经济数学三---概率论与数理统计复习2016
概率论与数理统计总复习
pi
1 1 1 5 5
5 1 5 1 5
1
1 65 EXY xi y j Pij COV ( X , Y ) EXY EX EY 8 8 i j
COV ( X , Y ) 3 20 320 DX DY
6. 设随机变量X ~N (1,3 ), Y ~ N (0, 4 ),已知
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
例1 设 X 具有概率密度f X ( x ), 求 Y=X2 的概率密度.
解 设Y 和 X 的分布函数分别为 FY ( y)和 FX ( x)，
2
注意到Y X 0, 故当y 0时有，FY ( y) P(Y y) 0
当 y>0 时,
2 P ( X y) FY ( y ) P(Y y )
P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
FY y P Y y
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,
y0 y0
若
1 fX ( x) 2
2、解：设 X 表示电子管寿命，
Y 表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则
Y ~ b(5, p),其中p P( X 1000 ) x 1 e 1000 , x 0 f ( x) 1000 0, 其他
考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律A B B A +=+ BA AB =结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努力概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-两件事件相互独立相应公式)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<2、 散型随机变量分布名称 分布律0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k二项分布),(p n Bn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ几何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k超几何分布),,(n M N H),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P nNkn MN k M +===--3..续型随机变量分布名称密度函数 分布函数均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ 正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ标准正态分布)1,0(N+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(λP λλ几何分布)(p G p1 21pp -超几何分布),,(n M N H N M n1)1(---N mN N M N M n均匀分布),(b a U 2b a + 12)(2a b - 正态分布),(2σμN μ2σ指数分布)(λEλ1 21λ五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
概率论与数理统计复习要点
第一章 随机事件及其概率一、随机事件及其运算 1. 样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用ω表示； ②样本空间：样本点的全集，用Ω表示； 注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示； ④必然事件就等于样本空间；不可能事件()∅是不包含任何样本点的空集； ⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。
2. 事件的四种关系①包含关系：A B ⊂，事件A 发生必有事件B 发生； ②等价关系：A B =， 事件A 发生必有事件B 发生，且事件B 发生必有事件A 发生；③互不相容（互斥）： AB =∅ ，事件A 与事件B 一定不会同时发生。
④互逆关系（对立）：A ，事件A 发生事件A 必不发生，反之也成立；互逆满足A A AA ⎧⋃=Ω⎨=∅⎩注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。
） 3. 事件的三大运算①事件的并：A B ⋃，事件A 与事件B 至少有一个发生。
若AB =∅，则A B A B ⋃=+；②事件的交：A B AB ⋂或，事件A 与事件B 都发生； ③事件的差：-A B ，事件A 发生且事件B 不发生。
4. 事件的运算规律①交换律：,A B B A AB BA ⋃=⋃=②结合律：()(),()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂③分配律：()()(),()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃⋂⋃=⋂⋃⋂ ④德摩根（De Morgan ）定律：,A B AB AB A B⋃==⋃对于n 个事件，有1111,n ni i i i nni ii i A A A A ======二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件),(Ω⊂A A 都有确定的实值P(A)，满足下列性质： (1) 非负性：;0)(≥A P (2) 规范性：;1)(=ΩP(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k 个互不相容事件k A A A ,,21 ，有∑∑===ki i ki i A P A P 11)()(.则称P(A)为随机事件A 的概率. 2．概率的性质 ①()1,()0P P Ω=∅= ②()1()P A P A =-③若A B ⊂，则()(),()()()P A P B P B A P B P A ≤-=-且 ④()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+注：性质的逆命题不一定成立的. 如 若),()(B P A P ≤则B A ⊂。
