e极限的证明.
关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法
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求极限的几种方法1
三、 利用左、 右极限求极限
求分段函数的极限, 主要是分段点处函数的极限 . 因为在非分段点处 , 函数的极限的计算方法与非分 段函数没有什么不同 . 分段函数在分段点处的极限存在的充要条件 : 当且仅当函数在分段点处的左、 右极限存在且相等时函 数在该点的极限存在 . 即当 x 0 是分段点时, 应分别求 lim f ( x ) 和 lim f ( x ) , 并判断在该点极限是否相等 . +
七、 利用某些恒等式求极限
1 1 1 1 + + + ,+ ). 1. 3 3. 5 5 . 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 1 1 ( 2 n + 1) - ( 2 n - 1) 1 1 1 解 设 x n= = # = ( ), ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1) 2 2n- 1 2 n+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 原式= lim [ ( 1- ) + - + - + ,+ ) ] = nlim ( 1)= . ny ] y] 2 3 3 5 5 7 ( 2 n - 1) ( 2 n + 1 ) 2 n+ 1 2 1 1 1 1 例 10 求极限 lim ( cos 2 #cos 2 #cos 3 ######cos n ) . ny ] 2 2 2 例 9 求极限 nlim ( y]
1 1
sin x 2+ e x sin x lim ( ) = lim = 2- 1= 1. 4+ 4 - lim | x | x x y0 x y0 x y0 x x 1+ e 1+ e 故原式极限存在 , 且等于 1.
关于极限limn→∞11nn存在的三种证明方法
E 证法一
由数字归纳法容易证得 O 引理 E 设实数 \ 则有 _‘" > R为正整数 >
R b " c K "F \ N a "F R \
K " N "
R R CD
下面利用引理 "证明[ ] Y \ R 因为 \ R F" \ R 而由 ‘
P Q " [S"F RT]递增且有上界>从而证明5 S F RT 是存在的U " "F " " RF " S T Y "F RF "‘ Y b " K RF " Nc " S T S"F RT
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02是递增的 3 # : # 也是递增的 即7 同理容易证明 # 从而可得 + 6 ’, + < + (+ # 9是递减的 * 5 ! # 5 1/ !02 8/ ; !0
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即
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第二个重要极限：极限e(老黄学高数第105讲)
e 第105讲 第二个 重要极限：e
证明：
证：设f(x)=
, g(x)=ຫໍສະໝຸດ 则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界， ∴ f(x)与 g(x) 都存在，
取{xn}={n}，由归结原则得
f(x)=
=e, g(x)=
又f(x)<
<g(x), x>0；由迫敛性得
, x>0.
=e. =e.
证明：
=e-1.
求下列极限：
(1)
(2)
解：(1)原极限=
(2)原极限=
(a为给定实数)； =e2.
求下列极限：
(3)
(4)
(3)原极限=
(4)原极限=
=e2；
求下列极限：
(3)
(4)
(4)方法二：
原极限=
=e2；
求下列极限：
(5)
(6)
(5)原极限=
(6)原极限=
(α,β为常数).
求e类极限的一般步骤： 1、先判断极限是否属于“1∞”型； 2、将底数化为“1+o(x)”的一般形式；(无穷小) 3、将指数化为包含因式“1/o(x)”的形式； 4、求指数其它因式的极限，记为a； 5、则原极限=ea.
已证
=e.
设x= -y，则
且当x→-∞，y→+∞，从而有
注：e的另一种形式 证：令a= ，则当a→0时， x→∞，
极限e又可以称为“1∞”型极限，属于这个类型的极限， 底数收敛于1，指数则趋于无穷，但极限未必等于e.
