质心运动定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M
Mdv dM Mg vr dt dt dM 0 gdt 0 dv v r M 0 M
t v M
t
M0 v v r ln gt M
（火箭的速度方程）
讨论 (1) 若不考虑重力 (2) 多级火箭问题
M0 v v r ln M
M0 火箭的质量比 N M
v1 v r lnN1 v 2 v1 v r lnN 2
k
m2 F
O
x
d
§3.5 变质量动力学简介
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 合并前的速度为 u，根据动量定理有
Fdt (m dm)(v dv ) (mv dmu )
x d m dx 0 dx l
dm dx
O
xC
x
由质心定义有
x dx xdm 0 l xC 0 l l x d m 0 0 0 l dx
l l
x 0
xdx
0 l 0
l
x 2 dx
2 l 3
二. 质心运动定理
• •
dri mi miv i drc d t 质心的速度 v c d t m m P mv c —— 质点系的总动量
§3.4 质心
一. 质心
质心运动定理
N个质点的系统（质点系）的质心位置
rc
m r ii
i 1 N
N
mi
i 1
m r ii
i 1
N
m
m1 , m2 ,...mi , ...mn r1 , r2 ,...ri , ...rn
z mi
质量连续分布的系统的质心位置
质心的加速度和动力学规律
Pi m
dv c ac dt
dP dv c （质心运动定理） F m mac dt dt
说明 一个质点的运动，该质点集中整个系统质 （1）质心的运动： 量，并集中系统受的外力 （2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产 生加速度
m2 ri
rC
rc
N
lim ri mi
i 1
N
m
r dm m
x
m1 r1
O y
例题
已知地球是质量约为月亮质量的81倍，地月 距离是地球半径的60倍，试确定地月系统质 心的位置．
ME
地球
O RE
C r1
MM r2
月亮
x
解：选地球中心为坐标原点，并设各量符号 如图． M
例 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾 求 人和船各移动的距离 解 在水平方向上，外力为零，则
x1
x1 '
dv cx acx 0 dt
xc xc
O
开始时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
x2 ' x2
x
终了时，系统质心位置
Mx2 mx1 xc mM ml 解得 S mM
例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置 解 建坐标系如图 取 dl
M dm Rd dl Rd πR x Rcos y Rsin π M Rsin Rd 2 R y d m 0 πR yc M M π
dm = d l
y
d
dm
O
y
F1
A
3m
o
4m
B F2
x
例题
如图，用劲度系数为k的轻质弹簧，将质量分别为m1 和m2的物体连接起来，放置在光滑的水平面上．设 m1 紧靠墙，在m2上施力将弹簧压缩d．若以物体m1 、m2 和弹簧为系统，试求在外力撤去之后，（1）系统质 心加速度的最大值；（2）系统质心速度的最大值．
m1 F
E
地球
O RE
C r1
MM r2
月亮
x
由质心定义有质心位置为
r1 M E 0 M M (r1 r2 ) M M (r1 r2 ) ME MM ME MM
由已知：r1 r2 60RE ，M E 81M M ，代入上式有地 月系统质心的位置为：
r1 M M (r1 r2 ) M M (60 RE ) 60 3 RE RE ME MM 81M M M M 82 4
x
xc 0
几何对称性
说明 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上
(2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与 其它因素无关
例题
长为l的细杆的密度 按关系式 ＝0x/l 随x而变化， 其中x是从杆的一端算起的距离，0为常量．试求该 细杆质心的位置． 解：将细杆分为无限 多小质元dm，
略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u )dm
vr u v
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
Fdt mdv v r dm
dm dv F vr m dt dt
（密歇尔斯基方程）
Hale Waihona Puke Baidu
变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程 t 时刻，火箭质量为 M，速度为 v 当不计空气阻力，只计重力，则 v
v v r ln( N1 N 2 ...)
