大连理工大学 矩阵与数值分析 第6章 数值积分(1)201711
大连理工大学《矩阵与数值分析》2005-2009年真题答案
大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2005 年 12 月 12 日 试卷共 7 页一二三四五 六 七 总分 标准分 得 分装 一、填空（共30分，每空1.5分）（1）误差的来源主要有 、 、 、 .（2）要使 7459666.760=的近似值a 的相对误差限不超过310-，应至少取 位有效数字, 此时的近似值a = .订 （3）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4224A , 则1A ＝ , 2A ＝ , ∞A ＝ , F A ＝ ,谱半径)(A ρ＝ , 2-条件数)(2A cond ＝ , 奇异值为 .线 （4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=-]1,0,1[f ，=-]3,1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：，其收敛阶 . （7）计算u u 5-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 . 为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（12分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解，并求解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1085Ax .三、（6分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=622292221A 的QR 分解（Q 可表示为两个矩阵的乘积）.四、（12分）根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则Jacobi 法和G-S 法均收敛.五、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数.27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .六、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法,1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.七、（18分）求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的标准正交多项式系)(0x ψ, )(1x ψ, )(2x ψ, 并由此求3x ])1,1[(-∈x 的二次最佳平方逼近多项式, 构造Gauss 型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f , 并验证其代数精度.大 连 理 工 大 学课 程 名 称： 计算方法 试卷： A 考试形式： 闭卷 授课院（系）： 数学系 考试日期： 2006 年 12 月 11 日 试卷共 8 页一二三四五 六 七 八 总分 标准分 得 分装订 一、填空（共30分，每空2分）线 （1）误差的来源主要有 .（2）按四舍五入的原则，取 69041575.422= 具有四位有效数字的近似值 a = ，则绝对误差界为 ，相对误差界为 .（3）矩阵算子范数M A ||||和谱半径)(A ρ的关系为： ，和 .（4）设44⨯∈CA ,特征值3,24321====λλλλ,特征值2是半单的，而特征值3是亏损的，则A 的Jordan 标准型=J.（5）已知x x x f 3)(2-=，则=]1,0[f ，=-]1,0,1[f .（6）求01)(3=-+=x x x f 在5.0=x 附近的根α的Newton 迭代公式是：.（7）使用Aitken 加速迭代格式)(1-=k k x x ϕ得到的Steffensen 迭代格式为：，对幂法数列}{k m 的加速公式为：.（8）1+n 点的Newton-Cotes 求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(的最高代数精度为.（9）计算u u 7-=')10(≤≤t , 1)0(=u 的数值解的Euler 求解公式为 ，为使计算保持绝对稳定性, 步长h 的取值范围 .二、（10分） 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4224A , 计算1A ,2A ,∞A ,F A , 谱半径)(A ρ, 2-条件数)(2A cond , 和奇异值.三、（10分）求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820251014A 的Doolittle 分解和Cholesky 分解.四、（4分）求Householder 变换矩阵将向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221x 化为向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003y .五、（12分）写出解线性方程组的Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR ）法的矩阵表示形式，并根据迭代法f Bx x k k +=+)()1(对任意)0(x 和f 均收敛的充要条件为1)(<B ρ, 证明若线性方程组b Ax =中的A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR ）法当松弛因子]1,0(∈ω时收敛.六、（12分）求满足下列插值条件的分段三次多项式（]0,3[-和]1,0[）, 并验证它是不是三次样条函数. 