经济数学三---概率论与数理统计复习2016

A B 事件A和事件B不能同时发生
A

B
对立事件
A 称为事件A的对立事件或逆事件，记做 A
即A A
事件 A发生 事件A不发生
A A A A
故在每次试验中事件A ， A 中必有一个且仅有一个发生
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
二、概率的性质
解
设A, B分别表示甲,乙击中目标， 则A B表示目标被击中，由于A, B独立
P A B P A PB P AB
P A PB P APB
0.5 0.6 0.5 0.6
0.8
第一节 随机变量
定义 设X ＝X ( )是定义在样本空间上的实值函 数，称X ＝X ( )为随机变量. 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示．
易知f ( x) 0, 且 f x dx 1

满足连续型随机变量 的两个最基本性质
指数分布
满足连续型随机变量 设连续型随机变量X概率密度为
e f x 0,

x
,
x 0, x 0,

的两个最基本性质
其中 0常数为, 则称X服从参数为的指数分布．
和事件
A B { A或 B }
事件A B是事件A和事件B的和事件
事件A B发生 事件A发生或事件B发生 事件A与B至少有一个发生
称 Ak 为n个事件A1，A2， ，An的和事件；
k 1 n
称 Ak 为可列个事件A1 , A2 , , An , 的和事件
下图给出样本点与实数X ＝X ( )对应的示意图
e1

e3
e2
x
第二节
离散型随机变量
定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个 或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机 变量.
一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
x k (k 1,2,)
X 取各个可能值的概率，即事件 { X x k } 的概率为
2
X

~ N (0,1)
例4
2 X ~ N (8,4 ) 求 P{ X 16}, P{ X 0}及P{12 X 20} 已知
解 由引理及X的分布函数, 查表得
X 8 16 8 P{ X 16} P{ } (2) 0.9773 4 4
P{ X 0} P{ X 8 8 } (2) 1 (2) 0.0227 4 4
(3)求P 3 X 5 2 2


解 (1) 由 f ( x)dx 1, 得0 (kx 1)dx 1
解得k 1/ 2

2
(2) X 的分布函数为
F x
x

5 3 3 5 (3) P X F F 2 2 2 2 1 0.9375 0.0625
P{ X xk } pk , k 1, 2,
（ 1）
称（1）式为离散型随机变量X的分布律 .
分布律也可以直观地用下面的表格来表示：
X
pk
x1 x 2 x n p1 p 2 p n
由概率的定义，式（1）中的p k 应满足以下条件：
1
。
p k 0, k 1,2, ,
求X的分布函数，并求P0 X 1
P 0 X 1 P 0 X 1 P X 0 F (1) F (0) P X 0 3 1 1 4 2 3 . 4
第四节 连续型随机变量
定义 对于随机变量X的分布函数F ( x), 如果存在非
12 8 X 8 20 8 P{12 X 20} P{ } (3) (1) 4 4 4 0.9987 0.8413 0.1574
由于A, B的位置具有对称性，因此，若P( B) 0
则由
P( AB) P( A B ) P( B)
可得 P( AB) P( A B) P( B)
定理2（全概率公式）
设试验E的样本空间为，
A为E的事件, B1 , B2 ,, Bn 是的一个划分，
P( Bi ) 0
( i 1, 2, , n )
负函数f ( x)，使对于任意实数有
F x f t dt
x
则X称为连续型随机变量，其中函数f ( x )称 为X的概率密度函数，简称概率密度.
例1 设连续型随机变量X具有概率密度
kx 1, f x 0 , 0 x 2, 其他.
(1)确定常数k
(2)求X的分布函数F x
易知f ( x) 0且 f x dx e x dx 1
0
X的分布函数为
1 e x , F x 0, x 0， 其他.
例3 已知某种电子元件寿命X (单位：h )服从参数 1/1000的指数分布, 求3个这样的元件使用1000
P( B A) P( B) P( A)
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
例1 设 A 、 B 为两事件，
P( A B) 0.6 求 P( AB) 且设 P( B) 0.3 ，
解 P( AB) P{A( B)} P( A AB) P( A) P( AB)
x x
4. F ( x 0) F ( x )
即F ( x)是右连续的
例1 设随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk ¼ ½ ¼
解 由概率的有限可加性 分布函数为：
0 1 F ( x) 4 3 4 1 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1
小时至少有一个已损坏的概率。
x 1 解：X的概率密度为 e 1000 , f x 1000 0,
x 0, x 0.
于是PX 1000

