第一型曲线积分

第一型曲线积分

标准式：

dt

t r t r f ds f ⎰⎰'=Γ

β

α

)()(

算法：参数法

1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r

=

2.计算弧元dt t r ds )(

'=

3.计算定积分dt t r t r f ⎰'β

α

)()(

特别地： 显示方程 )(x y ϕ=

xoy 平面的圆的参数方程⎩⎨⎧==θ

θ

cos sin a y a x 为参数θ

第二型曲线积分

标准式：

dt

t r t r F p d p F ⎰⎰

'∙=

∙Γ

β

α

)()()(

其中),,(R Q P F =

符号按参数增加的方向积分为正

算法：

一．参数法

dt

t z t y t x t r R t r Q t r P dz

R Qdy Pdx

p d p F ))(),(),(())(),(),(()('''∙=

++=

∙⎰⎰⎰

Γ

Γ

β

α

二．Green 公式（二维）

（封闭曲线的积分 转化到 所围成曲面的积分即二重积分）

dxdy y

P

x

Q

Qdy Pdx

⎰⎰⎰Ω

∂Ω

∂∂-

∂∂=

+)( （定向：一个人沿着Ω∂走的正方向行进时，区域Ω总在这个人的左边）

三．Stokes 公式（三维）

（封闭曲线的积分 转化到 封闭的曲面的积分 封闭的曲面即有所围区域体即二重积分之和）

⎰⎰

⎰∑

∑

∂∂∂∂∂∂=

++R

Q

P

z y x dxdy dzdx dydz dz R Qdy Pdx

应用：求曲面面积

⎰⎰⎰∂∂∂=

-

=-=

D

D

D

xdy

dx

y ydx xdy

D 2

1)(σ

第一型曲面积分

标准式：（1）dudv

r r r f fd v u ⎰

⎰⎰

∑

∆

⨯=

σ

（2）

dxdy y

x

y x y x f d f D

2

2

)(

)(

1)),(,,(∂∂+∂∂+=

⎰⎰

⎰

∑

ϕ

ϕϕσ 算法：参数法

1.求出∑的一个向量参数方程),(v u r r

=或者显示函数),(y x z ϕ=，定

出他们的区域∆或D

2.计算面元dudv

F E

G dudv r r d v u 2

-=

⨯=

σ（你们好像没

有学第一基本量 E F G 别看了） 或者dxdy y

x

d 2

2

)(

)(

1∂∂+∂∂+=

ϕϕσ

3.计算二重积分（1）或（2）

应用：求曲面面积

dudv F EG ⎰⎰

∆

-=

∑2

)(σ

或者dxdy y

x

⎰⎰

∆

∂∂+∂∂+=∑2

2

)(

)(1)(ϕϕσ

特别地：

球的参数方程：⎪⎩

⎪

⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin a z a y a x 为参数θϕ [][]πϕπθ2,0,0∈∈

（有的时候参数的范围是看题目来的）

第二型曲面积分

标准式：

⎰⎰⎰

⎰

∑

∑

∑

++=

∙=

∙Rdxdy

Qdzdx Pdydx

d n F d F σσ

算法：

一．参数法

dudv

v

z v

y v

x u z u y u x r R r Q r P Rdxdy

Qdzdx Pdydx

d F ⎰⎰

⎰⎰⎰

∆

∑

∑

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=

++=

∙ σ

二．Gauss 公式（封闭曲面的积分 转化成 所围区域体的积分即三重积分）

dxdydz z

R

y

Q x

P Rdxdy Qdzdx Pdydx

∂∂+

∂∂+

∂∂=

++⎰⎰⎰

⎰⎰Ω

∑

二重积分的算法

一．化累次积分

⎰

⎰⎰

=

)

()

(21),(),(x y x y I

b

a

dy y x f dx dxdy

y x f

二．换元

dudv

J f fdxdy D

I

ϕϕdet ⎰⎰

=

v

y v

x

u y u

x

J ∂∂∂∂∂∂∂∂=ϕdet

特别的：圆的极坐标换元⎩

⎨⎧==θθ

cos r sin r y x [][]a r ,02,0∈∈πθ