27)3(-=-f , 8)2(-=-f , 1)1(-=-f , 0)0(=f , ]0,3[-∈x ；0)0(=f , 0)0(='f , 0)1(=f , 1)1(='f , ]1,0[∈x .七、（12分）证明区间],[b a 上关于权函数)(x ρ的Gauss 型求积公式∑==nk k k n x f A f I 0)()(中的系数⎰=bak k dx x l x A )()(ρ，其中)(x l k 为关于求积节点n x x x ,,10的n 次Lagrange 插值基函数，n k ,1,0=. 另求]1,1[-上以1)(≡x ρ为权函数的二次正交多项式)(2x ψ, 并由此构造Gauss型求积公式⎰-+≈111100)()()(x f A x f A dx x f .八、（10分）证明线性二步法])13()3[(4)1(212n n n n n f b f b hbu u b u +++=--++++, 当1-≠b 时为二阶方法, 1-=b 时为三阶方法, 并给出1-=b 时的局部截断误差主项.大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005级试A 卷答案课 程 名 称： 计算方法 授课院 (系)： 应 用 数 学 系 考 试 日 期：2007年11 月 日 试卷共 6 页一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分标准分 42 8 15 15 15 5 / / / / 100 得 分一、填空（每一空2分，共42分）1．为了减少运算次数，应将表达式.543242161718141311681x x x x x x x x -+---++- 改写为()()()()()()()1816011314181716-+++---+-x x x x x x x x x ；2．给定3个求积节点：00=x ，5.01=x 和12=x ，则用复化梯形公式计算积分dxe x ⎰-12求得的近似值为()15.02141--++e e ， 用Simpson 公式求得的近似值为()15.04161--++e e 。
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)
双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂xu a t u ，进一步有0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于xat ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dtdu dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂x ua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3） adx dt 1±=解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t utC C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业代码
T
方程组，并比较计算结果。
1.1 程序
（1）高斯消元法 n=10 时， >> [A,b]=CreateMatrix(10) A= 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6
1.3 M 文件
.m 1.3.1 CreateMatrix CreateMatrix.m function [A,b]=CreateMatrix(n) %用于存放习题1的题目信息，并建立构造题目中矩阵的函数 %对矩阵A赋值 A1=6*ones(1,n); A2=ones(1,n-1); A3=8*ones(1,n-1); A=diag(A1)+diag(A2,1)+diag(A3,-1); %对向量b赋值 b=15*ones(n,1); b(1)=7; b(n)=14;
10
，迭代次数上限取默认值
50，使用 Jacobi 法进行迭代。 >> test2 >> b=ones(20,1) >> x0=zeros(20,1) >> [x,n]=JacobiMethod(A,b,x0) x= 0.2766 0.2327 0.2159 0.2223 0.2227 0.2221 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2222 0.2221 0.2227 0.2223 0.2159 0.2327 0.2766
数值分析第6章积分
其中(-1,1).
b
ò f (x )dx
a
»
å j
n
=0
A j f (x j )
(6.1)
定理6.1 求积公式(6.1)为插值型求积公式的 充要条件是它的代数精度至少为n次. 证:先证必要性 设(6.1)是插值型的,则
b
R n [f ] =
ò
a
f
(x ) wn + 1 (x )dx (n + 1)!
顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式. 下面推导N-C求积公式的求积系数公式.
根据求积系数计算公式(6.4)有
1 Aj = 蝌 l j ( x)dx = w¢ (x j ) a
b b a
wn+ 1 ( x) dx x- xj
令积分变换 x=a + t h, 则
wn+ 1 ( x) = h n+ 1t (t - 1) L (t - n),
òl
a
j
( x) dx
(j=0,1,2, L ,n)
(6.4)
若求积公式(6.1)中的求积系数具有(6.4)的形 式,则称(6.1)为插值型求积公式.
插值型求积公式(6.3)的截断误差为
b b
Rn [ f ] =
R ( x)dx = 蝌
n a a
f ( n+ 1) (x ) wn+ 1 ( x)dx (6.5) (n + 1)!