1000
f x dx e 1
各元件的寿命是否超过1000小时是独立的，因此 3个元件使用1000小时都未损坏的概率为 e 3 ，从 而至少有一个已损坏的概率为 1 e 3 ．
定义1
设A, B是二事件，如果满足等式P AB P APB 则称事件A, B相互独立，简称A, B独立。
由前面的讨论可知，若P A 0
PB | A PB
若
则事件A与事件B相互独立的充要条件为
P A 0
则事件A与任一事件B相互独立。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
P57
正态分布
1 f ( x) e 2π ( x )2 2 2
设连续型随机变量X概率密度为
满足连续型随机变量 的两个最基本性质
, x
其中 , ( 0)为常数, 则称X服从参数为 , 的正态 分布, 记为X ~ N ( , 2 ).
显然f ( x) 0，下面来证明
＋ －
f ( x)dx 1
当 0, 1, 时称X服从标准正态分布, 记为X ~ N (0,1)。 其概率密度和分布函数分别用 ( x), Φ ( x)表示，即有
1 ( x) e 2π
x2 2
,
1 ( x) 2π

x
e
t2 2
dt
易知 ( x) 1 ( x) 引理 若 X ~ N ( , ) 则 Y
而
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
所以 P( A B) P( B) P( A) P( AB) 于是 P( AB) 0.6 0.3 0.3
一、条件概率
对A, B两个事件，P( A) 0
在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为
条件概率 记作P( B A)
P57

0, 1 f t dt x 2 x , 4 1,
x0 0 x2 x2

均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密度
1 , f x b a 0, a x b, 其他,
则称X在区间(a, b)上服从均匀分布, 记为X～U (a, b)
解 设B1 , B2 分别表示“利率下调”和“利率不变”
这两个事件, A表示“该支股票上涨”，B1 , B2 是导致A发生的原因，且
B1 B2
B1 B2
故由全概率公式
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A B2 ) P( B2 ) 80% 80% 40% 40% 64%
性质1 P() 0 性质2（有限可加性）
若事件A1 , A2 ,, An 两两互不相容，则
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
性质3 若事件A, B满足A B，则有
P( B) P( A) 性质4 对任一事件A，P( A) 1 性质5 对任一事件A有P( A) 1 P( A) 性质6（加法公式） 对任意两个事件A、B有
且P( Bi ) 0，（i 1,2,, n）。
则
P( A) P( A B1 ) P( B1 ) P( A Bn ) P( Bn ) P( A Bi ) P( Bi )
i 1 n
例8 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有 银行存折利率的变化。经分析，该时期内利率下调的 概率为60％，利率不变的概率为40％ 。根据经验，在 利率下调时某支股票上涨的概率为80％，在利率不变 时，这支股票上涨的概率为40％。求这支股票上涨的 概率。
百度文库
即
P( AB) P( B A ) P( A)
二、乘法公式
定理1 （乘法公式）
设P( A) 0, 则有P( AB) P( B A) P( A)
一般地，若A1 , A2 , An 是n个事件，且P( A1 A2 An1 ) 0
则由归纳法可得：
P( A1 A2 An ) P( An A1 A2 An1 ) P( An1 A1 A2 An2 ) P( A2 A1 ) P( A1 )
第三节 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F ( x) PX x
称为X的分布函数
分布函数是一个普通的函数，其定义域是整个 实数轴． 在几何上，它表示随机变量X的取值落在实数 x左边的概率
X
x
分布函数具有以下基本性质： 1. 0 F ( x ) 1 2. F ( x)是x的不减函数 3. F ( ) lim F ( x) 0， F () lim F ( x) 1
k 1
积事件
A B { A且 B}
事件A B是事件A与事件B的积事件 事件A B发生 事件A与事件B同时发生 积事件A B可简记为AB
称 Ak 为n个事件A1，A2， ，An的积事件；
k 1 n
称 Ak 为可列个事件A1 , A2 , , An , 的积事件
2。
p
k 1

k
1.
随机变量X 的所有取值 随机变量 X的 各个取值所 对应的概率
a 例 3 设随机变量 X 的分布律 P（X=k）= ， N k =1，2，„，N 试确定常数 a
a a 解： P( x k ) N 1 N k 1 k 1 N
所以 a=1
N
N
k 1
差事件
A B { A且 B}
事件A B称为事件A与事件B的差事件 事件A B发生 事件A发生而事件B不发生
E2 A { HH , TT } B { HH , HT }
A B { TT }
A

B
互斥
A B
则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的