自动控制原理 第2章习题解答

第2章 控制系统的数学模型习题及解答

2-1 已知质量-弹簧系统如题2-1图所示，图中标明了质量和弹簧的弹性系数。当外力F (t )作用时，系统产生运动，如果在不计摩擦的情况下，以质量m 2的位移y (t )为输出，外力F (t )为输入，试列写系统的运动方程。

解： 设 质量m 1的位移量为x (t ),根据牛顿第二定律有

y k y x k dt y

d m 21222-)(−= ①

)(1221y x k F dt

x

d m −−= ②

①式可以写作

y k k x k dt

y

d m )(211222+−= ③

由①式也可以得到

y k dt

y

d m y x k 22221)(+=− ④

③式两端同时求二阶导数，可得

2221221442)(dt

y d k k dt x d k dt y

d m +−= ⑤

将②、③式代入⑤式中，整理可得

F m k y m k k dt

y d m k m k m m dt y d m 11

1212

2122121442)(=−++++ 2-2 求题2-2图中由质量-弹簧-阻尼器组成的机械系统，建立系统的运动方程。其中，x (t )为基底相对于惯性空间的位移，y (t )为质量相对于惯性空间的位移。z (t )= y (t )- x (t )为基底和质量之间的相对位移，z (t )由记录得到， x (t )和z (t )分别为输入量和输出量。

解：应用牛顿第二定律可得

dt

t dz f kz dt y d m )(22−−= 将z (t )= y (t )- x (t )代入上式，整理可得

2222dt

x d m kz dt dz f dt z d m −=++

题2-2图

题2-1图

解：（a ）引入中间变量u c (t)表示电容器两端的电压。根据基尔霍夫电流定律有

o c c u R u R dt du C

2

11

1=+ 根据基尔霍夫电压定律有

o i c u u u −=

联立消去中间变量，可得描述输入量u i (t )和输出量u o (t )之间关系的微分方程为

i i o o u R dt du C u R R R R dt du C

1

21211+=++ （b ）引入回路电流i (t )和电容器两端的电压u c (t)作为中间变量，根据基尔霍夫电压定

律有

i o u u i R =+1 另有电容元件的元件约束关系方程

dt

du C

i c =

和

i R u u o c 2−=

联立求解，消去中间变量可得

i i o o u R dt du C u R R R R dt du C

1

21211

+=++

（c ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)，根据基尔霍夫电流定律有

dt

du

C u u R dt u u d C c o i o i 2211

)(1)(=−+− ①

求导可得

2

2

221221)(1)(dt

u d C dt u u d R dt u u d C c o i o i =−+− ② 另有输出支路电压方程

o c c u u dt

du C R =+22

2

2 等式两边求导有

dt

du dt du dt u d C R o

c c =+22

2222 ③

将①、②代入③式，整理可得

i i

i o

o

o u C R dt du C R C R C R dt u d C R u C R dt du C R C R C R C R dt u d C R 2

12122112

1

22

1212122112121122+++=++++

2-4 试求题2-4图所示有源RC 电路的微分方程，其中u i (t )为输入量，u o (t )为输出量。

解：（a ）设电容器C 2两端的电压为u c 2(t)（如图所示），根据基尔霍夫电流定律有

012211

=++dt

du

C u R dt du C c i i ① 可以导出

i i c u C R dt du C C dt du 2

21111

−

−= ② 上式求导可得

dt

du C R dt u d C C dt u d i

i c 2211222121−

−= ③ 根据支路电压定理可得

o c c u u dt

du C R =+22

2

2 等式两边同时求导有

dt

du dt du dt u d C R o

c c =+22222

2 ④ 将②、③式代入④式中，消去中间变量可得

i i i o u C R dt du C R C R C R dt u d C R dt du 2

12112212121

2−+−−= （b ）根据基尔霍夫电流定律有

01

12

1=++o o i u R dt du C u R 写成标准形式有

i o o u R u R dt du C

1

211−=+ 题2-4图

)

t （a ）

)t

（b ）

+

+