高等数学第八章练习题及答案

第八章 空间解析几何与向量代数自测题

A

一、填空

1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠

=

AB 在AC

上的投影为

；三角形的面积ABC S ∆

=2；同时垂直于向量AB 与AC

的单位向量为1,4,3)±

--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为2

2

y x z =+.

3. 在平面解析几何中2

y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.

4. 球面02422

22=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--

.

5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228

x x y z ⎧-+=⎨=⎩.

6.

曲面z =被曲面2

2

20x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22

20

0x x y z ⎧-+≤⎨=⎩

.

7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.

8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为

23

. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22

531-+=

+=-k z y x 相互垂直，则k =34

. 二、解答题

1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为

1207

43(6,3,10)6

2

3

i

j k

n M M n =⨯=--=--，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=.

2. 求通过直线13

213

x y z +-==

-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，取所求平面的法向量 3

1

2(1,13,5)21

3

i

j k

n PA s =⨯=-=---，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=.

3. 求直线2

4

32-=

-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，

5sin |cos(,)|,cos 66

s n

s n s n ϕϕ⋅==

==

. 4. 求过点A (3,0,1)且与直线13

213

x y z +-==

-垂直相交的直线方程. 解：设垂足坐标为000(,,)P x y z ，则由已知条件得00013

213x y z +-==

-， 0002(3)3(1)0AP s x y z ⋅=--+-=，解得11339

(,,)71414

P --，取所求直线方向向量为AP ，所以所求直

线的方程为31

22132571414

x y z --==

--，即31441325x y z --==--. B

1. 求点A (3,0,1)到直线13

213

x y z +-==

-的距离； 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，所以195

14

AP s d s ⨯==. 2. 判定直线113:213x y z l +-==-与直线2152

:342x y z l -++==

-是否相交，如果相交，求出交点，如果异面，求出两条异面直线间的距离；

解：由已知可知，直线1l 过点1(0,1,3)P -，方向向量为1(2,1,3)s =-，直线2l 过点1(1,5,2)P

--，方向向量为2(3,4,2)s =-，因为1212145

[ ]2

1311703

4

2

PP s s --=-=-≠-，所以两直线异面，距离 121212[ ]

117

390

PP s s d s s =

=

⨯；

3. 求点(1,1,3)A 关于平面0x y z ++=对称的点.

解：过点(1,1,3)A 且与平面垂直的直线方程为点113x y z -=-=-，所以垂足为224(,,)3

33

P --，设对

称点为(,,)M x y z ，则2AM AP =，即555(1,1,3)2(,,)333x y z ---=---，所以771

(,,)333

M ---.

4. 求直线2

4

32-=-=-z y x 在平面062=-++z y x 上的投影直线及直线关于平面对称的直线方

程；

解：由已知可知，直线0l 的参数式方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程可得1t =-，所以交点为1(1,2,2)P ，过点(2,3,4)P 且与已知平面垂直的直线2l 方程为22,3,4x t y t z t =+=+=+，垂足

为211319(,

,)366P ，所以已知直线0l 在平面上的投影直线为122

217366

x y z ---==

-，即12247x z y --=-=-， 设点(2,3,4)P 关于已知平面的对称点为3P ，则32

2PP PP =，解得3447(,,)333

P -，所以已知直线关于平面