16年数三概率论解析 -回复
16年数三概率论解析-回复问题：16年数三概率论解析概率论是数学中重要的一个分支，它研究随机现象的规律性以及给出事件发生的概率。
而“16年数三”指的是2016年的一个数学考试中的一道概率题目。
本文将对这道题进行详细解析，步骤如下：第一步：分析题目首先，我们要仔细分析题目，确保对问题的要求和条件有清晰的理解。
题目如下：某工厂从两个供货商处进购原料，其中供货商1的原料次品率为15，供货商2的原料次品率为10。
（1）从供货商1进购原料4件，从供货商2进购原料8件，问其中至少有一件次品的概率是多少？（2）从供货商1进购原料6件，从供货商2进购原料4件，问其中至少有一件次品的概率是多少？第二步：理清思路有了对问题的初步认识后，我们需要理清思路。
这道题目其实是一个多次独立事件的概率计算问题，所以，我们可以通过计算每个事件的概率，相加得到最终的答案。
第三步：计算概率（1）计算从供货商1进购原料4件，从供货商2进购原料8件中至少有一件次品的概率。
首先，我们可以计算从供货商1进购4件原料中没有次品的概率。
次品率为15，所以没有次品的概率为（1-0.15）的4次方。
同理，从供货商2进购8件原料中没有次品的概率为（1-0.10）的8次方。
这两者是相互独立的事件，所以可以将它们的概率相乘。
然后，我们再计算两个事件同时发生的概率，即都没有次品的概率为（1-0.15）的4次方乘以（1-0.10）的8次方。
最后，我们用1减去没有次品的概率，就可以得到至少有一件次品的概率。
（2）计算从供货商1进购原料6件，从供货商2进购原料4件中至少有一件次品的概率。
根据上述思路，我们可以按照相同的方法计算。
从供货商1进购6件原料中没有次品的概率为（1-0.15）的6次方，从供货商2进购4件原料中没有次品的概率为（1-0.10）的4次方。
然后，我们计算两个事件同时发生的概率，即都没有次品的概率为（1-0.15）的6次方乘以（1-0.10）的4次方。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2016考研数学：概率与数理统计的知识点
2016考研数学：概率与数理统计的知识点第一：求极限。
无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。
另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。
证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。
求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题。
常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数，对数一来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
第五：积分的计算。
积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数学考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
概率论与数理统计总复习知识点归纳PPT课件
鄙
什
杯
雇
烁
舅
笋
第3页/共19页
编 孤 描 辛 填 屠 帧 暂 骂 巾 冀 芭
齐
蛆
稳
仔
第二、三章 随机变量及其分布
1.常用分布
B(n,p)，P( )，U[a,b]，E( )，N(, 2 )；
二维均匀、二维正态
2.联合分布和边缘分布
C
0.3*0.2
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
0.9 * 0.3 * 0.2
0.1*(0.3*0.8 0.7 *0.2) 0.9*0.3*0.2
0.587.
组
债
攒
韶
燕
邢
版
第2页/共19页
决 晾 础 肖 影 拂 普 函 棒 芥 成 肥
载
活
断
挞
例2 填空(可作图帮助分析)
(1) 设P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，则
=P_(_A__B__) 0.6
P(A B) P(A) P(AB) 0.3,P(AB) 0.7 0.3 0.4
(2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则min{P(A)，P(B)}=____。
解
SG
1
dx
1x dy 1
00
2
1/ S 2,(x, y) G
f (x, y) 0 ,
(x, y) G
1
1 x
1
EX xf (x, y)dxdy 0 dx0 R2
2xdy 3
同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18
概率论2016_经济应用数学三
2066 - 经济应用数学三（概率论）单项选择题1．设A，B 为随机事件，则（）。
D.φ答案：A?2．设A，B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（）。
(A∪B)=P(B)(AB)=P(B)(B|A)=P(B)(B-A)=P(B)-P(A)答案：B?3．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。
A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球答案：D?4．设对于随机事件A、B、C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,且P(AB)=P(BC)=0，则三个事件A、B、C, 至少发生一个的概率为（）。
8844答案：B?5．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
(A B)=P(C)(A)+P(B)-P(C)≤1(A)+P(B)-P(C)≥1(A)+P(B)≤P(C)答案：B?6．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
(1-p)3(1-p)3(1-p)3(1-p)3答案：D?7．设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（）。
