据勾股定理的方程式，将已知的直角边长度代入，得到3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，进一步计算可得c² = 25，再开平方根得到c = 5。
因此，斜边的长度为5cm。
除了求解斜边长度外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
通过测量三角形的三条边的长度，并代入勾股定理的方程式进行计算，可以判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理还可以应用于解决实际问题。
例如，在建筑设计中，勾股定理可以用来计算墙角是否为直角，从而确保建筑结构的稳定性。
在导航和航海中，勾股定理可以用来计算两个地点之间的距离或角度。
在物理学中，勾股定理可以用来计算力的合成与分解，以及描述物体在斜面上滑动的问题。
总结来说，勾股定理是直角三角形中的一个基本定理，通过方程式a² + b² = c²描述了两个直角边的平方和等于斜边的平方的关系。
苏教科版初中数学八年级上册勾股定理、平方根、立方根
如 果 三 角 形 的 三 边 长 a、 b、 c 满 足
，那么这个三角形
是
.
3、如果
等于 a，那么这个数叫做的 a
,也称为二次方根.
4、一个正数 a 的平方根，记作
。
平方根的性质：
；
；
.
5、正数 a 有两个平方根,其中
,叫 a 的算术平方根.
6、如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的
，也称为三次方根.即
） B、7 是—49 的平方根
C、5 的平方根是 5
D、7 的平方根是 7
2、下列说法错误的是（
）
A、9 的算术平方根是 3
B、2 是 8 的立方根
C、7 的平方根是 7
D、7 的立方根是 3 7
二、填空题：
（ 1） 16 的 平 方 根 是
是
；
3 的平方根是
； 25 的 平 方 根 是
； 100 的 平 方 根
因为 23 8 ，所以 2 是 8 的立方根。也可以说 8 的立方根是 2，可以表示为 3 8 2 . 27 的立方根是 3，即 3 27 3 ， 64 的立方根是 4 ，即 3 64 4 ，10 的立方根是
TB:小初高题库
苏科版初中数学
3 10 .
一、选择题：
1、下列语句正确的是（ A、9 的平方根是—3
；5 的平方根是
；(-2)2 的平方根是
；
81 的平方根是
.
（2） 36 =
； 0.01
； 5 2
； 162
；
相信自己，就能走向成功的第一步
TB:小初高题库
苏科版初中数学
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维 可以让他们更理性地看待人生
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
结论为：勾三股四弦五a2+b2=c21、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。
(例如，3、4、5是一组勾股数)。
利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根1、定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是其中2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。
也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作，读作三次根号a。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
初二数学勾股定理知识点勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。
初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思
初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思在初中数学教学中，平方根与勾股定理是较为重要的数学概念和定理，对学生的数学思维能力培养具有重要意义。
本文将探讨初二教案平方根与勾股定理的教学实施与反思，并分享相关教学经验。
一、教学目标的确立和教材解读在教学开始前，我们首先要明确本节课的教学目标，并根据教材内容进行解读。
通过预习教材和准备教学材料，教师可以更好地理解并掌握本课的教学内容，从而更好地引导学生学习。
二、教学内容的呈现和讲解1. 平方根的引入：为了引起学生的兴趣，我们可以通过生活实例引入平方根的概念。
例如，可以提问学生：如果一个正方形的面积是16平方米，那么它的边长是多少米？让学生尝试运用逻辑思维，引导他们发现平方根的概念。
2. 平方根的计算：接下来，我们可以通过实例演算和解题讲解的方式，教授平方根的计算方法。
教师可以给出几个简单的平方根计算题目，帮助学生理解平方根的计算步骤。
3. 勾股定理的引入：引入勾股定理时，可以通过三角形的实例进行说明。
可以给学生一个直角三角形的例子，让学生观察三边的关系，引导他们提出猜想。
然后，通过演算和证明，引导学生理解和掌握勾股定理。
4. 勾股定理的应用：在讲解勾股定理的同时，应当结合实例进行讲解。
例如，可以通过解决直角三角形的边长问题，让学生应用勾股定理进行计算。
三、教学方法与教具的选择与运用1. 体验式学习：在教学过程中，我们可以采用一些体验式的教学方法，如让学生自己动手操作、解决问题、发现规律和总结定理等。
例如，可以准备一些平方根和勾股定理的实践题目，让学生在实践中理解和掌握知识。
2. 多媒体教具的运用：在教学中，适当运用多媒体教具（如电子课件、数学软件等）可以提高学生的学习兴趣，并增加教学效果。
通过多媒体教具的展示，学生可以更清晰地观察图形、了解计算步骤，并更好地理解与应用平方根和勾股定理。
四、学生参与与交流在教学过程中，充分调动学生的积极性和主动性，鼓励学生提问和参与讨论，可以有效地促进学生对知识的理解和掌握。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 1 页
