复变函数12复数几何表示

复数可以表示成 z r(c o iss i)n
复数的三角表示式
再利用欧拉公式 eico sisin , 欧拉介绍
复数可以表示成 zrei 复数的指数表示式
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例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ( 1 )z 1 2 i; (2 )z s i n ic o ; s
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解 (1)rz 1 244, 因为z在第三象 , 限
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思考题
是否任意复数都有辐角?
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思考题答案
否. 唯有 z0的情况, 特殊 它的模为零而辐角不确定.
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2
arctyanπ, x0,y0,
x
π,
x0,y0.
(其中 arcyta)n
2
x2
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4. 利用平行四边形法求复数的和差
两个复数的加减法运算与相应的向量的
加减法运算一致. y
y
z2
z1 z2
z2
z1
z1
o
x
o
x
z1 z2
z2
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5. 复数和差的模的性质
因z1为 z2表示 z1和 z2点 之间 ,故 的距
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二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平 点z面 0切 的于 球, 原 面
球面上S一 与点 原点, 重合
N
通过S 作垂直于复平面的
P
直线与球面相交于点 另N一,
我们 N 为 称 北 ,S为 极 南 . 极 x S O
y
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2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内
( 2 ) 减 : 法 ,( )
( 3 ) 乘 : 法 ,( 0 )
( 4 ) 除 : 0 法 , ,( ), ,( 0 )
0
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三、小结与思考
学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的 各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充 复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了 无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义） 的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或 正、负无穷大混为一谈．
为 2的点的 . 轨迹 即表示 i,中 半心 径 2的 为 为 .圆 设 zxiy, x(y1)i2,
x2(y1)22, 圆方 x 2 (y程 1 )24 .
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(2)z2iz2
表示所有 2i和 与 2距 点离相等的. 点的 故方程表示连 的接 曲2i点 线 和2就 的是 线 段的垂直 . 平 设 z分 x线 iy, x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx. (3 )Im iz)( 4 设 zxiy, i z x ( 1 y )i, Ii m z ) 1 ( y 4 , 所求曲线方y程为 3.
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处:
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
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关于的四则运算规:定如下
( 1 ) 加 : 法 ,( )
10 10
指数表示式为
z
3 i
e10 .
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例2 把复 z数 1cosisin,0π化为
三角表示式式 与 ,并指 求 z的数 辐表 角示 .的主
解 z 1 co is sin 2sin22isincos
2
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2si 2 nsi 2 nico 2s
2si 2n co π 2 s isiπn 2 (三角式)
x
x
zxy, zzz2z2.
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3. 复数的辐角 在z0的情,况 以下 正实轴, 以 为表 始示 边
z的向O量 P 为终边的角称 的为 弧 z的度 辐 ,数 角 记作Azrg.
说明 任何一个 z0有 复无 数穷多 , 个辐
如果 1是其中一个 , 那 辐么角 z的全部辐角为
Azrg12kπ(k为任)意 . 整数
两边同时开方得 z1z2z1z2.
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例6 将通过 z1两 x1i点 y1与 z2x2iy2的直 线用复数形 表式 .示的方程来 解 通过 (x1两 ,y1)与 点 (x2,y2)的直线的
xy xy11tt((xy22yx11)) 参t 数 (, ), 所以它的复数形式的参数方程为
(1 )z 1 z 2 z 1 z 2 ;
y
z2
z2
z1 z2 z 1
(2 )z 1 z2z 1 z2.
o
z1
x
一对共轭复数z 和 z 在
y
复平面内的位置是关于 o
实轴对称的.
zxiy
x
zxiy
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6.复数的三角表示和指数表示
利用直角坐标与极坐标的关系
x
y
r r
cos , sin ,
ywenku.baidu.com
复数 zxiy可以用复平y
zxiy
(x,y)
面上的(x点 ,y)表示 .
o
x
x
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2. 复数的模(或绝对值) 复数 zxiy可以用复平面 OP 表 上示 ,的向
向量的长 z的 度模 称或 为,绝对值
记z为 rx2y2. 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
Pzxiy
r
o
z z 1 t( z 2 z 1 )参t 数 (, ),
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故,由z1到z2的直线段的参数方程为
z z 1 t ( z 2 z 1 ) 0 t 1
若取t 1, 2
得线z段 1z2的中点坐z标 z1为 2 z2 .
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例8 求下列方程所表示的曲线: (1 )z i 2 ; (2 )z 2 i z 2 ; (3 )Im i z) ( 4 . 解 (1)方程 zi2表示所有 i距与 离点
2sineπ2i. (指数式)
2
argzπ.
2
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例4 设z1,z2为两个任,证 意明 :复数 (1z)1z2 z1z2; (2z)1z2 z1z2.
证 (1)z1z2 (z1z2)(z1z2)(z1z2)z(1z2) (z1z1)z(2z2) z1 z2.
(2)z1 z2 2(z1z2)(z1z2) (z 1 z 2 )z 1 ( z 2 )
所以 arc ta 2 1n 2πarcta3n3
5 6
,
故三角表示式为z4 co 6 5 s isi n6 5 ,
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指数表示式为
z
5i
4e 6
.
(2)zsi nicos
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sin5cos25
cos
3 10
,
co5ssin25
sin
3 10
,
故三角表示式为 zco3sisi3 n,
特 ,当 殊 z 0 时 ,地 z 0 , 辐角不确定.
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辐角主值的定义:
在 z( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z . rg
z
0辐角的主值 arctan
y x
,
x0,
arg
z
π ,
x0,y0,
第二节 复数的几何表示
一、复平面 二、复球面 三、小结与思考
一、复平面
1. 复平面的定义
复 数z xiy与 有 序 实 数 (x,对 y)成 一 一
对应 . 因此, 一个建立了直角的坐平标面系可以
用来表示复 , 通数常把横轴叫实 x轴轴 , 纵或轴
叫虚轴y或 轴.这种用来表示复面数叫的复平平
面.
的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用 球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与 复平面上的无穷远点相对应, 记作 . 因而球面 上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示.
球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应, 这样的球面称为复球面.
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3. 扩充复平面的定义
z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z12z22z1 z2z1 z2
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因 z 1 z 2 为 z 1 z 2 2 R z 1 z 2 ) , e(
z1z22 z12z222Rze1z(2) z12z222z1z2 z12z222z1z2 (z1z2)2,