1、求 当x→0时，1+2x→1， →∞， 解：原极限=
2、求 当x→0时，1-x→1， →∞， 解：原极限=
数列极限证明中的ε-N语言问题
１４ ０
高 等 数 学 研 究
２ｌ Ｏ Ｏ年 ７ 月
其次 ， 可 以任 意小 ， ０＜ ｅ ｅ 当 ≤
Ｕ（ ，）ｎ Ｕ（ ，）＝ ． ａ￡ ６￡
时，
它具有 三重 特性 ： 任 意性 ； 确定性 ； 充 分小性 ． ① ② ③
质 疑 不 等式 （ ）中的 ａ ｂ １ ， 为两 确定 数 ， 而不等 式 （ ）中的 ａ＂ 为两 不 确定 的数 ， 者能 等 同吗？ ２ ｎｂ ， 两
首 先 ， ＞ Ｎ 时保 证 了
口 ∈ Ｕ （ ￡ ， ｂ ∈ Ｕ （ ，） ｎ， ） ６￡ ，
收 稿 日期 ：０ ８ ０ ２ ０ — ９— ０ ； 改 日期 ： ０ ９ ０ 一 Ｏ ． ５修 ２０ ～ ７ ６ 基 金 项 目 ： 州 大学 瓯 江学 院 ２ １ 温 ００年 重 点 课 程 立 项 建 设 项 目． 作 者 简 介 ： 慧 珍 （ ９ ２－） 女 ， 西 抚 州 人 ， 教 授 ， 事 函 数 论 研 曹 １６ － ， 江 副 从
摘
一
要 通 过 对 一 道 错 误 证 明 题 的 释 疑 ， 出 数 列 极 限 证 明 中 ｅ 语 言 及 其 逻 辑 关 系 的 探 讨 ， 阐释 相 关 的 引 － Ｎ 并
些 问题 疑 点 及 常 见 错 误 证 明 ．
关 键词 数 列 极 限 ；－ 语 言 ； 数 有 序性 ； 证 点 评 ｅ Ｎ 实 错
中 图 分 类 号 Ｏ１ ３
１ 问 题 引 入
例 １ 设
ｌｍ ａ 一 ａ， ｉ ｌｍ ｂ 一 ｂ， ｉ
例 ２ 设
ｌ ａ 一 ａ， ｉ ｍ ｌｍ ｂ 一 ｂ， 口 ＜ ｂ， ｉ
证明 ： 在 正整数 Ｎ， 存 使得 当 ＂＞ Ｎ 时 有
高等数学中的两个重要极限
1 x lim (1 ) ? x x
1000 10000 100000 …
2.717 2.718
-1000 -10000
2.71827
-100000 …
X
x
-10
-100
1 2.868 2.732 (1 ) x
2.720 2.7183
2.71828
1 x lim (1 ) e x x
sin t 所以 , 原式 5lim 5 1 5 t 0 t
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
sin 5 x sin 5 x lim 5lim 5 1 5 x 0 x 0 5x x
推广： 设 为某过程中的无穷小量 ,
某过程
lim
sin
1
练习1. 求下列极限:
x 0 u0
u0
2 x
2 u
1 u 2
lim[(1 u) ]
[lim(1 u) ]
u0 1 u 2
e 2
方法二 掌握熟练后可不设新变量
lim 1 x lim[(1 x ) ]2
x 0 x 0 1 x 2 2 x
1 x
[lim(1 x )
O x B
C D A
sin x lim 1. ＋ x 0 x
tan x 例 1 求 lim x0 x tan x sin x 1 解 lim lim( ) x 0 x 0 cos x x x sin x 1 lim( ) x 0 x cos x sin x 1 lim lim x 0 x 0 cos x x
当 x 时 1 0 且 | sin x | 1 x
用极限定义证明极限的几种方法
０≤ｋ≤√
ｚ的变化范 围相 比较 ，最后 取 ｚ 的最 大值 或 最 小 值 而得 到所 要证 明 的结果 。
于是有ｌ≤ｎ ＝１＋ｋ≤ｌ＋√
例 ３ 求 证 ｌｉｍ ｚ ＝ ４
证 ：因为 ｚ一一２．所 以不妨设 Ｉｚ一（－２）ｌ— Ｉｚ＋２Ｉ＜１．从而有 Ｉｚ一２Ｉ＜５
于 是 ｌ 一４Ｉ＝ Ｉ．ｒ一２】· Ｉｚ＋２Ｉ＜ ５