(AB)=P(A)P(B)(A-B)=P(A)C.与互不相容D.与相容答案：B?8．设某人向一个目标射击, 每次击中目标的概率为 , 现独立射击3次, 则3次中恰好有2次击中目标的概率是（）。
答案：A?9．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件答案：D?10．事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)=，P(A-B)=（）。
答案：A?11．事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)=，P(A-B)=（）。
答案：C?12．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。
(A∪B)>P(A)(A∪B)>P(B)(A∪B)=P(A)(A∪B)=P(B)答案：C?13．下列函数为正态分布密度的是（）。
16年数三概率论解析
16年数三概率论解析（实用版）目录1.16 年数三概率论解析概述2.解析一：条件概率与独立事件3.解析二：离散型随机变量及其分布律4.解析三：连续型随机变量及其概率密度5.解析四：中心极限定理6.总结与建议正文【16 年数三概率论解析概述】本文主要针对 2016 年数学三的数三概率论部分进行解析。
数三概率论是数学三中的一个重要组成部分，主要涉及到条件概率与独立事件、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、中心极限定理等内容。
【解析一：条件概率与独立事件】条件概率是指在某些条件下，事件发生的概率。
独立事件则是指两个事件之间互不影响，相互独立。
在数三概率论中，条件概率与独立事件是基本概念，需要掌握其定义、性质以及计算方法。
【解析二：离散型随机变量及其分布律】离散型随机变量是指其取值是有限个或者可数无穷个的随机变量。
离散型随机变量的分布律是指其取某个值的概率。
在数三概率论中，要求掌握离散型随机变量的定义、性质以及分布律的求法。
【解析三：连续型随机变量及其概率密度】连续型随机变量是指其取值是连续的随机变量。
连续型随机变量的概率密度是指其取某个值的概率密度。
在数三概率论中，要求掌握连续型随机变量的定义、性质以及概率密度的求法。
【解析四：中心极限定理】中心极限定理是指在一定条件下，多个独立的随机变量的平均值的分布趋近于正态分布。
在数三概率论中，要求掌握中心极限定理的定义、性质以及其应用。
【总结与建议】总的来说，2016 年数学三的概率论部分主要考察了条件概率与独立事件、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、中心极限定理等基本概念和性质。
对于考生来说，需要掌握这些知识点的定义、性质以及计算方法，并能熟练运用到实际题目中。
16年数三概率论解析
16年数三概率论解析2016年的数学三概率论解析是高考数学考试中的一道题目。
这道题目主要涉及概率论的知识，考察考生对概率计算和条件概率的理解和运用能力。
下面我将从多个角度对这道题目进行全面解析。
首先，我们来看题目的具体内容，假设A、B、C三个事件满足P(A∩B∩C)=0，且P(A∪B∪C)=1，已知P(A)=0.6，P(A∩B)=0.3，P(A∩C)=0.2，求P(B∩C)。
我们可以通过条件概率的性质来解决这道题目。
根据条件概率的定义，我们知道P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，而P(A∩C)表示事件A和事件C同时发生的概率。
题目中已经给出了P(A∩B)和P(A∩C)的值，分别为0.3和0.2。
我们可以利用这些信息来求解P(B∩C)。
首先，我们可以利用概率的加法原理求解P(A∪B∪C)。
根据题目中已知条件，P(A∪B∪C)=1，而P(A)=0.6。
根据概率的加法原理，我们可以得到P(B∪C)=P(A∪B∪C)-P(A)=1-0.6=0.4。
接下来，我们可以利用条件概率的性质来求解P(B∩C)。
根据条件概率的定义，我们知道P(B∩C)=P(B|A∪C)×P(A∪C)，其中P(B|A∪C)表示在事件A∪C发生的条件下事件B发生的概率。
根据概率的乘法定理，我们可以将P(B|A∪C)表示为P(B∩A∪C)/P(A∪C)。
由于题目中已知P(A∩B∩C)=0，我们可以得到P(B∩A∪C)=P(A∪C)-P(A∩B∩C)=P(A∪C)=0.4。
将这些值代入公式中，我们可以得到P(B∩C)=0.4/0.4=1。
因此，根据题目中给出的条件，我们可以得出结论，P(B∩C)=1。
综上所述，这道题目的解析涉及了概率论中的条件概率和概率的加法原理的运用。
通过正确理解题目中的条件，并运用相应的概率计算公式，我们可以得出最终的答案P(B∩C)=1。
这道题目考察了考生对概率论知识的理解和运用能力，同时也要求考生具备一定的计算能力和逻辑推理能力。
2016考研数学：概率论与数理统计章节重点
2016考研数学：概率论与数理统计章节重点[摘要]概率论与数理统计作为构成考研数学的三大科目之一，自然有着相当的重要性。
，为了帮助考生们复习概率论与数理统计，考研为大家总结了概率论与数理统计中的特点和重点分析。
概率论与数理统计作为构成考研数学的三大科目之一，自然有着相当的重要性。
下面考研为大家总结了考研数学概率论与数理统计重要章节知识点。
第一章、随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。
其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。
第二章、随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。
第三章、多维随机变量的分布在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。
二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。
掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。
最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。
第四章、随机变量的数字特征本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。
另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。