于是
Aj =
n- j n ¢ wn ( x ) = ( 1) j !( n j )! h , +1 j
(- 1) h t (t - 1) L (t - j + 1)(t - j - 1) L (t - n)dt ò j !(n - j )! 0
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业18478
矩阵与数值分析上机作业学校：大连理工大学学院：班级：姓名：学号：授课老师：注：编程语言_ Matlab— 1.耆虑计算给段向量的葩址输入向量(ms,」"产输出||工||“ ||工|怙|k||s请编制一个通用程序，并用你編制的程序计尊如下向童的范数：蛊=口』厂…肋匚对利=讥un wm甚至更大的“计算其范数，你会发现什么结栗？你能否修改你的程序使得计算绪果相时赫■确呢？程序：Norm.m函数fun cti on s=Norm(x,m)%求向量x的范数%mx 1,2,inf 分别表示1,2，无穷范数n=len gth(x);s=0;switch mcase 1 %1-范数for i=1: ns=s+abs(x(i));endcase 2 %2-范数for i=1: ns=s+x(i)A2;ends=sqrt(s);case inf %无穷-范数s=max(abs(x));end计算向量x，y的范数Testl.mclear all ;clc;n1=10; n2=100; n3=1000;x1=1./[1: n1]';x2=1./[1: n2]';x3=1./[1: n3]';y1=[1: n1]';y2=[1: n2]';y3=[1: n3]';disp( 'n=10 时');disp( 'x 的1-范数:');disp(Norm(x1,1));disp( 'x 的2-范数:');disp(Norm(x1,2));disp( 'x 的无穷-范数:');disp(Norm(x1,inf));disp( 'y 的1-范数:');disp(Norm(y1,1));disp( 'y 的2-范数:');disp(Norm(y1,2));disp( 'y 的无穷-范数:');disp(Norm(y1,inf));disp( 'n=100 时');disp( 'x 的1-范数:');disp(Norm(x2,1));disp( 'x 的2-范数:');disp(Norm(x2,2)); disp( 'x 的无穷-范数:');disp(Norm(x2,inf)); disp( 'y 的1-范数:');disp(Norm(y2,1));disp( 'y 的2-范数:');disp(Norm(y2,2)); disp( 'y 的无穷-范数:');disp(Norm(y2,inf)); disp( 'n=1000 时');disp( 'x 的1-范数:');disp(Norm(x3,1)); disp( 'x 的2-范数:');disp(Norm(x3,2));disp( 'x 的无穷-范数:');disp(Norm(x3,inf)); disp( 'y 的1-范数:');disp(Norm(y3,1));disp( 'y 的2-范数:');disp(Norm(y3,2)); disp( 'y 的无穷-范数:');disp(Norm(y3,inf));运行结果：n=10 时x的1-范数29290 ; x的2-范数：1.2449 ; x的无穷-范数:1y的1-范数:55 ; y 的2-范数:19.6214 ; y的无穷-范数:10 n=100 时x的1-范数:5.1874 ; x的2-范数：1.2787 ; x的无穷-范数:1y的1-范数:5050 ; y 的2-范数:581.6786 ; y的无穷-范数:100 n=1000 时x的1-范数:7.4855 ; x的2-范数:1.2822 ; x 的无穷-范数:1y 的1-范数:500500 ; y 的2-范数:1.8271e+004 ; y 的无穷-范数:10002.耆虑甘=/(x)= 畔旦=其中＜51/(0) = L此时7(珂是连续函戟.用此公式计算沓工曰—1旷15卫_哪时的函数仏凰出图像.另一方虱老虑下面算涼d = 1 + z1/ J = 1 thanetsf.y = 1}end if用此算法计算x€[-KT31旷円时的函数值，画出图像.比校一下岌生了什么？程序Test2.mclear all ;clc;n=100; %区间h=2*10A(-15)/n; %步长x=-10A(-15):h:10A(-15);%第一种原函数f1=zeros(1, n+1);for k=1:n+1if x(k)~=0f1(k)=log(1+x(k))/x(k); elsef1(k)=1;endendsubplot(2,1,1);plot(x,f1, '-r');axis([-10A (-15),10A (-15),-1,2]); legend('原图');%第二种算法f2=zeros(1, n+1);for k=1:n+1d=1+x(k);if (d~=1)f2(k)=log(d)/(d-1);elsef2(k)=1;endendsubplot(2,1,2);plot(x,f2, '-r'); axis([-10A(-15),10A(-15),-1,2]); legend('第二种算法’)；运行结果:显然第二种算法结果不准确， 是因为计算机中的舍入误差造成的，当X [_1015,1015]时，d=1x ,计算机进行舍入造成d 恒等于1，结果函数值恒为1。
大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试
