第一型曲线积分

第一型曲线积分
标准式：
dt
t r t r f ds f ⎰⎰'=Γ
β
α
)()(
算法：参数法
1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r
=
2.计算弧元dt t r ds )(
'=
3.计算定积分dt t r t r f ⎰'β
α
)()(
特别地： 显示方程 )(x y ϕ=
xoy 平面的圆的参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
cos sin a y a x 为参数θ
第二型曲线积分
标准式：
dt
t r t r F p d p F ⎰⎰
'∙=
∙Γ
β
α
)()()(
其中),,(R Q P F =
符号按参数增加的方向积分为正
算法：
一．参数法
dt
t z t y t x t r R t r Q t r P dz
R Qdy Pdx
p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''∙=
++=
∙⎰⎰⎰
Γ
Γ
β
α
二．Green 公式（二维）
（封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分）
dxdy y
P
x
Q
Qdy Pdx
⎰⎰⎰Ω
∂Ω
∂∂-
∂∂=
+)( （定向：一个人沿着Ω∂走的正方向行进时，区域Ω总在这个人的左边）
三．Stokes 公式（三维）
（封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和）
⎰⎰
⎰∑
∑
∂∂∂∂∂∂=
++R
Q
P
z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx
应用：求曲面面积
⎰⎰⎰∂∂∂=
-
=-=
D
D
D
xdy
dx
y ydx xdy
D 2
1)(σ
第一型曲面积分
标准式：（1）dudv
r r r f fd v u ⎰
⎰⎰
∑
∆
⨯=
σ
（2）
dxdy y
x
y x y x f d f D
2
2
)(
)(
1)),(,,(∂∂+∂∂+=
⎰⎰
⎰
∑
ϕ
ϕϕσ 算法：参数法
1.求出∑的一个向量参数方程),(v u r r
=或者显示函数),(y x z ϕ=，定
出他们的区域∆或D
2.计算面元dudv
F E
G dudv r r d v u 2
-=
⨯=
σ（你们好像没
有学第一基本量 E F G 别看了） 或者dxdy y
x
d 2
2
)(
)(
1∂∂+∂∂+=
ϕϕσ
3.计算二重积分（1）或（2）
应用：求曲面面积
dudv F EG ⎰⎰
∆
-=
∑2
)(σ
或者dxdy y
x
⎰⎰
∆
∂∂+∂∂+=∑2
2
)(
)(1)(ϕϕσ
特别地：
球的参数方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin a z a y a x 为参数θϕ [][]πϕπθ2,0,0∈∈
（有的时候参数的范围是看题目来的）
第二型曲面积分
标准式：
⎰⎰⎰
⎰
∑
∑
∑
++=
∙=
∙Rdxdy
Qdzdx Pdydx
d n F d F σσ
算法：
一．参数法
dudv
v
z v
y v
x u z u y u x r R r Q r P Rdxdy
Qdzdx Pdydx
d F ⎰⎰
⎰⎰⎰
∆
∑
∑
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
++=
∙ σ
二．Gauss 公式（封闭曲面的积分 转化成 所围区域体的积分即三重积分）
dxdydz z
R
y
Q x
P Rdxdy Qdzdx Pdydx
∂∂+
∂∂+
∂∂=
++⎰⎰⎰
⎰⎰Ω
∑
二重积分的算法
一．化累次积分
⎰
⎰⎰
=
)
()
(21),(),(x y x y I
b
a
dy y x f dx dxdy
y x f
二．换元
dudv
J f fdxdy D
I
ϕϕdet ⎰⎰
=
v
y v
x
u y u
x
J ∂∂∂∂∂∂∂∂=ϕdet
特别的：圆的极坐标换元⎩
⎨⎧==θθ
cos r sin r y x [][]a r ,02,0∈∈πθ
三重积分的算法
一．我也不知道叫什么
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
=
=D
I
V
y x y x fdz
dxdy
dxdydz
z y x f fd )
,(2)
,(1),,(ϕϕ
μ
二．还是不知道叫什么
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=
=D
I
V
dxdy
z y x f dz dxdydz
z y x f fd ),,(),,(β
α
μ
三． 换元
dudvdw
J f fd D
I
ϕϕμdet ⎰⎰
=
w
z v
z u
z w y v y u y w x v x u
x
J ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=
ϕdet 特别的：球的极坐标换元公式⎪⎩
⎪
⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x [][][]a r ,02,0,0∈∈∈πϕπθ
梯度 从一维到三维 为数量场f 的等值面的法向量
),,(
),,(
z f
y f x f
f z y x f gardf
∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∇= 算子称为nabla ),,(z
y x ∂∂∂∂∂∂=∇
散度 从三维到一维 为向量场F （流速场）产生流体的能力
z
R y Q x P R Q P z y x F F div ∂∂+∂∂+∂∂=∙∂∂∂∂∂∂=∙∇=),,(),,(
2
22
22
2z
y
x
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
=
∇∙∇=∆
如果在区域Ω上数量场f 满足∆f=0 则f 是Ω上的调和函数
旋度 从三维到三维
反映出向量场F
在点O P 处垂直于n
的旋转状态
R
Q
P
z y x k j i
F F rot ∂∂∂∂∂∂=
⨯∇=。