大连理工大学 矩阵与数值分析 第6章 数值积分(1)201711

a
2
y
y
f (x)
f (x)
y
f (x)
f a b 2
f (a)
f (b)
f b(b a)
x
f a b (b a) 2
x
f a(b a)
x
oa
b
o
a
ab 2
b oa
b
本节采用的逼近函数是 f(x)在等距节点上的插值多项式，
得到的数值求积公式称为插值型求积公式。 将[a,b]进行n等分, 令 h b a （称为步长）, 将分点
2
b
6
a
a
4
a
2
b
b
I2(x) S
I x2 b x2 dx b3 a3
a
3
b
6
a
a
2
4
a
2
b
2
b2
I2
x2
S
I x3 b x3 dx b4 a4
a
4
b
6
a
a
3
4
a
b 2
3
b3
I2
x3
S
I x4 b x4 dx b5 a5
b)2 dx
1 f (4) () b (x a)2 (x b)2 dx 4 4! a
1 90
f
(4)
()
b
2
a
5
a,b
(6-12)
一般的n+1点Newton-Cotes公式的求积余项，有如下定理： 定理6.1 n是偶数，且 f (x) ∈Cn+2[a,b] ，则
其中
En ( f ) Cnhn3 f (n2) ( ) , (a, b)
4
(x a)2 (x b)2
4
f [a, x1,b, x]
b)2
b
a
b a
(x
由分部积分得
a)2 (x b)2
4
df [a, x1,b,
x]
注意，插值节点相同的均差：
f
x,
x lim x0 x
f
x, x0
lim
x0 x
f (x0 ) f (x) x0 x
f (x) df (x) dx
虽然找到 f(x)的原函数，但是它比被积函数复杂的多
c x2 1 x4 1 x4
dx 1 ln x
42
2 1 x4 1 x2
2
1
2
arcsin
x 1
2 x2
上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。
设 f(x) 是定义在[a,b]上的可积函数, 考虑带权积分
If
b
a
x
f x
dx
ba 6
f (a) 4 f a b f (b) 2
(6-9)
y
f x p2x
Simpson求积公式
x
oa
ab
b
2
进一步可得， n=4时的 Cotes公式 Cotes求积公式
I4( f ) C
ba
90
7 f (a) 32 f (x1) 12 f (x2 ) 32 f (x3) 7 f (b)
dx b
f b
a 6
2
A1
b a
l1x
dx
b a
x a x b
a b a a b b
dx 2b a
3
2 2
A2
b a
l2 x
dx
b
xa
x a b 2
dx
a b ab a b
ba 6
2
此数值求积公式称为Simpson求积公式：
I2( f ) S
A1 A0
2 0
A0 A1 1
1 1
f
xdx
f
1
f
1
取 f x x2 , 1 x2 dx 2
1
3
12 1 2
此求积公式实为梯形公式, 具有1次代数精度。
数值求积公式的余项公式
当然也可以通过求积余项估计,得到代数精度。 以下先推导 几个求积余项, 进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。
b f x dx f (a) (b a) , 称为左矩形数值求积公式； a
b f x dx f (b) (b a) , 称为右矩形数值求积公式； a
b f x dx f a b (b a) , 称为中矩形数值求积公式；
a
2
b f x dx b a f (a) f (b) , 称为梯形数值求积公式。
6.3.1 逐次分半算法 6.2.2 外推加速公式和Romber算法
数值求积公式
6.1.1 数值求积公式及其代数精度
由 Newton-Leibniz公式,连续函数 f(x)在 [a,b] 上的定积分
b
a
f x
dx
F b
F a
其中 F(x) 是 f(x) 的原函数。但是大多数实际问题，N-L公式已经
在Newton-Cotes公式中，最常用的是 n=1, 2, 4时的三个公式， 当 n=1时，求积公式为：
此时，应有
I1( f ) A0 f (a) A1 f (b)
A0
b a
l0 (x)
dx
b xb a ab
dx b a
2
A1
b a
l1 ( x)
dx
b a
xa ba
dx b a
x0 x
x0 x
故有
d f x, x0
dx
f x, x, x0
一般的有， d f x, x0, , xn f x, x, x0, , xn dx
E2 (
f
)
1 4
b a
(x
a)2 ( x
b)2
f
[a,
x1, b,
x,
x]dx
1 4
f [a, x1,b, , ]
b
(x
a
a)2 ( x
a
5
b
6
a
a
4
4
a
2
b
4
b4
I2
x4
S
故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。
练习 确定如下数值求积公式中的求积系数
1
1
f
x
dx
A0
f
1
A1
f
1
并进一步得出其代数精度。
解：取 f(x)=1, x, 并令
1
1 dx A0 A1
1
1 x dx A0 A1
A0 A1
Cn
1 (n 2)!