大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试考试日期：2017年6月5日一、填空题（50分，每空2分）1.a=0.3000经过四舍五入具有4位有效数字，则，2.已知X=(1,5,12)T，Y=(1,0,a)T，则由X映射到Y的Householder矩阵为：，计算||H||2=，cond2(H)=3.根据3次样条函数的性质（后面-前面=a（x-x0）3），一个求其中的参数b==4.，写出隐式Euler格式：梯形法格式：5.已知A=XXT，其中X为n维列向量，则||A||2=，||A||F=，矩阵序列的极限：=6.A=LU，其解为，写出一步迭代后的改善格式：7.，请问通过幂法与反幂法计算出的特征值分别是，8.，=，=，=，=，=9.是Newton-cotes公式，则=，具有代数精度=10.f(x)=7x7+6x6+…+x，f[20,21,22….,28]=11.，=12.f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=19,请问对该节点进行插值后最高次的系数=还有2空没有回忆出来，但是比上面题目还简单，因此不用担心。
二、，（1）计算LU分解（2）利用LU求逆矩阵（3）写出G-S格式（12分）三、给出，计算该迭代式收敛到某个值，收敛阶（8分）答案：收敛到，且收敛阶为3，因为，，而四、y=ae-bx，利用最小二乘法计算。
（8分）x-1012ye-11ee2数据可能有错，但是不影响计算思路。
五、计算权函数为1，区间[-1,1]的二次正交多项式，并且据此计算的具有三次代数精度求积公式（8分）六、已知线性2步3阶法（14分）（1）写出局部截断误差（必须含有主项）（2）判断收敛性（3）写出绝对稳定区间答：提示：上面公式的与书上的不是同一个，注意计算的时候区分。
矩阵分析简介
∑
∞ k =1
∞
k =1
( a ijk ) = s ij
j = 1, 2, L , n) 即m×n个数项级数
∑ a 均为收敛的。
(k ) ij
例 研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性， 其中
k =1
∞
⎛ N ⎞ N 11 ⎟ 1 1 ⎜ ∑ 1 − (k + 1)(k + 2)2 − N k ∑2 ⎟ 2 ⎜ k =0 N + 2 k =0 N ⎟ ，k =0,1,2,…, S N = ∑ Ak = ⎜ ⎜ k =0 π⎛ N π ⎞⎟ 1 ⎜ ⎜ 4 − Nk ⎟ ⎟ 0 ⎜ 3 ⎝∑ 4 ⎠ ⎟ k =0 4 ⎝ ⎠ 于是 ⎛1 2 ⎞ ⎟ S = lim SN = ⎜ 4 ⎟ N→∞ ⎜0 π⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝
一种矩阵范数，则矩阵序列 { Ak}k=1 收敛于矩阵A的充要条件
∞
定理1 设 { Ak }k=1 为 C m × n 中的矩阵序列，⋅ 为 Cm×n 中的
∞
是 Ak − A 收敛于零。 证：首先，利用范数的等价性知，对于 C m×n 中的任意 两个矩阵范数 ⋅ 即有
t
和 ⋅ s，存在常数 c1 ≥ c2 > 0 , 使得
∞
{ Sk }k =1
∞
收敛且 lim Sk = S ，则称矩阵级数 ∑ A 收敛， k →∞
∞
k =1 k
而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为 S = ∑ Ak。不收敛的矩阵
k =1
级数称为发散的。 显然，和 ∑
(i = 1, 2, L , m,
∞
k =1
Ak = S = ( s ij )的意义指的是:
k 练习题 判断对下列矩阵是否有 lim A = 0 k →∞
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业
end
case2%2-范数
fori=1:n
s=s+x(i)^2;
end
s=sqrt(s);
caseinf%无穷-范数
s=max(abs(x));
end
计算向量x，y的范数
Test1.m
clearall;
clc;
n1=10;n2=100;n3=1000;
x1=1./[1:n1]';x2=1./[1:n2]';x3=1./[1:n3]';
xlabel('x');ylabel('p(x)');
运行结果：
x=2的邻域：
x =
1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000
相应多项式p值：
p =
1.0e-003 *
-0.2621 -0.0005 0 0.0005 0.2621
p(x)在 [1.95,20.5]上的图像
程序：
[L,U]=LUDe.(A);%LU分解
xLU=U\(L\b)
disp('利用PLU分解方程组的解:');
[P,L,U] =PLUDe.(A);%PLU分解
xPLU=U\(L\(P\b))
%求解A的逆矩阵
disp('A的准确逆矩阵:');
InvA=inv(A)
InvAL=zeros(n);%利用LU分解求A的逆矩阵
0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.0625 -0.0625
0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.1250
0 0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.2500
大连理工大学2000-2017年数学分析真题