例 ｌ 证明ｌｉｍ￣－＝ｌ，其中 “＞１
ｎ ∞
证 ：令 ａ÷一ｌ＝ａ，则 ａ＞０．由伯努 利不 等式推 得
Ⅱ＝ （１＋ｎ） ≥ ｌ＋ 一 ｌ＋ （Ⅱ 一 １）或 ÷一 ｌ＜ ａ－ １
口
对
Ｖ Ｅ＞ Ｏ，总Leabharlann ］～（取Ｎ－
Ｅ＂－
１ ３） ，
则
当
ｎ＞
Ｅ
Ｎ 时 ．就有 ａ 一ｌ＜ｅ，即 Ｉ“÷一ｌ Ｉ＜ｅ
第 ２２卷 第 ２期
Ｖｏｌ＿２２ Ｎｏ．２
湖 北 农 学 院 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈ ｕｂｅｉ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒａｌ－Ｃｏｌｌｅｇｅ
文 章 编 号 ：１００４—３８８８（２００２）０２— ０１７０－０３
用极限定义证明极限的几种方法’
２００２年 ４月
Ａ Ｄｒ． ２００２
就 叫 函数 Ｙ一，（ ），当 一 。。时 的极 限 ，记 作 ｌｉｍｆ
…
（ ）一 Ａ
定 义 ３：设 ，（ ）在 点 ｘｏ的某 个 空 心 领 域 内
有定 义 ，如 果 ＶＥ＞Ｏ，总存在 ＞ ０，对 于遥 台 不 等
式 ０＜ Ｉ 一 如 ＜ 的一 切 所对 应 的 函 数值 恒 有不等式 Ｉｆ（ｘ）一ＡＩ＜Ｅ成立 ，则常数 Ａ就叫做
极限e的证明与求法
极限e的证明与求法极限e是一个很重要的数学概念，它常常出现在高等数学中，是一个代表极限概念的重要数学常量。
极限e是一个无理数，它的值接近于2.7182818。
本文旨在论述极限e的证明与求法。
极限e的概念最早出现在18世纪，由Leonhard Euler提出。
如果我们用公式来定义极限e，可以使用如下公式：e= lim n→∞ (1 + 1/n)^n该公式指出，当n无穷大时，极限e就等于(1 + 1/n)^n.因此，通过计算该公式，我们就能得出e的值。
极限e的公式还可以用另一种方式进行定义，即：e= lim x→0 (1 + x)^1/x该公式指出，当x取到0的极限时，极限e为(1 + x)^1/x.因此，我们也可以通过计算该公式，得出e的值。
要求法求e的值，可以利用牛顿迭代法进行求解，即迭代公式为：Xn+1 = Xn - F(Xn)/F(Xn)在此，Xn表示极限e的第n次估计值；F(Xn)表示我们要求解的函数；F(Xn)表示F(Xn)在Xn处的导数值。
牛顿迭代法可以让我们快速求出极限e的近似值，当我们在Xn 处求得的值满足某一个精度要求时，我们就可以停止迭代，得出e的值。
除了通过牛顿迭代法求极限e之外，还可以利用Taylor级数求解。
Taylor级数首先将极限e定义为e= lim x→0 (1+x)^1/x,然后将上式代入Taylor级数：e= lim x→0 (1+x)^1/x= 1 + x/2! + x^2/3! + x^3/4! +通过上式，我们可以将e的值求得极其精确。
另外，我们还可以利用Stirling公式推导极限e：e^n = lim n→∞ (n!/e^n)^1/n = lim n→∞ n^(n+1/2) e^(-n) 将上式代入Taylor级数：e^n =∞ (n!/e^n)^1/n =∞ n^(n+1/2) e^(-n) = 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! +这样我们就得到了极限的值：e= lim n→∞ (n!/e^n)^1/n 。
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
考研数学：两个重要极限
通过比较
xn , xn 1 的展开式，得到除前两项外， xn 的每一项都小于 xn1 的对应项，且 xn1 还 xn xn1 ，即可证数列 xn 单调增加.