共 3 页 -3432 1 0-1 -2D C B O
A （第10题）
八（上）数学第二章作业
一、选择题：
1.16的平方根是
A.4 B ．±4 C.256 D ．±256 2.64的立方根是
A.4 B ．±4 C.2 D ．±2 3.下列实数
722，3，38，4，3
π
，0.1， 010010001.0-，其中无理数有 A. 2个 B.3个 C.4个 D.5个
⒋ 对0.000009进行开平方运算，对所得结果的绝对值再进行开平方运算……随着开方次数的增加，其运算结果
A.越来越接近1
B.越来越接近0
C.越来越接近0.1
D.越来越接近0.3 ⒌地球七大洲的总面积约是1494800002
km ，如对这个数据保留3个有效数字可表示为
A ．1492km
B ．1.5×108
2km C ．1.49×108
2km D ．1.50×108
2
km
⒍如图,若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数-2，1，2，3，则表示74-的点P 应在线段
A ．线段A
B 上 B ．线段B
C 上 C ．线段C
D 上 D ．线段OB 上
⒎对于10.08与0.1008这两个近似数 ,它们的
A ．有效数字与精确位数都不相同
B ．有效数字与精确位数相同
C ．精确位数不同,有效数字相同
D ．有效数字不同,精确位数相同
⒏ 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是
A. 12米
B. 13米
C. 14米
D. 15米 ⒐ 三角形三边长分别为a 2
＋b 2
，a 2
－b 2
，2ab （a>b ，a 、b 都为整数），
则这个三
角形是
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 ⒑ 右图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它取材于我国古代
数学家赵爽的《勾股圆方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，
那么（a +b ）2
的值是
A ．13
B ．19
C ．25
D ．169 二、细心填一填
⒒ 若x 2
＝9，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．
⒓ 算术平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 ． 13．求图中直角三角形中未知的长度：b=__________，c=____________．。
10（第13题）
第
12
题
图
14．近似数1.8×105精确到位，有个有效数字.
15．如图，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m
这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 m．
16．在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是．
17．如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的直径之比是3∶4，面积和为100，则大的半圆面积是___________.
18．在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝ cm.
三、解答下列各题
19．求下列各式中的实数x.
(1)｜x－5｜＝10； (2)81
42
x； (3) (x＋10)3＝－27．
20．在学习“神秘的数组”的课堂上,老师请同学们判断以3、4、5为边长的三角形是否为直角三角形时，小明是这样回答的：因为42+52=41，32=9，42+52≠32，所以以3、4、5为边长的三角形不是直角三角形。
如果当时你也在课堂上，你的意见是什么？并说出你这样回答的理由．
21.如图Rt△ABC，∠ACB＝90°，CD是AB边上高，AC＝16，
BC＝12，求CD、AD的长．
A
E
B
C
D
F
C′
（第17题）（第18题）
（第16题）
C
B
D
A
（第15题）
B
第 2 页共3 页
第 3 页 共 3 页
图2 图3
图1
22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
⑴在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
⑵在图2、图3中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．
23．今年9月11日,第十五号台风“卡努”登陆浙江,A 市接到台风警报时，台风中心位于A 市正南方向125km 的B 处，正以15km/h 的速度沿BC 方向移动．
（1）已知A 市到BC 的距离AD=35km ，那么台风中心从B 点移到D 点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心40km 的圆形区域内都将受到台风影响，那么A 市受到台风影响的时间是多长？（结算结果精确到1分钟）
24． ⑴ 填表：
⑵ 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律。
⑶ 根据你发现的规律填空：
① 已知442.133=，则=33000 ，=3003.0
，②
已知07696.0000456.03=，则
=3
456 ；
25．如图，在ABC 中，AB=AC ，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？并分别画出所拼四边形的示意图（标出所有的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长。
（不要求写出计算过程，只需写结果） A
B
C D （第23题）
D C
B。