大连理工大学2000年数学分析真题 (2)大连理工大学2001年数学分析真题 (4)大连理工大学2002年数学分析真题 (6)大连理工大学2003年数学分析真题 (8)大连理工大学2004年数学分析真题 (10)大连理工大学2005年数学分析真题 (12)大连理工大学2006年数学分析真题 (14)大连理工大学2008年数学分析真题 (16)大连理工大学2009年数学分析真题 (18)大连理工大学2010年数学分析真题 (20)大连理工大学2011年数学分析真题 (22)大连理工大学2013年数学分析真题 (24)大连理工大学2014年数学分析真题 (25)大连理工大学2015年数学分析真题 (28)大连理工大学2016年数学分析真意 (30)大连理工大学2017年数学分析真题 (32)大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：()xx f 1=于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。
2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。
3.证明：Dirichlet 函数：()()⎪⎩⎪⎨⎧==有理数为无理数q px q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。
4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，()⎰=βα0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。
5.证明：∑∞=-1n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。
6.证明：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 4x x xx x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。
7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。
8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。
大连理工大学矩阵与数值分析2013最后一次课
3 （8）迭代格式
xk 1
2 3
xk
1 xk2
对于任意初值
x0
0均收敛于
3
其收敛阶p= 2
I2 S
1 0
2x4
2x3 x2 dx S 2x4
2 1 x4dx 2S x4 2 5 - 1
0
5 24 60
x
2 3
x
2
1
2
1 2
则A 2 A 5
2
F
（10）已知
0.5 A
1
0.5
210 10 29
f t t10
A10
0
210
t
t
e2 te2
eAt
0
t e2
Ak
k 0
I
-
ftp://202.118.75.63
答疑时间和地点
，
2013年12月23日上午10:00～12:00 研教楼204教室
第三章部分相关习题
3．设 A=xxH，其中 x∈Cn 且 x≠0， 判断如下矩阵序列的收敛性。
A
k
A
k 1
注意，A=xxH 的特征值为：xHx, 0, …, 0，故 r(A)=xHx。
的三次Hermite插值多项式H(x)= 3x3 4x2 1 （写成最简形式）
（7）Simpson数值求积公式的代数精度为 3 用该公式分别
估算定积分 I1
记为S和 S~ 和 S
1 x4dx 和
大连理工2014《矩阵与数值分析》课程数值实验题目
0.999999998928894 0.999999999405581 0.999999998928894 0.999999998069934 0.999999997593247 0.999999997593247 0.999999998069934 0.999999998928894 0.999999998664353 0.999999997593247 0.999999996998828 0.999999996998828 0.999999997593247 0.999999998664353 0.999999998664353 0.999999997593247 0.999999996998828 0.999999996998828 0.999999997593247 0.999999998664353 0.999999998928894 0.999999998069934 0.999999997593247 0.999999997593247 0.999999998069934 0.999999998928894 0.999999999405581 0.999999998928894 0.999999998664353 0.999999998664353 0.999999998928894 0.999999999405581
% 2.1.1 f=inline('2/3*x^3*exp(x^2) ','x'); R=exp(4); n=100; b=2;a=1; for i=1:.2.1 f=inline('2*x/(x^2-3)','x') ; R=log(6); n=100; b=3;a=2; for i=1:100 n=n+100;
0.999999999405581 0.999999998928894 0.999999998664353 0.999999998664353
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业13388