多了最后一项且其值大于 0 ，故得出 再证有界;由
1 式易得
1 1 1 1 1 1 2 n 1 1 xn 1 1 1 1 2 n 1 1 3 n! 2 12 2! 3! 2 2 ,
x 0
同理，由夹逼准则可得 x 0
综上，由极限存在的充要条件可知
sin x Biblioteka x .tan x 有关此极限多用于证明与计算比如求 x 0 x ,（读者自行完成）. lim 1 lim 1 e x x 接下来证明 . 1 lim 1 e x x 分析：对于 的证明看上去很复杂，但可以先借助极限存在准则（单调
/
sin x sin x x tan x, 0 x cos x 1 2 可得 x 证 由 ,
又
x 0
lim cos x 1 lim
,
由夹逼准则可得
x 0
sin x 1 x ;
sin x tan x x sin x, x 0 cos x 1 2 也可得 x 对于 , lim sin x 1 x ; lim
n 1
1
；
二项式定理
1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 2! n 1 n! n 1 n 1 n 1
1 1 n ; 1 1 n 1! n 1 n 1
版权所有
e的两个重要极限公式证明
e的两个重要极限公式证明在数学的奇妙世界里，e 这个神秘的数字就像一位隐藏在迷雾中的精灵，总是让人充满好奇和探索的欲望。
而 e 的两个重要极限公式，更是数学大厦中极为关键的基石。
先来说说第一个重要极限公式：$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
这个公式看似简单，但其证明过程却蕴含着深刻的数学思想。
咱们从几何的角度来瞧瞧。
想象一个单位圆，圆心在原点，半径为1 。
以原点为顶点，x 轴正半轴为一条边，角 x 的终边与单位圆相交于点 P 。
过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M 。
那么，$\sin x$ 就是线段 PM 的长度，而 x 对应的弧长就是线段弧 PQ 的长度。
当 x 非常非常小的时候，也就是角 x 接近 0 时，弧 PQ 的长度和线段 PM 的长度几乎相等。
因为在很小的范围内，圆弧可以近似看作直线段。
所以，$\frac{\sin x}{x}$ 的值就趋近于 1 啦。
再看第二个重要极限公式：$\lim\limits_{x \to \infty} (1 +\frac{1}{x})^x = e$ 。
为了更好地理解这个公式，咱们来做一个有趣的思想实验。
假设你有一笔钱，初始本金为 1 元，年利率为 100% 。
如果一年结算一次利息，那么年底你将拥有 2 元。
但如果把一年分成 n 等份，每过 1/n 年就结算一次利息并把利息加入本金，那么到年底你的钱数就会变成$(1 +\frac{1}{n})^n$ 元。
当 n 越来越大，也就是结算利息的次数越来越多，越来越频繁时，到年底你拥有的钱数就会越来越接近一个固定的值，这个值就是 e 。
记得我当年读高中的时候，刚开始接触这两个重要极限公式，那叫一个头疼啊！老师在讲台上讲得口沫横飞，我在下面听得云里雾里。
特别是那些复杂的推导过程，感觉就像一团乱麻，怎么也理不清。
但是，我没有放弃。
课后，我拿着书本，对着那些图形和式子，一遍又一遍地琢磨。
极限e的证明与求法
极限e的证明与求法
极限e是自然常数e，其值约为2.71828。
e是指数函数y = ex 的增长率，其中x为实数。
下面是证明e是极限的方法：
1.首先，定义极限的公式为: lim x->∞ (1+x/n)^n =
e
2.使用导数的概念，得到(1+x/n)^n 的导数为：
(1+x/n)^(n-1) (n/(x+n))
3.当n 趋近于∞ 时，(1+x/n)^(n-1) (n/(x+n)) 的
值将趋近于e^x
4.根据极限的定义，可以得到 e 是(1+x/n)^n 的
极限
关于求法，有多种方法，其中一种是使用渐进级数: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! (n 无限大)
还有一种是使用牛顿迭代法来求e 的值。
需要注意的是，计算机程序中使用的e 值通常是通过数值近似方法进行计算得到的近似值，而非精确值。
另外，e 在很多领域中有着重要的应用，如统计学中的随机变量、概率论中的指数分布、金融学中的指数增长模型等。
在数学上，e 还有很多有趣的性质，如e^(i*π) +1 = 0, e^x = ∑ (x^n)/n!，这些性质都是由求极限和导数
的方法推导出来的
在工程学和物理学上，e 可以用来描述系统中的指数增长或衰减等现象。
总之，e 是一个非常重要的数学常数，在数学、物理、工程学等多个领域有着广泛的应用。
夹逼准则与两个重要极限
第二个重要极限的应用举例
在解决一些数学问题时，如求无穷积分、求解微分方程等，可以利用第二 个重要极限来简化计算过程。
例如，在求解无穷积分∫sin(x)/x dx时，可以利用第二个重要极限来得到 积分的值。
此外，在求解一些微分方程时，也可以利用第二个重要极限来得到方程的 解。
05
总结与展望
本主题的主要内容总结
夹逼准则的定义与性质
夹逼准则是数学分析中的一个基本定理，它描述了当两个序列或函数在一定条件下收敛时，它们的极限值之间的关系 。这个定理在证明极限和求极限中有着广泛的应用。
两个重要极限的介绍
两个重要极限是数学分析中的重要概念，它们是用来描述函数在某些特定点或区域的极限行为。第一个重要极限是 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$，第二个重要极限是$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$。
