全国高考数学 试题分类汇编 几何证明
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2010几何证明
1．（2010·陕西高考理科·Ｔ１5）如图,已知Rt ABC ∆的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm,以AC 为直径的圆与AB 交于点D, 则
BD
DA
= . 【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件⇒AD AC
Rt ADC Rt ADC Rt ACB AD BD AC AB
∆⇒∆≅∆⇒
=⇒⇒⇒结论 【规范解答】因为以AC 为直径的圆与AB 交于点D,所以0
90,ADC ∠=ADC Rt ADC ∆∆为，
29916,,,5555AD AC AC Rt ADC Rt ACB AD BD AB AD AC AB AB ∴∆≅∆∴====-=-=，
BD DA ∴
=16
9
【答案】
169
2．（2010·陕西高考文科·Ｔ１5）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题 【思路点拨】条件⇒AD AC
Rt ADC Rt ADC Rt ACB AD BD AC AB
∆⇒∆≅∆⇒
=⇒⇒ 【规范解答】因为以AC 为直径的圆与AB 交于点D,所以0
90,ADC ∠=ADC Rt ADC ∆∆为，
29916,,,5555
AD AC AC Rt ADC Rt ACB AD BD AB AD AC AB AB ∴∆≅∆∴====-=-=，
【答案】16
5
3．（2010·北京高考理科·Ｔ１2）如图，O e 的弦E D ，CB 的延长线 交于点A 。若BD ⊥AE ，AB ＝4, B C ＝2, AD ＝3, 则DE ＝ ；CE ＝ 。 【命题立意】本题考查几何证明的知识。
B
O
D
运用割线定理是解决本题的突破口。
【思路点拨】本题可由相交弦定理求出DE ，再利用三个直角三角形,Rt ABD Rt BDE ∆∆ ,Rt BCE ∆中求CE 。
【规范解答】由割线定理得，AB AC AD AE ⋅=⋅，即463AE ⨯=⨯，得8AE =。835DE =-=。连接BE ，因为BD AE ⊥，所以BE 为直径，所以090BCE ∠=。在Rt ABD ∆中，22437BD =-=。 在Rt BDE ∆中25742BE =+=。在Rt BCE ∆中，32727CE =-=。
【答案】5 27
4．（2010·天津高考文科·Ｔ１1）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。若PB=1，PD=3，则
BC
AD
的值为 。 【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质转化。 【规范解答】由题意可知BCP V ∽ADP V 相似，
所以
131
3
BP PD BC BC AD BC AD AD =⇒=⇒=。 【答案】
1
3
5．（2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若
PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则
BC
AD
的值为 【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。 【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。 【规范解答】由题意可知BCP V ∽ADP V 相似， 所以
BC PC PB AD AP PD ==,由PC PB AP PD =及已知条件PB 1PC 1
=,=PA 2PD 3
可得22PC 2PC 6==PB 3PB ⇔,又BC PC
AD PB
=,6BC AD ∴=。 【答案】
6
A
B
D
E
423
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，
AB =AD =a ，CD =
2
a
，点E ，F 分别为线段AB ，CD 的中点，则EF = . 【命题立意】本题主要考察平面几何中直角梯形以及三角形中位线的性质. 【思路点拨】利用直角梯形的性质，求出DB ，再利用三角形中位线的性质，求出.EF 【规范解答】过连接DE ，则四边形EBCD 为矩形，所以DE AB ⊥且
2a EB DC ==
，所以，Q AB a =, ∴ 2
a
AE EB ==, 所以ABD ∆是以AB 为底的等腰三角形，即：DA DB ==a ，
又点E ，F 分别为线段AB ，CD 的中点，所以EF 为ABD ∆的中位线，所以1.22a
EF DB == 【答案】a
2
7. （2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=
23
a
，∠OAP=30°，则CP ＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得OP AB ⊥，算出AP ，再由相交弦定理求出.CP 【规范解答】因为P 为AB 的中点，由垂径定理得OP AB ⊥，在Rt OPA ∆中，
3cos302BP AP a a ==⋅=
o ，由相交弦定理得：BP AP CP DP ⋅=⋅，即232()23
a CP a =⋅， 解得9
.8CP a =
【答案】9.8
a 8.（2010·江苏高考·Ｔ2１）AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。
【命题立意】本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。