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业课程名称：矩阵与数值分析研究生姓名：交作业日时间：2016 年12 月20日1.1程序：Clear all;n=input('请输入向量的长度n：')for i=1:n;v(i)=1/i;endY1=norm(v,1)Y2=norm(v,2)Y3=norm(v,inf)1.2结果n=10 Y1 =2.9290Y2 =1.2449Y3 =1n=100 Y1 =5.1874Y2 =1.2787Y3 =1n=1000 Y1 =7.4855Y2 =1.2822Y3 =1N=10000 Y1 =9.7876Y2 =1.2825Y3 =11.3 分析一范数逐渐递增，随着n的增加，范数的增加速度减小；二范数随着n的增加，逐渐趋于定值，无群范数都是1.2.1程序clear all;x(1)=-10^-15;dx=10^-18;L=2*10^3;for i=1:Ly1(i)=log(1+x(i))/x(i); d=1+x(i);if d == 1y2(i)=1;elsey2(i)=log(d)/(d-1);endx(i+1)=x(i)+dx;endx=x(1:length(x)-1);plot(x,y1,'r');hold onplot(x,y2);2.2 结果2.3 分析红色的曲线代表未考虑题中算法时的情况，如果考虑题中的算法则数值大小始终为1，这主要是由于大数加小数的原因。
第3题3.1 程序clear all;A=[1 -18 144 -672 2016 -4032 5376 -4608 2304 -512];x=1.95:0.005:2.05;for i=1:length(x);y1(i)=f(A,x(i));y2(i)=(x(i)-2)^9;endfigure(3);plot(x,y1);hold on;plot(x,y2,'r');F.m文件function y=f(A,x) y=A(1);for i=2:length(A); y=x*y+A(i); end;3.2 结果第4题4.1 程序clear all;n=input('请输入向量的长度n：')A=2*eye(n)-tril(ones(n,n),0);for i=1:nA(i,n)=1;endn=length(A);U=A;e=eye(n);for i=1:n-1[max_data,max_index]=max(abs(U(i:n,i))); e0=eye(n);max_index=max_index+i-1;U=e0*U;e1=eye(n);for j=i+1:ne1(j,i)=-U(j,i)/U(i,i);endU=e1*U;P{i}=e0;%把变换矩阵存到P中L{i}=e1;e=e1*e0*e;endfor k=1:n-2Ldot{k}=L{k};for i=k+1:n-1Ldot{k}=P{i}*Ldot{k}*P{i};endendLdot{n-1}=L{n-1};LL=eye(n);PP=eye(n);for i=1:n-1PP=P{i}*PP;LL=Ldot{i}*LL;endb=ones(n,2);b=e*b; %解方程x=zeros(n,1);x(n)=b(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(b(i)-U(i,:)*x)/U(i,i);endX=U^-1*e^-1*eye(n);%计算逆矩阵AN=X';result2{n-4,1}=AN;result1{n-4,1}=x;fprintf('%d:\n',n)fprintf('%d ',AN);4.2 结果n=51.0625 -0.875 -0.75 -0.5 -0.06250.0625 1.125 -0.75 -0.5 -0.06250.0625 0.125 1.25 -0.5 -0.06250.0625 0.125 0.25 1.5 -0.0625-0.0625 -0.125 -0.25 -0.5 0.0625n=101.0625 -0.875 -0.75 -0.5 -0.0625 1.0625 -0.875 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 1.125 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 1.125 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 1.25 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 1.25 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 0.25 1.5 -0.0625 0.0625 0.125 0.25 1.5 -0.0625 -0.0625 -0.125 -0.25 -0.5 0.0625 -0.0625 -0.125 -0.25 -0.5 0.0625 1.0625 -0.875 -0.75 -0.5 -0.0625 1.0625 -0.875 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 1.125 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 1.125 -0.75 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 1.25 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 1.25 -0.5 -0.0625 0.0625 0.125 0.25 1.5 -0.0625 0.0625 0.125 0.25 1.5 -0.0625 -0.0625 -0.125 -0.25 -0.5 0.0625 -0.0625 -0.125 -0.25 -0.5 0.0625同样的方法可以算出n=20,n=30时的结果，这里就不罗列了。