03
数，如泊松分布的均值和方差。
04
第二个重要极限
第二个重要极限的定义
01
02
03
第二个重要极限是数学 中的一个重要概念，它 描述了当x趋向于无穷大 时，函数sin(x)/x的极限
值。
具体来说，第二个重要极 限的定义为lim(x->∞) sin(x)/x = 1。
这个极限在解决一些数 学问题时非常有用，尤 其是在处理无穷大或无
夹逼准则的应用举例
举例1
求lim (1 + 1/n)^n (n -> +∞) 的值。令c_n = (1 + 1/n)^n， a_n = (1 + 1/n)^(n+1)，b_n = (1 + 1/n)^(n-1)，则有a_n <= c_n <= b_n。根据夹逼准则，lim c_n = e。
ε～n定义证明极限
ε～n定义证明极限
数列极限的ε-N定义是指：对于一个数列{an}，如果存在一个实数L，对于任意一个正实数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有∣an-L∣<ε，那么就称数列{an}收敛于L，记作：lim an=L（n→∞）。
其中，∣an-L∣表示数列{an}的第n项与L的差的绝对值，ε表示任意小的正实数，N表示从第N项开始，数列{an}的每一项都满足∣an-L∣<ε。
换言之，对于任意一个正实数ε，如果数列{an}从某一项开始，与极限L的差的绝对值始终小于ε，那么我们就称数列{an}收敛于L，且L是该数列的极限。
反之，如果对于数列{an}，不存在实数L满足上述条件，那么就称数列{an}发散，没有极限。
这个定义中的ε-N 定义可以用来判定一个数列是否收敛，并且可以通过不断缩小ε和增大N的值，逐步逼近数列的极限。
用函数极限的定义证明
用函数极限的定义证明任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε。
即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。
2）用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。
函数极限例子lim(sinⅹ/ⅹ)=1(ⅹ→0)证明:以1为半径，ⅹ为角度，画扇形OAB，O为圆心，A、B为弧长端点。
过A作垂线AD垂直OB，作B点切线，延长OA与过B的切线相交与E。
ⅹ∈(0，π/2)，AD=sinⅹ，BE=tanⅹ，OAB面积=ⅹ/2。
OAD面积=sinⅹ/2OBE面积=tanⅹ/2OAD<OAB<OBE→sinⅹ/2<ⅹ/2<tanⅹ/2→sinⅹ<ⅹ<tanⅹ→1/sinⅹ>1/ⅹ>cosⅹ/sinⅹ，同乘以sinⅹ→1>sinⅹ/ⅹ>cosⅹ，ⅹ→0⁺，cosⅹ→1，由三明治定理→lim(sinⅹ/ⅹ)=1。
当ⅹ→0⁻，令t=-ⅹ，t→0⁺，sin(-t)/(-t)=-sint/(-t)=sint/t→(-t→0⁻)limsin(-t)/(-t)=(t→0⁺)limsint/tlimcosⅹ=1(ⅹ→0)(ⅹ→0)limtanⅹ/ⅹ=(sinⅹ/cosⅹ)/ⅹ=(sinⅹ/ⅹ)(1/cosⅹ)=1当ⅹ很小的时候，sinⅹ、tanⅹ与ⅹ很接近。
(ⅹ→0)lim(1-cos²ⅹ)/ⅹ²=sin²ⅹ/ⅹ²=(sinⅹ/ⅹ)²=1(ⅹ→0)lim(1-cosx)/ⅹ=((1-cosx)/ⅹ)((1+cosⅹ)/(1+cosⅹ))=(sin²ⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=sinⅹ(sinⅹ/ⅹ)(1/(1+cosⅹ))=0*1*(1/(1+1))=0。
函数极限的定义证明
习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-®x x ; (2)12)25(lim 2=+®x x ; (3)424lim 22-=+--®x x x ; (4)21241lim 321=+--®x x x . 证明证明 (1)分析分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<e, 只须e 31|3|<-x . 证明证明 因为"e >0, $e d 31=, 当0<|x -3|<d 时, 有|(3x -1)-8|<e , 所以8)13(lim 3=-®x x . (2)分析分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<e, 只须e 51|2|<-x . 证明证明 因为"e >0, $e d 51=, 当0<|x -2|<d 时, 有|(5x +2)-12|<e , 所以12)25(lim 2=+®x x . (3)分析分析 |)2(||2|244)4(242222--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使e <--+-)4(2422x x , 只须e <--|)2(|x . 证明证明 因为"e >0, $e d =, 当0<|x -(-2)|<d 时, 有e <--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--®x x x . (4)分析分析 |)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使e <-+-212413x x , 只须e 21|)21(|<--x . 证明证明 因为"e >0, $e d 21=, 当d <--<|)21(|0x 时, 有e <-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--®x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+¥®x x x ; (2)0sin lim=+¥®xx x . 