当我们遇到一个较难解决的问题时(2)

数学解题中的转化思想

姓名黄楚蝶

班级2010级数学与应用数学指导教师兰春霞

摘要文章介绍了转化思想的涵义，总结了转化思想的解题手段及策略．

关键词转化思想，策略，转化，证明

所谓转化思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们所熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得解决的一种思想方法．因此，当我们遇到一个较难解决的问题时，不是直接解原题目，而将题进行转化，转化为一个已经解决的或比较容易解决的数学题，从而使原题得到解决．

转化这种重要的思维策略有着广泛的应用，这首先取决于数学本身是客观世界的空间形式和数量关系的反映，矛盾与对立不断地处于转化与统一之中，在数学知识体系中充满了转化：通过数学法则，有理数四则运算就转化成算术运算：加法与减法的转化，乘法与除法的转化，乘方与开方的转化；解方程就是应用消元﹑降次的方法的一种转换，多元向一元的转化，高次向一次的转化参数方程与普通方程的转化，复数表达形式的转化；平面图形通过延拓﹑折迭构成了空间形体；而空间中的问题通常要转换成平面的来研究，即空间与平面的转化，数与形的转化．在解题中转化更是一种重要的策略和基本的手段．分以下几种情形论述．

1问题的情景的转化

在碰到陌生题目或没有直接思路解决问题时，我们不妨回忆新知，联想已学过的殊与

类似较为熟悉的问题与之进行比较，设法建立联系，把隐含的数学关系明朗化，从而达到转化的目的．

例正三棱锥P-ABC中，各棱长都是2，E是侧棱PC的中点，

D是侧棱PB上任一点，求△

ADE最小周长．

图1 图2

解 结合图形（图1），由于AE PAB 、PBC 展开成一个平面，那么

当A 、D 、E 三点共线时AE 的长，即AD+DE 取最小值．

在△AEP （图2）中，PA=2，PE=1，APE ∠=120︒，依余弦定理得ADE 的

2 特殊与一般的转化

从特殊到一般，从具体到抽象是研究数学的一种基本方法，在一般情况下难以发现的规律，

在特殊条件下比较容易暴露，而特殊情况下得出结论﹑方法也往往可推广到一般场合，所以特殊

和一般之间的转化可以用来验证命题的正确性，探索解的途径．

例 求证：sin 70sin10sin100sin 70sin10︒+︒>︒>︒-︒ ．

此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式。经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰

为180︒，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：

sin sin sin sin sin A B C A B +>>-．而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于

第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”

和“余弦定理”．

解 在△ABC 中，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则得a b c a b +>>-．

由正弦定理得sin sin sin a b c k A B C

===，故s i n s i n k A k B k C k A k B

+>>-， 所以sin sin sin sin sin A B C A B +>>-．

特殊地，将A=70︒、10B =︒、100C =︒代入上面的不等式即得所求证的结论．

3 量与图形的转化

这是一种重要的，并被广泛使用的转换。大量数式问题潜在着图形背景，借助形的直观性解

题是寻求解题思路的一种重要方法。有时画一个图形给问题的几何直观描述，从数式形的结合中

易于找出问题的逻辑关系．

例 求函数()f x =

解 函数式变为()f x =，于是，构造成出“求抛物线2y x =上的点()

2,P x x 到点()()3,20,1A B 距离之差的最大值”的问题．如图，由三角形两边之差小于第三边知，当P 、A 、B 三点共线（P 在AB 延长线上）时，()f x 取最大值．

所以max ()f x =

=

4 命题间的映射转化

如果数学命题（或问题）在原集合A 中直接解决比较困难，可以运用某种法则把它映射到另一个集合B 中去，得到一个对应的映射命题（或问题），然后在B 集中讨论并解决映射问题，再把解决的结果逆映射到原集中来，从而使原命题获得解决．这种转化方法称为映射法。用映射法转化，关键在于适当地选择映射法。一般地，只要映射法则选择得当，映射问题总是易于解决的，特别地，只要A 集与B 集能建立一一映射，则产生的新命题（或问题）与原命题（或问题）一定等价．此时逆映射过程往往可以省略，这就更加简单了．

例 已知()f x 的值域为34,89

⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试求()y f x = 分析 此例是一个带有根号的复合函数求值域问题，对于这种形式求值域有点不习惯，若能将其转化成整式函数求值域的问题，那就比较容易了．

因为34()89f x ≤≤，所以1132≤，令t 则21

()(1)2f x t =-．通

过这样的换形，展示在我们面前的就是给定区间上就二次函数值域问题，所以

()2

211(1)1122y t t t =-+=--+．因为1132t ≤≤，所以7798y ≤≤，即()y f x =+的值域是7798y ≤≤．

5 构造新命题的转化

有些命题（或问题）直接解决遇到困难，通过分析具体命题（或问题），设想构造一个与原命题（或问题）相关的新命题（或问题），通过对新问题（或问题）的研究达到解决原命题（或问

题）的目的，这种转化方法称为构造法．构造法是数学中最富有活力的数学转化方法之一，通常表现形式为构造函数﹑构造方程﹑构造图形等．

例 9≤ ，并指出等号成立的条件．

证明 x

表示，将左边看成向量a =与(b x =的数量积．

又a b a b ⋅≤⋅9+≤=．

当且仅当()0b a λλ=>0

λ>得：x =1λ=，

即x =

6 参数与消元的转化

参数既是揭示变化过程中变量之间内在联系的媒介，又是刻画变化过程的数学工具。利用参数这一本质特性实现数学转化的方法叫参数法。经常运用参数法实现转化的形式有：引入参数将函数或方程变量个数减少；引入参数将问题的解决归结于对参数的讨论．

例（1999年全国高考试题） 如图3，给出定点A （a,0）(a ﹥0)和直线l ：1x =，B 是直线l 上的动点，∠BOA 的平分线交AB 于C ．求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．

图3

分析 从题设条件看，动点C 的动源是B ，而设B 点的坐标时，比较容易想到用t BD =作参数。其实，当B 点在直线l 上运动时，∠BOD 也在相应发生变化，因此，B 点的坐标也可选用

“角参数”来表示，且选用角参数，C 与B 的坐标关系更容易表示．如图3，设∠BOD=θ，(2π

θ∈-，