大连理工大学 高等数值分析 常微分方程数值解法-2017
i.常微分方程初值问题数值解法i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足(,), 0du f t u t T dt=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。
我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。
通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。
本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。
先来讨论最简单的Euler 法。
为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点：0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。
在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。
反过来，差商就是微商的近似。
在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到1000(,)u u hf t u -=一般地，我们有1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。
为此，在区间1[,]n n t t +上积分常微分方程（i.1a ），得11()()(,())n n t n n t u t u t f t u t dt ++=+⎰ （i.5）用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。
董波老师,大连理工大学,矩阵数值分析课件第一章
b2
bn
ann
理论非常漂亮 线性方程组的求解
实际计算困难（运算量大得惊人） 计算n+1个n阶行列式 Laplace展开定理
设计算 k 阶行列式所需要的乘法运算的次数为 m k ，则
mk k k mk 1
于是，我们有
mn n n mn 1 n n n 1 n 1 mn 2
26！=4.0329×1026（次）
若使用每秒百亿次的串行计算机计算, 一年可进行的运算应为：
365(天) × 24(小时) × 3600(秒) × 1010 ≈ 3.1536 × 1017 （次）
共需要耗费时间为：
26 4.0329 10
3.1536 10 1.278810 13(亿年)
1.2.2 误差的基本概念和有效数字
定义 设 x 为精确值，a 为 x的一个近似值， 称
xa
通常准确值 定义
绝对误差（误差）
为近似值 a 的绝对误差， 简称误差。 误差 x a 可正可负。
x 是未知的， 因此误差 x a 也未知。
设 x 为精确值， a为 x 的一个近似值， 若有常数 绝对误差界
什么是有效算法？
考察线性方程组的解法
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
Cramer求解法则(18世纪)
xi
D
Di D
i 1, 2 ,
a11 a21
, n ,（D≠0）
a12 a22 a1n a2 n ann
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4
(x a)2 (x b)2
4
f [a, x1,b, x]
b)2
b
a
b a
(x
由分部积分得
a)2 (x b)2
4
df [a, x1,b,
x]
注意，插值节点相同的均差：
f
x,
x lim x0 x
f
x, x0
lim
x0 x
f (x0 ) f (x) x0 x
f (x) df (x) dx
x0 x
x0 x
故有
d f x, x0
dx
f x, x, x0
一般的有， d f x, x0, , xn f x, x, x0, , xn dx
E2 (
f
)
1 4
b a
(x
a)2 ( x
b)2
f
[a,
x1, b,
x,
x]dx
1 4
f [a, x1,b, , ]
b
(x
a
a)2 ( x
求积节点
数值积分公式产生的背景
大家熟知第一积分中值定理：
b f x dx f ( ) (b a) a
其几何意义为：
(a, b)
曲边梯形的面积
b a
f
xdx
矩形 f b a的面积
y
f x
b
a
f x
dx
f ( )(b a)
x
o a f b
我们可以采用不同的的近似值的方法得到下述数值求积公式：
b a
f
[a,
x1, b,
x]( x
a)
x
a
b 2
(
x
b)dx
注：
x
a
2
b
dx
1 2
d
x2 (a b)x ab
1 2
d
x
a
x
b
E2 ( f )
b a
f
[a,
x1, b,
x]( x
a)(x
b)
1 2
d(x
a)( x
b)
b
(x a)2(x
a f [a, x1,b, x] d
n
k 0
b
b