证明证明 (1)分析分析 333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使e<-+212133x x , 只须e <3||21x , 即321||e>x . 证明证明 因为"e >0, $321e=X , 当|x |>X 时, 有e <-+212133x x , 所以2121lim 33=+¥®x x x . (2)分析分析x x x x x1|sin |0sin £=-, 要使e <-0sin x x, 只须e <x 1, 即21e>x . 证明证明 因为"e >0, $21e=X , 当x >X 时, 有e <-0sin x x , 所以0sinlim =+¥®x x x . 3. 当x ®2时, y =x 22®4. 问d 等于多少, 使当|x -2|<d 时, |y -4|<0. 001？解 由于x ®2, |x -2|®0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<-x , 取d =0. 0002, 则当0<|x -2|<d 时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x ®¥时, 13122®+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只397301.04||=->x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x ®0时极限为零. 6. 求,)(x xx f = x x x ||)(=j 当x ®0时的左﹑右极限, 并说明它们在x ®0时的极限是否存在. 证明证明 因为因为11limlim )(lim 000===---®®®x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++®®®x x x x xx f , )(lim )(lim 0x f x f x x +®®=-, 所以极限)(lim 0x f x ®存在. 因为因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---®®®x xx x x x x x j , 1lim ||lim )(lim 00===+++®®®xx x x x x x x j , )(lim)(lim 00x x x x j j +®®¹-, 所以极限)(lim 0x x j ®不存在. 7. 证明: 若x ®+¥及x ®-¥时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =¥®)(lim . 证明证明 因为A x f x =-¥®)(lim , A x f x =+¥®)(lim , 所以"e >0, $X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<e ; $X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<e . 取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<e , 即Ax f x =¥®)(lim . 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x ®x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明证明 先证明必要性. 设f (x )®A (x ®x 0), 则"e >0, $d >0, 使当0<|x -x 0|<d 时, 有 |f (x )-A |<e . 因此当x 0-d <x <x 0和x 0<x <x 0+d 时都有时都有|f (x )-A |<e . 这说明f (x )当x ®x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则"e >0, $d 1>0, 使当x 0-d 1<x <x 0时, 有| f (x )-A <e ; $d 2>0, 使当x 0<x <x 0+d 2时, 有| f (x )-A |<e . 取d =min{d 1, d 2}, 则当0<|x -x 0|<d 时, 有x 0-d 1<x <x 0及x 0<x <x 0+d 2 , 从而有从而有 | f (x )-A |<e ,即f (x )®A (x ®x 0). 9. 试给出x ®¥时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x ®¥时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x ®¥时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M . 证明证明 设f (x )®A (x ®¥), 则对于e =1, $X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<e =1. 所以所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |£|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。
函数极限证明过程
函数极限证明过程