n t2 (t 1)(t n)dt
0
n是奇数，且 f (x) ∈Cn+1[a,b] ，则
第6 章
插值函数的应用
6.1 基于插值公式的数值积分
6.1.1 数值求积公式及其代数精度 6.1.2 复化求积公式 6.1.3 数值微分公式
6.2 Gauss型求积公式
6.2.1 基于Hermite插值的Gauss型求积公式 6.2.2 常见的Gauss型求积公式和数值稳定性
6.3 外推加速原理和Romber算法
(6-10)
练习题 用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分
I 1ex2 dx 0
解： 由梯形求积公式：
T
ba 2
f (a) f (b) 1
2
1 e 1
由Simpson求积公式：
S
ba 6
f (a) 4 f a b f (b)
2
1 6
1
1
4e 4
e 1
练习题 用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分
利用插值余项公式(6-7)，可知梯形公式的求积余项
E1 (
f
)
1 2
b f '' ( )(x a)(x b)dx , (x) a,b
a
1
f '' ()
b
(x a)(x b)dx
2
a
(b a)3 f '' ( ) a,b
12
(6-11)
Simpson公式的求积余项
E2 ( f )
如果某个数值求积公式对比较多的特定函数能够准确成立,即 I( f ) =In( f ) , 那么这个公式的使用价值就较大, 可以说这个公式的 精度较高。 为衡量数值求积公式的精度,引进代数精度的概念。
定义6.1 如果某个数值求积公式，对于任何次数不超过m次的 代数多项式都是精确成立的
I
pm
x
I
1 dx
0 1 x
ln 2 0.69314718
解： 由梯形求积公式：
T
ba 2
f (a) f (b)
1
2
11 2
3 0.75 4
由Simpson求积公式：
S
ba 6
f (a) 4 f a b f (b)
2
1 6
1 8 1 32
25 36
0.6944444
ln 2 T 0.056852819 ln 2 S 0.001297638
（6-1）
其中权函数 ρ(x) 在[a, b]上非负可积, 且至多有有限个零点。
本节只讨论ρ(x) ≡1的情形。 所谓数值求积就是用
In f
n
Ak
f
xk
k 0
近似计算 I(f ) 的值。
求 积
公式（6-2）称为数值求积公式,
系 数
In f
n
Ak
f xk
k 0
（6-2）
数值求积公式
其中Ak(k=0,1, …,n)是与f(x)无关的常数, 称为求积系数， [a, b]上的点 xk(k=0, 1, …, n) 称为求积节点。
n
xk a k h (k 0, 1, , n) 。
取为插值节点（也是求积节点）, 则 f(x)可表示成它们确定的
Lagrange插值多项式及其余项之和, 即
f
(x)
Pn
x rn
x
n
f
xk lk x
rn x
进一步
k 0
b f x dx
a
b a
n
f
xk
lk
x
k 0
dx
b
a rn (x)dx
f x, x, x0
f x, x0 f x, x
x0 x
f
(
x0 ) x0
f x
(
x)
f (x)
x0 x
x0 x
又
df
x,
dx
x0
f
(
x0 ) x0
f x
(x)
f
( x)
x0
x
x0
f (x0 ) x2
Fra Baidu bibliotek
f (x)
f
(x0 ) x0
，
f (x) x
f (x)
数值求积公式的代数精度
由于存在某些特殊的函数f(x), 使得
n
f x li x f xi i0
则有
b a