第五章、大数定律和中心极限定理本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。
第六章、数理统计的基本概念重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。
第七章、参数估计本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。
对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。
概率论与数理统计复习资料
概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计复习资料概率论与数理统计是数学中的重要分支，广泛应用于各个领域。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，概率论与数理统计都扮演着重要的角色。
为了更好地理解和应用这门学科，我们需要进行系统的复习和总结。
本文将为大家提供一些有关概率论与数理统计的复习资料，帮助大家更好地掌握这门学科。
一、概率论概率论是研究随机事件发生的可能性的数学学科。
它以概率为基础，通过建立数学模型来描述随机事件的规律性。
在概率论的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，掷硬币的结果、骰子点数的出现等都属于随机事件。
2. 概率：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
3. 随机变量：随机变量是指随机事件的结果所对应的数值。
它可以是离散型的，也可以是连续型的。
离散型随机变量的取值是有限或可数的，例如掷骰子的点数；连续型随机变量的取值是无限的，例如身高、体重等。
4. 概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其对应的概率的分布规律。
离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述，连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。
5. 期望：期望是随机变量取值的平均值，反映了随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望可以通过加权平均的方式计算；对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中获取总体信息的学科。
它通过对样本数据进行分析和推断，来对总体进行估计和推断。
在数理统计的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念：1. 总体与样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
样本是对总体的一种观察和研究。
2. 统计量：统计量是样本数据的函数，用于对总体参数进行估计。
例如，样本均值、样本方差等都是统计量。
3. 抽样分布：抽样分布是指统计量的分布规律。
概率论与数理统计总复习V3.0
1、D(C ) 0 2、D(CX ) C 2 D( X ) 3、D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2 E{( X EX )(Y EY )} 若X , Y相互独立，则：D( X Y ) D( X ) D(Y ) 4、D( X ) 0 PX C 1
k k n k P X k Cn p q ， k 0,1, 2,...
EX np DX npq
k e
泊松分布
PX k k 0,1,2, 分布律 k! 期望和方差 EX DX
均匀分布
概率密度
1 , a x b, f ( x) b a otherwise 0,
期望和方差
ab EX 2
(b a)2 DX 12
指数分布
概率密度 期望和方差
1 x / , x 0, e f ( x ) otherwise 0,
EX
DX 2
正态分布
, 概率密度 期望和方差 EX DX 2
必要 充分
协方差
定义式 Cov( X , Y ) E{( X EX )(Y EY )} 常用计算式 Cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) 性质
1、对称性：Cov( X , Y ) Cov(Y , X ); Cov( X , X ) DX 2、D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X , Y ) 3、等价形式：Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 4、Cov(aX , bY ) abCov( X , Y ) a , b为常数 5、Cov( X 1 X 2 , Y ) Cov( X 1 , Y ) Cov( X 2 , Y )
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2016年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )A．6。
B．8。
C．14。
D．15。
正确答案：C解析：利用方差和期望的关系公式计算，即D(X)=E(X2)-[E(X)]2。
根据方差和期望之间的关系D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2，E(XY)=E(X)E(Y)=1，E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=3×5=15，则D(XY)=14。
故选C。
2．(2001年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．-1。
B．0。
C．D．1。
正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n-X。
由方差的定义：D(X)=E(X2)-[E(X)]2，所以D(Y)=D(n-X)=E(n-X)2-[E(n-X)]2=E(n2-2nX+X2)-(n-E(X))2=n2-2nE(X)+E(X2)-n2 +2nE(X)-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2=D(X)。
