数列递推关系式求通项常用方法

由数列的递推公式求通项公式的常用方法
递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考察逻辑推理和转化化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点.解决这类问题的关键在于将所给的递推数列经过变形、代换等手法转化为等差或等比数列，然后求其通项公式. 类型1：)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 )1(,),2(),1()(123121-+=+=+=+=-+n f a a f a a f a a n f a a n n n n 型：,
累加得);1()2()1(1-++++=n f f f a a n
累加法也可以写为112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
例：已知数列{}n a 满足21=a ，11++=+n a a n n ，求n a 。

类型2：n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 ,)1(,,)2(,)1()(123121-+-====n n n n a n f a a f a a f a a n f a 型：
累乘得);1()2()1(1-=n f f f a a n 累乘法也可以写为112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=
--- . 例：已知31=a ，n n a n n a 2
3131+-=+ )1(≥n ，求n a
类型3：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）
解法1（待定系数法）：把原递推公式转化为)λ-(λ-1n n a p a =+，其中由待定系数法求得λ，再利用换元法转化为求等比数列}{λ-n a 进而求解。

解法2（相减法）：由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，两式相减有)(11-+-=-n n n n a a p a a ，构造等比数列}{1--n n a a 得1121)(---=-n n n p a a a a ，然后用累加法即可求n a .
（注意：该模型是递推数列求通项公式的基本模型，大部分的递推数列最终都可以转化为该模型进行解决.）
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
类型4：n n n rq pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，0)1)(1(≠--q p pqr ） 解法：当p=q 时，则先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q r q a q p q a n n n n +•=++11引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q
b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。

当q p ≠时，则先将原等式转化为),(11n n n n q a p q a λλ+=+++由待定系数法求得λ，从而转化为}{n n q a λ+是公比为p 的等比数列；
例:已知数列{}n a 中，651=
a ,11)2
1(21+++=n n n a a ，求n a 。

变式：在数列}{n a 中，已知n n n n a a a a 求,32,211+==+.
类型5：递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

（不常用）
解法： 先将原式转化为)(112n n n n xa a y xa a -=-+++（其中x,y 由待定系数法求得），进而得到等比数列}{1n n xa a -+，再为转化为模型4求n a .
例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13212+=++，求n a
类型6：递推公式为n S 与n a 的关系式。

(或()n n S f a =)
解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n
n ，由)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例：已知数列{}n a 前n 项和221
4---=n n n a S .
（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
类型7：b an pa a n n ++=+1)001
(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即将原等式化为)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++（其中x,y 由待定系数法求得），从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
类型8：r n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例：已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(2
1,110N n a a a a n n n ∈-==+求数列}{n a 的通项公式a n .
类型9： )
()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例：已知数列｛a n ｝满足：1,13111=+⋅=
--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

其他模型——归纳推理法
有些递推数列的通项若以上方法都不凑效时，我们不妨运用“归纳—猜想—证明”的归纳推理法，从前几项中找出其规律，然后猜出其通项（适用于选择填空题，若解答题用此法必须加以证明）
例.在数列}{n a 中，已知=∈-===++2013*1221),(,,a N n a a a b a a a n n n 则________.。