f
x dx
n i0
b a
li
x
dx
f
xi
n i0
Ak
f
xi
而这样的函数f(x)是存在的
n
li x xim xm 0 m n
i0
n
一般地, li x pm xi pm x 0 m n i0
无能为力。 常常遇到的困难是：
F(x)不能用初等函数表示，即f(x)找不到的原函数；
f (x) 1 , ln x
f (x) sin x , x
f (x) ex2 , f (x) ex , f (x) 1 x3 ,
x
f(x)没有解析表达式，用表格方式给出时；
大多数的无穷积分，除特殊的无穷积分外。
求积节点
数值积分公式产生的背景
大家熟知第一积分中值定理：
b f x dx f ( ) (b a) a
其几何意义为：
(a, b)
曲边梯形的面积
b a
f
xdx
矩形 f b a的面积
y
f x
b
a
f x
dx
f ( )(b a)
x
o a f b
我们可以采用不同的的近似值的方法得到下述数值求积公式：
n
k 0
b
b
a lk (x)dx f xk a rn (x)dx
n Ak f xk k 0
b
a rn (x)dx
（6-3） （6-4）
这样得到的插值型求积公式
n
In(
f
)
k 0
Ak
f (xk )
称为n+1点的Newton-Cotes公式，其中求积系数
(6-5)
Ak
b
a
lk
(
x)
dx
求积余项为
k 0, 1, , n
（6-6）
b
! En f a rn (x) dx
dx b
a
f n1 x
(n 1)
n1
x
其中
b a
f
x, x0 , , xn
n1 x
dx
(6-7)
n1 x x x0 x xn 。En(f)标志着求积公式的误差大小。
2
这就是梯形求积公式：
I1( f )
T
ba 2
f (a) f (b)
p1x
f x
梯形求积公式 (6-8)
f(a)
b
a
f
x
dx
T
f(b)
a
b
当 n=2时，求积公式为：
此时 A0
I2f
b
a l0
x
dx
A0
b a
f a A1
f
a
2
b
A2
x a b
2
xb
a a b a b
f(x)=1, x, x2, …, xm都能准确成立，但对xm+1不能准确成立。
这是确定代数精度的最常用方法。
下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式的代数精度。
对于 f x 1 , x , x2,
I
1
b
a 1
dx
b
a
b
a 2
11
I11
T
I x b x dx b2 a2
a
2
ba 2
a b
I1x
T
I x2 b x2 dx b3 a3
a
3
b a a2 b2 2
I1
x2
T
故梯形数值求积公式具有1次代数精度。
对于 f x 1 , x , x2 , x3 x4
b
I (1) a 1 dx b a
ba 6
1 4 1
I2 (1)
S
b
b2 a2
I (x) x dx a
b
a
pm
x dx
n
Ak pm
xk
In pm x
k 0
但对于m+1次代数多项式不一定能准确成立，即
I pm1 x
b
p a m1
x
dx
n
Ak pm1 xk In pm1 x
k 0
则称该求积公式具有m次代数精度。
显然，一个数值求积公式具有m次代数精度的充要条件是它对
b a
f
[a,
x1, b,
x]( x
a)
x
a
b 2
(
x
b)dx
注：
x
a
2
b
dx
1 2
d
x2 (a b)x ab
1 2
d
x
a
x
b
E2 ( f )
b a
f
[a,
x1, b,
x]( x
a)(x
b)
1 2
d(x
a)( x
b)
b
(x a)2(x
a f [a, x1,b, x] d