由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)，由相关系数的定义，得3．(2008年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )A．P{Y=-2X-1}=1。
B．P{Y=2X-1}=1。
C．P{Y=-2X+1}=1。
D．P{Y=2X+1}=1。
正确答案：D解析：由ρXY=1可知，存在实数a(a＞0)，b，使得Y=aX+b，则可排除A、C。
考研数学(三)概率论与数理统计第一章复习重点总结
2018考研数学（三）：概率论与数理统计第一章复习重点总结一、第一章随机事件与概率1.重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
2.难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
3.常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
应该将本章重点中的有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握。
【评注】本题是典型的根据全概率公式及条件概率的解题的题型，这类题型一直都是考查的重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
16年数三概率论解析
16年数三概率论解析【原创实用版】目录1.介绍 2016 年数学三的考试情况2.概述概率论在数学三中的重要性3.详解概率论的基本概念和方法4.分析 2016 年数学三概率论试题的难点和重点5.总结复习概率论的策略和方法正文2016 年数学三的考试已经过去很久了，但是对于那些准备数学三考试的考生来说，了解历年的考试情况和试题解析是非常重要的。
数学三是研究生入学考试的必考科目之一，其内容涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等多个领域。
在这些领域中，概率论是其中非常重要的一部分，它不仅是数学三的重点内容，也是整个数学学科中的基础。
概率论是研究随机现象的理论，它涉及到的概念和方法非常丰富。
在数学三的考试中，概率论主要考察的是概率的基本概念、条件概率与独立性、离散型随机变量及其分布律、期望和方差、连续型随机变量及其分布和数字特征等知识点。
对于这些知识点，考生需要理解其概念和含义，掌握其计算方法和应用技巧。
2016 年数学三的概率论试题，从整体上来看，难度适中，重点突出。
试题中既考察了概率论的基本概念和方法，又考察了考生的运算能力和应用能力。
例如，选择题中的第 8 题，考察了离散型随机变量的期望和方差；填空题中的第 14 题，考察了条件概率与独立性的判断；解答题中的第 19 题，考察了连续型随机变量的数字特征等。
这些试题的难度和重点，都需要考生在复习概率论时，有针对性地进行训练和提高。
对于复习概率论的策略和方法，我认为有以下几点：首先，要理解概率论的基本概念和原理，这是复习概率论的基础和前提。
其次，要多做习题，通过做题来加深对概念和方法的理解和掌握。
再次，要注意总结和归纳，把所学的知识进行系统化和结构化。
最后，要及时反馈和调整，对自己的学习情况进行全面和准确的了解，以便做出合适的调整和改进。
总的来说，概率论是数学三考试中的重要内容，考生需要对其进行全面和深入的复习和训练。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0, 1 f t dt x 2 x , 4 1,
x0 0 x2 x2
均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
1 , f x b a 0, a x b, 其他,
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X～U (a, b)
(3)求P 3 X 5 2 2
解 (1) 由 f ( x)dx 1, 得0 (kx 1)dx 1
解得k 1/ 2
2
(2) X 的分布函数为
F x
x
5 3 3 5 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
2
X
~ N (0,1)
例4
2 X ~ N (8,4 ) 求 P{ X 16}, P{ X 0}及P{12 X 20} 已知
解 由引理及X的分布函数, 查表得
X 8 16 8 P{ X 16} P{ } (2) 0.9773 4 4
P{ X 0} P{ X 8 8 } (2) 1 (2) 0.0227 4 4
而
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
所以 P( A B) P( B) P( A) P( AB) 于是 P( AB) 0.6 0.3 0.3
一、条件概率
对A, B两个事件，P( A) 0
在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为
条件概率 记作P( B A)
性质1 P() 0 性质2（有限可加性）
若事件A1 , A2 ,, An 两两互不相容，则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
性质3 若事件A, B满足A B，则有
P( B) P( A) 性质4 对任一事件A，P( A) 1 性质5 对任一事件A有P( A) 1 P( A) 性质6（加法公式） 对任意两个事件A、B有
即
P( AB) P( B A ) P( A)
二、乘法公式
定理1 （乘法公式）
设P( A) 0, 则有P( AB) P( B A) P( A)
一般地，若A1 , A2 , An 是n个事件，且P( A1 A2 An1 ) 0
则由归纳法可得：
P( A1 A2 An ) P( An A1 A2 An1 ) P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
x x
4. F ( x 0) F ( x )
即F ( x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ¼ ½ ¼
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0 1 F ( x) 4 3 4 1 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1