a lk (x)dx f xk a rn (x)dx
n Ak f xk k 0
b
a rn (x)dx
（6-3） （6-4）
这样得到的插值型求积公式
n
In(
f
)
k 0
Ak
f (xk )
称为n+1点的Newton-Cotes公式，其中求积系数
(6-5)
Ak
b
a
lk
(
如果某个数值求积公式对比较多的特定函数能够准确成立,即 I( f ) =In( f ) , 那么这个公式的使用价值就较大, 可以说这个公式的 精度较高。 为衡量数值求积公式的精度,引进代数精度的概念。
定义6.1 如果某个数值求积公式，对于任何次数不超过m次的 代数多项式都是精确成立的
I
pm
x
虽然找到 f(x)的原函数，但是它比被积函数复杂的多
c x2 1 x4 1 x4
dx 1 ln x
42
2 1 x4 1 x2
2
1
2
arcsin
x 1
2 x2
上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。
设 f(x) 是定义在[a,b]上的可积函数, 考虑带权积分
If
b
a
x
f x
dx
（6-1）
其中权函数 ρ(x) 在[a, b]上非负可积, 且至多有有限个零点。
本节只讨论ρ(x) ≡1的情形。 所谓数值求积就是用
In f
n
Ak
f
xk
k 0
近似计算 I(f ) 的值。
求 积
公式（6-2）称为数值求积公式,
系 数
In f
n
Ak
f xk
k 0
（6-2）
数值求积公式
其中Ak(k=0,1, …,n)是与f(x)无关的常数, 称为求积系数， [a, b]上的点 xk(k=0, 1, …, n) 称为求积节点。
a
5
b
6
a
a
4
4
a
2
b
4
b4
I2
x4
S
故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。
练习 确定如下数值求积公式中的求积系数
1
1
f
x
dx
A0
f
1
A1
f
1
并进一步得出其代数精度。
解：取 f(x)=1, x, 并令
1
1 dx A0 A1
1
1 x dx A0 A1
A0 A1
n
xk a k h (k 0, 1, , n) 。
取为插值节点（也是求积节点）, 则 f(x)可表示成它们确定的
Lagrange插值多项式及其余项之和, 即
f
(x)
Pn
x rn
x
n
f
xk lk x
rn x
进一步
k 0
b f x dx
a
b a
n
f
xk
lk
x
k 0
dx
b
a rn (x)dx
a
2
y
y
f (x)
f (x)
y
f (x)
f a b 2
f (a)
f (b)
f b(b a)
x
f a b (b a) 2
x
f a(b a)
x
oa
b
o
a
ab 2
b oa
b
本节采用的逼近函数是 f(x)在等距节点上的插值多项式，
得到的数值求积公式称为插值型求积公式。 将[a,b]进行n等分, 令 h b a （称为步长）, 将分点
x)
dx
求积余项为
k 0, 1, , n
（6-6）
b
! En f a rn (x) dx
dx b
a
f n1 x
(n 1)
n1
x
其中
b a
f
x, x0 , , xn
n1 x
dx
(6-7)
n1 x x x0 x xn 。En(f)标志着求积公式的误差大小。
a b
I1x
T
I x2 b x2 dx b3 a3
a
3
b a a2 b2 2
I1
x2
T
故梯形数值求积公式具有1次代数精度。
对于 f x 1 , x , x2 , x3 x4
b
I (1) a 1 dx b a
ba 6
1 4 1
I2 (1)
S
b
b2 a2
I (x) x dx a
Cn
1 (n 2)!
n t2 (t 1)(t n)dt
0
n是奇数，且 f (x) ∈Cn+1[a,b] ，则
A1 A0
2 0
A0 A1 1
1 1
f
xdx
f
1
f
1
取 f x x2 , 1 x2 dx 2
1
3
12 1 2
此求积公式实为梯形公式, 具有1次代数精度。
数值求积公式的余项公式
当然也可以通过求积余项估计,得到代数精度。 以下先推导 几个求积余项, 进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。
利用插值余项公式(6-7)，可知梯形公式的求积余项
E1 (
f
)
1 2
b f '' ( )(x a)(x b)dx , (x) a,b
a
1
f '' ()
b
(x a)(x b)dx
2
a
(b a)3 f '' ( ) a,b
12
(6-11)
Simpson公式的求积余项
E2 ( f )
I
1 dx
0 1 x
ln 2 0.69314718
解： 由梯形求积公式：
T
ba 2
f (a) f (b)
1
2
11 2
3 0.75 4
由Simpson求积公式：
S
ba 6
f (a) 4 f a b f (b)
2
1 6
1 8 1 32
25 36
0.6944444
ln 2 T 0.056852819 ln 2 S 0.001297638
2
b
6
a
a
4
a
2
b
b
I2(x) S
I x2 b x2 dx b3 a3
a
3
b
6
a
a
2
4
a
2
b
2
b2
I2
x2
S
I x3 b x3 dx b4 a4
a
4
b
6
a
a
3
4
a
b 2
3
b3
I2
x3
S
I x4 b x4 dx b5 a5
dx b
f b
a 6
2
A1
b a
l1x
dx
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dx 2b a
3
2 2