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
神舟六号点火升空
注：照片摘自新华网
神舟六号发射成功
http://news.xinhuanet.com/st/2005-10/12/content_3610021.htm
注：照片摘自新华网
M ( x2 x2 ' ) m( x1 ' x1 ) S lS Ml slS mM
例题
如图，质量分别为m1=10.0kg和m2=6.0kg的两小 球A和B，用质量可略去的刚性细杆连接，开始时 它们静止在oxy平面上，在图示的外力F1=8.0N和 F2=6.0N的作用下运动．试求：（1）它们的质心 坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时 间的函数关系．
Mdv dM Mg vr dt dt dM 0 gdt 0 dv v r M 0 M
t v M
t
M0 v v r ln gt M
（火箭的速度方程）
讨论 (1) 若不考虑重力 (2) 多级火箭问题
M0 v v r ln M
M0 火箭的质量比 N M
v1 v r lnN1 v 2 v1 v r lnN 2
k
m2 F
O
x
d
§3.5 变质量动力学简介
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为v，由于外力 F 的作用 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 合并前的速度为 u，根据动量定理有
Fdt (m dm)(v dv ) (mv dmu )
x d m dx 0 dx l
dm dx
O
xC
x
由质心定义有
x dx xdm 0 l xC 0 l l x d m 0 0 0 l dx
l l
x 0
xdx
0 l 0
l
x 2 dx
2 l 3
二. 质心运动定理
• •
dri mi miv i drc d t 质心的速度 v c d t m m P mv c —— 质点系的总动量
§3.4 质心
一. 质心
质心运动定理
N个质点的系统（质点系）的质心位置
rc
m r ii
i 1 N
N
mi
i 1
m r ii
i 1
N
m
m1 , m2 ,...mi , ...mn r1 , r2 ,...ri , ...rn
z mi
质量连续分布的系统的质心位置
质心的加速度和动力学规律
Pi m
dv c ac dt
dP dv c （质心运动定理） F m mac dt dt
说明 一个质点的运动，该质点集中整个系统质 （1）质心的运动： 量，并集中系统受的外力 （2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产 生加速度
m2 ri
rC
rc
N
lim ri mi
i 1
N
m
r dm m
x
m1 r1
O y
例题
已知地球是质量约为月亮质量的81倍，地月 距离是地球半径的60倍，试确定地月系统质 心的位置．
ME
地球
O RE
C r1
MM r2
月亮
x
解：选地球中心为坐标原点，并设各量符号 如图． M
例 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾 求 人和船各移动的距离 解 在水平方向上，外力为零，则
x1
x1 '
dv cx acx 0 dt
xc xc
O
开始时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
x2 ' x2
x
终了时，系统质心位置
Mx2 mx1 xc mM ml 解得 S mM
例 已知一半圆环半径为 R，质量为M
求 它的质心位置 解 建坐标系如图 取 dl
M dm Rd dl Rd πR x Rcos y Rsin π M Rsin Rd 2 R y d m 0 πR yc M M π
dm = d l
y
d
dm
O
y
F1
A
3m
o
4m
B F2
x
例题
如图，用劲度系数为k的轻质弹簧，将质量分别为m1 和m2的物体连接起来，放置在光滑的水平面上．设 m1 紧靠墙，在m2上施力将弹簧压缩d．若以物体m1 、m2 和弹簧为系统，试求在外力撤去之后，（1）系统质 心加速度的最大值；（2）系统质心速度的最大值．
m1 F
E
地球
O RE
C r1
MM r2
月亮
x
由质心定义有质心位置为
r1 M E 0 M M (r1 r2 ) M M (r1 r2 ) ME MM ME MM
由已知：r1 r2 60RE ，M E 81M M ，代入上式有地 月系统质心的位置为：
r1 M M (r1 r2 ) M M (60 RE ) 60 3 RE RE ME MM 81M M M M 82 4
x
xc 0
几何对称性
说明 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上
(2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与 其它因素无关
例题
长为l的细杆的密度 按关系式 ＝0x/l 随x而变化， 其中x是从杆的一端算起的距离，0为常量．试求该 细杆质心的位置． 解：将细杆分为无限 多小质元dm，
略去二阶无穷小量
Fdt mdv (v u )dm
vr u v
dm 与 m 合并前 相对于m 的速度
Fdt mdv v r dm
dm dv F vr m dt dt
（密歇尔斯基方程）
Hale Waihona Puke Baidu
变质量动力学的应用 —— 火箭的运动方程 t 时刻，火箭质量为 M，速度为 v 当不计空气阻力，只计重力，则 v
v v r ln( N1 N 2 ...)
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
神舟六号点火升空
注：照片摘自新华网
神舟六号发射成功
http://news.xinhuanet.com/st/2005-10/12/content_3610021.htm
注：照片摘自新华网
M ( x2 x2 ' ) m( x1 ' x1 ) S lS Ml slS mM
例题
如图，质量分别为m1=10.0kg和m2=6.0kg的两小 球A和B，用质量可略去的刚性细杆连接，开始时 它们静止在oxy平面上，在图示的外力F1=8.0N和 F2=6.0N的作用下运动．试求：（1）它们的质心 坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时 间的函数关系．