下图给出样本点与实数X ＝X ( )对应的示意图
e1
e3
e2
x
第二节
离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
x k (k 1,2,)
X 取各个可能值的概率，即事件 { X x k } 的概率为
P( B A) P( B) P( A)
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
例1 设 A 、 B 为两事件，
P( A B) 0.6 求 P( AB) 且设 P( B) 0.3 ，
解 P( AB) P{A( B)} P( A AB) P( A) P( AB)
由于A, B的位置具有对称性，因此，若P( B) 0
则由
P( AB) P( A B ) P( B)
可得 P( AB) P( A B) P( B)
定理2（全概率公式）
设试验E的样本空间为，
A为E的事件, B1 , B2 ,, Bn 是的一个划分，
P( Bi ) 0
( i 1, 2, , n )
定义1
设A, B是二事件，如果满足等式P AB P APB 则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
由前面的讨论可知，若P A 0
PB | A PB
若
则事件A与事件B相互独立的充要条件为
P A 0
则事件A与任一事件B相互独立。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
小时至少有一个已损坏的概率。
x 1 解：X的概率密度为 e 1000 , f x 1000 0,
x 0, x 0.
于是PX 1000
1000
f x dx e 1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e 3 ，从 而至少有一个已损坏的概率为 1 e 3 ．
12 8 X 8 20 8 P{12 X 20} P{ } (3) (1) 4 4 4 0.9987 0.8413 0.1574
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
B1 B2
故由全概率公式
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) 80% 80% 40% 40% 64%
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴． 在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1. 0 F ( x ) 1 2. F ( x)是x的不减函数 3. F ( ) lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
＋ －
f ( x)dx 1
当 0, 1, 时称X服从标准正态分布, 记为X ~ N (0,1)。 其概率密度和分布函数分别用 ( x), Φ ( x)表示，即有
1 ( x) e 2π
x2 2
,
1 ( x) 2π
x
e
t2 2
dt
易知 ( x) 1 ( x) 引理 若 X ~ N ( , ) 则 Y
A B 事件A和事件B不能同时发生
A
B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A A
事件 A发生 事件A不发生
A A A A
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
二、概率的性质
k 1
差事件
A B { A且 B}
事件A B称为事件A与事件B的差事件 事件A B发生 事件A发生而事件B不发生
E2 A { HH , TT } B { HH , HT }
A B { TT }
A
B
互斥
A B
则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的
解
设A, B分别表示甲,乙击中目标， 则A B表示目标被击中，由于A, B独立
P A B P A PB P AB
P A PB P APB
0.5 0.6 0.5 0.6
0.8
第一节 随机变量
定义 设X ＝X ( )是定义在样本空间上的实值函 数，称X ＝X ( )为随机变量. 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
和事件
A B { A或 B }
事件A B是事件A和事件B的和事件
事件A B发生 事件A发生或事件B发生 事件A与B至少有一个发生
称 Ak 为n个事件A1，A2， ，An的和事件；
k 1 n
称 Ak 为可列个事件A1 , A2 , , An , 的和事件
求X的分布函数，并求P0 X 1
P 0 X 1 P 0 X 1 P X 0 F (1) F (0) P X 0 3 1 1 4 2 3 . 4
第四节 连续型随机变量
定义 对于随机变量X的分布函数F ( x), 如果存在非
易知f ( x) 0且 f x dx e x dx 1
0Leabharlann X的分布函数为1 e x , F x 0, x 0， 其他.
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h )服从参数 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000
且P( Bi ) 0，（i 1,2,, n）。
则
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A Bn ) P( Bn ) P( A Bi ) P( Bi )
i 1 n
例8 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有 银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的 概率为60％，利率不变的概率为40％ 。根据经验，在 利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变 时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票上涨的 概率。
负函数f ( x)，使对于任意实数有
F x f t dt
x
则X称为连续型随机变量，其中函数f ( x )称 为X的概率密度函数，简称概率密度.