1.3矢量场的环量 旋度

rotA = n lim
∫ A ⋅ dl
l
∆S →0
∆S
max
2、旋度在坐标系下的表示
rotA = ∇ × A
在直角坐标系中的表示
ex ∂ ∇× A = ∂x Ax
ey ∂ ∂y Ay
ez ∂ ∂z Az
在圆柱坐标系中的表示
eρ 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ
在球坐标系中的表示
∂ ∂φ ρ Aφ
§1.3 矢量场的环量 旋度
一、矢量场的环量与环量面密度 1、矢量场的环量 矢量场 A(r ) 沿场中的一条闭合路径 l 的曲线积分称为矢量场
A(r ) 沿闭合路径 l 的环量。 的环量。
∆S = n∆S
P
A
Γ = ∫ A ⋅ dl
l
2、环量面密度
C
环流的计算
物理意义：若某一矢量场的环量不等于零， 物理意义：若某一矢量场的环量不等于零，则场中有产生该矢 量场的旋涡源。 量场的旋涡源。
ρ eφ
ez ∂ ∂z Az
er 1 ∂ ∇× A = 2 r sin θ ∂r Ar
reθ ∂ ∂θ rAθ
r sin θeφ ∂ ∂φ r sin θAφ
3、旋度的性质 矢量场的旋度是一个矢量。 矢量场的旋度是一个矢量。 矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 矢量场在某点处的旋度表示该点的旋涡源密度。 矢量场在某点处沿 方向上的投影。 方向上的投影。 4、旋度运算的基本公式 方向的环量面密度， n 方向的环量面密度，等于旋度在该
rot n A = lim
∫ A ⋅ dl
l
∆S →0
∆S
在矢量场中， 在矢量场中，一个给定点 M 处沿不同方向n ，其环量面密度 的值是不同的。 的值是不同的。 二、矢量场旋度 1、旋度的定义 方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。 方向：环量面密度取最大值的面元正法线方向。 大小：等于该环量面密度最大值。即 大小：等于该环量面密度最大值。
ex ∂ rotA = ∇ × A = ∂x
ey ∂ ∂y
ez ∂ ∂z
x( z − y ) y ( x − z ) z ( y − x)
= ( z + y )e x + ( x + z )e y + ( y + x )e z
在点M(1，0，1)处的旋度 ， ， 处的旋度 在点
∇ × A M = e x + 2e y + e z
∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S l
四、旋度与散度的区别
矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 矢量场的旋度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。 旋度描述场量与旋涡源的关系，散度描述场量与通量源的关系。
如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场 或保守场 或保守场)； 如果矢量场的旋度为零，则称为无旋场(或保守场 ；如果 矢量场散度为零，则称为无源场。 矢量场散度为零，则称为无源场。 旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律； 旋度描述场分量在与其垂直的方向上的变化规律；散度描 述场分量沿着各自方向上的变化规律。 述场分量沿着各自方向上的变化规律。 例题1】求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 在点M(1，0， 【例题 】求矢量场 ， ， 1)处的旋度以及沿 处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 方向的环量面密度。 处的旋度以及沿 【解】矢量场A的旋度 矢量场 的旋度
【例题2】在坐标原点处放置一点电荷 ，在自由空间产生的 例题 】在坐标原点处放置一点电荷q， 电场强度为
E=
q 4πεr
3
r=
q 4πεr
3
( xex + ye y + zez )
求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度。 电场强度的旋度。 求自由空间任意点 电场强度的旋度 【解】
ex ∇×E = ∂ 4πε ∂ x q x r3 ey ∂ ∂y y r3 ez ∂ ∂z z r3
=0
q ∂ z ∂ y = 3 − 3 ex 4πε 0 ∂y r ∂z r
∂ x ∂ z + 3 − 3 e y ∂z r ∂x r
∂ y ∂ x + 3 − 3 ez ∂x r ∂y r
n方向的单位矢量 方向的单位矢量
2 6 3 n° = (2ex + 6e y + 3ez ) = ex + e y + ez 2 2 2 7 7 7 2 +6 +3
在点M(1，0，1)处沿 方向的环量面密度 ， ， 处沿 处沿n方向的环量面密度 在点
1
µ = ∇× A M
2 6 3 17 ⋅ n° = + ⋅ 2 + = 7 7 7 7
∇×C = 0
(C为常矢量)
∇ × (cA) = c∇ × A
∇ × ( A ± B) = ∇ × A ±பைடு நூலகம்∇ × B
∇ × (uA) = ∇u × A + u∇ × A
∇ ⋅ ( A × B) = B ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × B
三、斯托克斯定理 斯托克斯定理是矢量场的曲面积分与曲线积分之间的一个转 换关系。 换关系。