任意给定ε>0，要使|f(x)-A|<ε，（通过解这个不等式，使不等式变为δ1(ε）<x-x0<δ2(ε）为了方便，可让ε值适当减少），取不等式两端的绝对值较小者为δ(ε），于是对于任意给定的ε>0,都找到δ>0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε . 即当x趋近于x0时，函数f(x）有极限A
例如证明f（x）=lnx在x趋于e时，有极限1
证明：任意给定ε>0，要使|lnx-1|<ε，只须-ε＜lnx-1＜ε,1-ε＜lnx＜1+ε,e ＾(1-ε)＜x＜e＾(1+ε), ∴e＾(1-ε)-e＜x-e＜e＾(1+ε)-e,取δ(ε）=min（e-e＾(1-ε)，e＾(1+ε)-e）min后面两数是不等式两端的值，但左边的是不等式左端的负值要取绝对值，这两正数取较小的为δ，于是对于任意给定的ε>0,都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：1）取0<|x-e|，是不需要考虑点x=e时的函数值，它可以存在也可不存在，可为A也可不为A。
2）用ε-δ语言证明函数的极限较难。
e^n的极限公式
e^n的极限公式1. 引言在数学中，极限是一种非常重要的概念。
而当涉及到函数的极限时，e^n的极限公式是一项非常重要的数学公式。
本文将会介绍e^n的极限公式，其定义，证明和应用。
2. 定义e^n的极限公式，也称为自然指数函数的极限，是一个数学公式，可表达为e^x=lim(1+x/n)^n （当n趋向于无穷大时）。
在此公式中，e被称为自然底数，而x是一个任意实数。
3. 证明要证明e^n的极限公式，可以使用极限的定义。
首先，我们需要证明lim(1+x/n)^n存在。
通过对公式进行求导，可以看到函数(1+x/n)^n单调递增，并且当n趋向于无穷大时它的极限也一定存在。
其次，我们需要证明e^x=lim(1+x/n)^n。
为了辅助证明，先引入另外一个称为ln（自然对数）的函数。
通过求导可以证明，ln(x)是一个单调递增的函数。
其次，ln（e）=1。
这意味着当x=e^1时，ln（x）=1。
同时，我们也可以使用ln和指数函数e的性质得到e^x=lim(1+x/n)^n。
4. 应用e^n的极限公式是一个广泛应用于自然科学与技术科学领域的公式。
例如，在物理学领域中，e^n的极限公式被用作计算指数增长的过程。
在电子学领域中，e^n的极限公式则被用作计算放大器的输出电流。
此外，e^n的极限公式还被应用于金融学、经济学以及计算机科学领域。
在金融学领域中，该公式被用于计算利润的增长率。
在计算机科学领域中，该公式则被广泛应用于计算程序的复杂度和级别。
总结：e^n的极限公式是一种非常重要的数学公式，被广泛应用于自然科学和技术科学领域。
该公式通过极限的定义进行证明，可以通过求导和ln函数等多种方法进行辅助证明。
两个重要极限64097资料
则sin x =BD，tan x=AC，
SOAB S扇形OAB SOAC , 当0 x π时，
2
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x.
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
2
2
sin(x) x tan(x),
lim 2 x x lim1 1 u5 x 3 x u u
lim1
1
u
1
1
5
e1
e.
u u u
第一章 作业2
两个重要极限的证明
两个重要极限的证明
例 证明 lim sin x 1. x0 x
x)
1 x
]2
x0
e2
例3 lim( x 1)3x x x
解 lim( x 1)3x lim(1 1 )3x
x x
x
x
lim
x
（ 1
1 )x x
3
e3
1
练习1.计 算 lim(1 2 x) x . x0
1
1 2
解 lim(1 2 x) x lim(1 2 x)2 x
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
(1
1
x
)
2.868
2.732
x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
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Tianhaisheng
单调有界原理：任何单调有界的数列一定有极限。
一．利用均值不等式来证明
平均值不等式 ，其中 为正数，因为当正数不全相等时，，其几何平均值小于算术平均值，所以：
给两边同时(n+1次方，从而：
因此数列单调递增，又因为当n>5时有：
所以：
从而(两边取倒数：
取k=5则有：
因此式(1是一般结果，式(2是特殊情况，利用一般结果，有助于估计数e的范围。
此证法摘自山西吕梁高等师范专科学校数学系，张润玲，033000
二．构造不等式
证 先建立一个不等式b>a>0，对于任一自然数n有：
或
令 ， ，将它们代入单调递增。
再令a=1,b= 代入(1。由于
故有：
两边平方后有：
它对于一切自然数成立。联系数列的单调性，由此又推得数列是有界的。于是由单调有界原理知道极限是存在的。
通常用拉丁字母e代表这个极限，它是一个无理数，用十进制小数表示时，其前十三位数字是：
e=2.718281828459
②此例证法引自Amer. Math. Monthly 1974,Vol. 81,No.9,1011-1012，摘自华东师范大学数学系编《数学分析》上册第二版，47-48.
即：
上述是在n>5时导出的，但由于数列 单调递增，所以当n≤5时也成立。这就表明数列 单调递增有上界。
任取一个正整数，当n>k时有：
，从而
从而：
所以：
即有：
上式是在n>k时导出的，但由于数列 单调递增，所以当n时也成立。这表明对于任意一个取定的正数k，数 都是数列 的上界。例如：
取k=1则有：
取k=2则有：