空间中的垂直关系(带答案)

空间中的垂直关系专题训练

知识梳理

一、线线垂直：

如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.

二、线面垂直：

1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个

平面内的_________________，则称这条直线和这个平

面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面

α互相垂直，记作l⊥α.

2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则

这条直线与这个平面垂直.

推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.

推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.

3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.

三、面面垂直：

1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个

平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作

α⊥β.

2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.

3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于

直线垂直于另一个平面.

四、求点面距离的常用方法：

1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角

形.

2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距

离来求解.

3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.

题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质

例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是

PC的中点.求证：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ ）求证：B1D1⊥AE；

（Ⅱ ）求证：AC∥平面B1DE．

【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．

又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）

（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，

∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC

又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF 是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，

∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在

PD上，且PF：FD=2：1．

（Ⅰ ）证明：EA⊥ PB；

（Ⅱ ）证明：BG∥ 面AFC．

【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且

∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，

又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面

ABCD，所以EA⊥PA．

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．

（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．

连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，

所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．

【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．

（1）证明：AA1⊥ BD

（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．

【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂

面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．

（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．

（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，

在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，

∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=

∴三棱柱ABD﹣A 1B1D1的体积为．

【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，

点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．

（1）求证：AE⊥平面BCC1B1

（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；

（3）证明：B1E⊥AF．

【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，

∴AE⊥ BC．

在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，

∴ BB1⊥平面ABC，

∵ AE⊂平面ABC，

∴ BB1⊥ AE，…．（2分）

又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）

BB1，BC⊂平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）