中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析

在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。

在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。

一.考试说明要求

图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。

图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。

图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。

二.基本图形及辅助线

解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解

决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例：

1、与相似及圆有关的基本图形

2、正方形中的基本图形

3、基本辅助线

（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；

（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；

（4）特殊图形的辅助线及其迁移

．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加）等

作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数

平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形

平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。

注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

三.题目举例

(一)基本图形与辅助线的添加

例1、已知： AC 平分MAN ∠

（1）在图1中，若︒=

∠120MAN ，︒=∠=∠90ADC ABC ，AC AD AB ___+。（填写

“>”或“<”或“=”）

（2）在图2中，若︒=∠120MAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，则（1）中结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）在图3中：

①若︒=∠60MAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，判断AD AB +与AC 的数量关系，并说明理由；

②若)1800(︒<<︒=∠α

αMAN ，︒=∠+∠180ADC ABC ，则AC AD AB _____=+（用

含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）

解

：

(1)

AB

＋

AD

=

AC ．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．

证明：如图2过C 作CE⊥AM 于E ，CF⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．

∵ AC 平分∠MAN，∠MAN=120°，

N

M A

C

D

E

∴ ∠MAC=∠NAC=60°．

又∵ AC=AC ， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF ，CE=CF ．

∵ 在Rt△C EA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE ． ∴ AE+AF=2AE=AC ． ∴ ED+DA+AF=AC ． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．

又∵ CE=CF ，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB ， ∴ FB+DA+AF=AC ．

∴ AB+AD=AC ．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC ．

证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH ．

∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=23AC ．∴AG+AH=3AC ．

∴GD+DA+AH=3AC ．

方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC ．

∴AD+AB=3AC ．-------------------------------------------------------------------------------------6分

②AB＋AD ＝2cos 2α·AC．-------------------------------------------------------------------7

分

例2、已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==, ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.

A