人教版八年级数学上册教案《平方差公式》

《平方差公式》
◆教材分析
《平方差公式》是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。

对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且在设计的过程中尽量与生活中的实际问题相联系，设计一些活动增加知识的趣味性，这样可以培养学生对数学学习的兴趣，设计的习题也很有梯度，由浅入深，适应学生的需要。

为以后的因式分解、分式的化简等内容奠定了基础，在教学中具有很重要地位。

◆教学目标
【知识与能力目标】
1. 探索并理解平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性；
2. 会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算。

【过程与方法目标】
1.使学生经历公式的猜想、证明过程，构建以数的眼光看式子的数学素养；
2. 培养学生的数学符号感和推理能力；
3. 培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。

【情感态度价值观目标】
在计算过程中发现规律,并能用符号表示,从而体会数学的简洁美。

◆教学重难点
◆
【教学重点】
1.平方差公式的推导；
2.平方差公式本质的理解与运用。

【教学难点】
平方差公式的本质，即结构的不变性，字母的可变性。

◆教学过程
一、引入新课
【师】同学们好。

上次课我们学习了多项式的乘法法则，多项式乘以多项式有什么规律呢？（课件展示过程）
【生】多项式乘以多项式要一一握手，逐项相乘之后求和。

【师】没错，可是，如果每一个多项式和多项式相乘都要这么做的话，哪怕只是给出的最简单的就要一一握手四次，有没有哪些特殊的多项式乘法，可以简化运算呢？这就是我们今天要学习的内容。

【板书】
第十四章整式的乘法和因式分解
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
二、新知介绍
[1]情景引入：阿凡提和巴依老爷换地
【师】正课开始之前，我们先来看这样一个故事。

大家听说过阿凡提吧？有一天，巴依老爷来找阿凡提（……投影上播放故事情节，老师伴随口述，这里略）。

那现在我们来看，巴依老爷一边加了五米，一边减了五米，看起来没有什么变化，为什么阿凡提不答应换地呢？大家如果把刚才的故事用数学语言抽象出来，会是什么样的问题呢？大家动脑想一想。

课件展示图片
【生】（思考交流，给出答案）。

假设原来阿凡提手里的土地是边长为a米的正方形，面积是a2平方米，现在一边加上五米，一边减去五米，变成了面积为(a+5)(a-5)的长方形土地。

【师】没错，那土地的面积到底变没变，阿凡提如果换地，会吃亏吗，这个问题你们学了这堂课的知识，就能解答了。

[2]观察思考与概念介绍：平方差公式的探索和引入
【师】下面请看投影，老师给大家下面三个多项式的乘法，大家按照上次课老师教给大家的多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。

(x+1)(x−1)= 。

(m+2)(m−2)= 。

(2m+1)(2m−1)= 。

…
【生】（计算并给出答案）。

【师】那现在大家观察一下这三个等式，你们发现这三个等式有什么共同的特点吗？【生】（分组讨论和交流）。

这三个等式的左边都是两个多项式的成绩，右面是两个平方项的差。

【师】那这两个多项式又有什么特点呢？
【生】两个相同的项，相加的结果和相减的结果，之后乘积。

【师】非常好。

那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。

请大家算一算：(a+b)(a−b)等于多少。

【生】得出答案：(a+b)(a−b)= a2−ab+ab−b2 = a2−b2
【师】好了，大家现在得到了结论：(a+b)(a−b)= a2−b2。

这就是我们今天要学习的核心——平方差公式。

（板书并介绍概念）
【板书/PPT】
平方差公式：(a+b)(a−b)= a2−b2
两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差
【师】根据这个公式，只要大家以后碰到类似的多项式计算，对于具有和上面左侧相同结构的多项式相乘，可以直接写出来运算结果。

[3]边学边练：相关例题讲解和易错点简介（结合PPT，例题均为书上的）
【师】趁热打铁，大家既然看到了这个公式，我们先来学习一下这个公式怎么用，先看这个，
请计算：(3x+2)(3x−2)。

这里我们把3x看做是公式里面的a，2看做是公式里面的b，现在请大家套用乘法公式，给出答案。

【生】（给出答案，原式=(3x)2−22=9x2−4。

）
【师】好了，下面我们来进一步剖析一下这个公式，大家请看，(a+b)(a−b)= a2−b2。

这个公式的结果可以解读为：同号项的平方减去异号项的平方，这也是运用这个公式时候注意的地方，不要对应错位置。

请大家看这道题，(-x+2y)(-x-2y)，这里面的同号项是哪个，异号项是哪个呢？
【生】−x是同号项，2y是异号项。

【师】没错。

那下面大家写出来结果吧。

【生】（给出答案，原式=(-x)2－(2y)2= x2－4y2。

）
【PPT/板书】
巧记：同号项的平方减去异号项的平方。

【师】平方差公式需要灵活运用，下面老师给出来常见的两个平方差公式的变体，大家到了具体的题目中也要会辨别。

几个常见的变体：
乘法交换律：(a−b)(a+b)= a2−b2
加法交换律：(−b+a)(b+a)= a2−b2
【师】那大家看一下老师在投影上给出的这几个式子，这几个式子可以用平方差公式计算吗？
【生】（给出答案）。

【师】下面我们再来做两个题，看看大家有没有思路？（给出：(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)，102×98两个题目，强调以下两点：只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行；公式里的字母完全可以是个数字，因此可以进行简算）
【PPT/板书】
注意事项：
（1）只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按照乘法法则进行。

（2）可以进行简便运算。

（以上为黑板左侧内容，没有PPT教学设备的课堂可在右侧安排书写相应例题）
[4]补充讲解：数形结合的思想
【师】我们回过头来，看看为什么阿凡提没有答应换地。

你们这次能给出答案吗？
【生】因为巴依老爷给他的地少了，原来是a 2，现在只有a 2−25了。

【师】那根据刚才的启发，大家看下面这幅图，能直观地说明平方差公式吗？
【生】通过平移，两个浅色部分的长方形形状是一样的。

根据面积的等量关系，大正方形扣除小正方形之后剩下的面积，就等于边长分别为(a-b)和(a+b)的长方形。

三、归纳总结：
本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．
略
◆ 教学反思。