组合数学习题答案卢开澄

根据乘法法则，能除尽它的数个数为 41*31=1271
1.9 题 试证 n2 的正除数的数目是奇数。
证明：设有 0 a n, n b n2 , 则一定有表达式 n2 a b ，
则 可知符合范围的 a 和 b 必成对出现，所以为偶数。
又当 a=b=n 时，表达式 n2 =a b 仍然成立。 所以 n2 的正除数的数目是“偶数 1”为奇数。
当 a-b=-5 时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有 45 对。
所以这样的序列有 90 对。
（2）：由题意知，|a-b| 5 |a-b|=1 或|a-b|=2 或|a-b|=3 或|a-b|=4 或|a-b|=5 或|a-b|=0；
由上题知当|a-b|=5 时 有 90 对序列。
当|a-b|=1 时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这
样的序列有 49*2=98 对。
当此类推当|a-b|=2，序列有 48*2=96 对，当|a-b|=3 时，序列有 47*2=94 对，当|a-b|=4 时，序列
有 46*2=92 对，
当|a-b|=0 时有 50 对
所以总的排列数为上述 6 种情况之和。
1.3 题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n 都是正整数，若
(a)男生不相邻 (m n 1) ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生 A 和女生 B 排在一起；
分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n 个女生先排成一排，形成 n+1 个空。因为 m n 1正好 m 个男生可以插在 n+1 个空中，形成不
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2 题 5 个女生，7 个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多
少种不同的排列？(c) 两男生 A 和 B 之间正好有 3 个女生的排列是多少？
解：（a）可将 5 个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！，
2*5*8*7+3*4*8*7=1232
2
1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！
解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！
n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)!
所以 1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n！=(n+1)!－１
1.10 题 证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:
证：对 n 用归纳法。 先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。 假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!≤n＜(k+1)!,即 0≤n-k!＜k·k!
1.7 题 试证： (n 1)(n 2)(2n) 被 2n 除尽。
证明：因 (2n)! 2n n!(2n 1)!!
(n
1)(n
2)(2n) 2n
n!(n
1)(n 2)(2n) n!2n
(2n)! n!2n
来自百度文库
(2n
1)!!
因为(2n-1)!!是整数所以 (n 1)(n 2)(2n) 能被 2n 除尽。
相邻的关系。
p p 则男生不相邻的排列个数为
n
n1
nm
(b) n 个女生形成一个整体有 n！种可能，把它看作一个整体和 m 个男生排在一起，则排列数有
(m+1)!种可能。
因此，共有 n ! (m 1)!种可能。
(c)男生 A 和女生 B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有 2！种可能，
A、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！
（b）用 x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8 个空缺，
YXYXYXYXYXYXYXY
在其中任取 5 个得到女生两两不相邻的排列数： C（8，5）×7！×5！
（c）先取两个男生和 3 个女生做排列，情况如下：
6. 若 A，B 之间存在 0 个男生，
A，B 之间共有 3 个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2
组合数学习题答案卢开 澄
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b| 5；
解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5 或者 a-b=-5，
由列举法得出，当 a-b=5 时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有 45 对。
1．8 题 求1040 和 2030 的公因数数目。
解：因为1040 240 *540 240 *530 *510
2030 260 *530 240 * 220 *530
它们最大公因子为 240 *530 转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它的整数是
2a *5b ,0 a 40,0 b 30
(这里实际上是 m+n-2 个学生和 AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为 2! (m n 1)!
1.4 题 26 个英文字母进行排列，求 x 和 y 之间有 5 个字母的排列数
解：C（24，5）*13！
1.5 题 求 3000 到 8000 之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
解：根据题意，千位可以从 3，4，5，7，6 中选取，个位可以从 1，3，5，7，9 中选取；因此
P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2
4．若 A，B 之间存在 4 个男生，A，B 之间共有 7 个人，所有的排列应为
P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2
5．若 A，B 之间存在 5 个男生，A，B 之间共有 8 个人，所有的排列应为
P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2
1．若 A，B 之间存在 1 个男生，
A，B 之间共有 4 个人，所有的排列应为 P1=
C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2
2．若 A，B 之间存在 2 个男生，A，B 之间共有 5 个人，所有的排列应为
P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2
3．若 A，B 之间存在 3 个男生，A，B 之间共有 6 个人，所有的排列应为