机械制图 第三章 立体的投影

平面立体截交线的特点： 截交线是一个封闭的平面 多边形。多边形的各边是截平 面与立体各棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与各 条棱线的交点。 A B 求截交线的关键： 求截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线 Ⅰ S
Ⅲ
Ⅱ
C
（二）求截切立体投影的方法与步骤
1.先画立体未被切的投影图 2.再画截交线的投影图 3.擦掉被切的轮廓线
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 1' a' a 2´ b' 1 Ⅲ s 2 3 c A Ⅰ c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。
宽 宽
4. 棱柱的投影的特征和几何含义
一个投影为多边形，另外两个投影为小 矩形组成的大矩形。
棱锥
锥顶 侧棱面
棱线
棱锥的棱线相交于锥顶
底面
底边
（二）、三棱锥
1.三棱锥的组成
棱锥由一个底面 和三个侧棱面组成， 侧棱线汇交于有限远 一点----锥顶。
2.棱锥投影时的安 放位置 底面平行水平 投影面，使一个侧 棱面垂直正立投影 面或侧立投影面。
O
平行V面的最大圆
平行W面的最大圆
V
W
a' c"
O
平行H面的最大圆
b
外形轮廓线投 影的对应关系
球面投影 可见性判断
圆球表面取点取线
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' (n" )
N
O
点N在球面的 一水平圆上
n
（五）、圆球表面上取点
(a”) (a’)
c’
c”
(c)
(1)
a
线 只 能必 是须 平用 行辅 于助 投线 影求 面点 的， 园辅 。助
圆柱体
形成
底面 圆柱面
若干条和轴线∥ 的素线构成 若干个和轴线⊥ 的纬圆构成 轴线
O
O
轴线
母线的投影
O
V
W
H
对V面的外 形轮廓线
O
外形轮廓线投 影的对应关系 对W面的外 形轮廓线 圆柱面投影 可见性判断
最 左 轮 廓 线
（三）、 圆柱的投影特点
最 右 轮 廓 线 最前轮廓线 最 后 轮 廓 线 最 右 轮 廓 线 最 后 轮 廓 线
2. 截平面相对投影面的位置
（平行，垂直） 截交线的投影分析 （积聚性）
2" 3.
1' 3 (5)7 1 (4)6 2
1" 作图：
侧平面
正垂面
4. 求棱线的交点 连线或求棱面的 交线 ( 线上取点或 棱面上取线） 5. 检查漏线和多 线 .. 6. 判断可见性.
例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 空间分析：
最 左 轮 廓 线
最前轮廓线
[例题] 分析圆柱轮廓素线的投影
（五）、圆柱表面上取点 运用聚积性 求点。
( )
( )
(D) C
A
B
例 AC位于圆柱体表面，已知ac，求ac、 a c
a'
b' (c'') a'' b'' (d'')
分析
ac不平行轴线 故AC为曲线
(c')
c
d'
作图
①找特殊点 ②求H投影 ③求W投影 ④光滑连接曲线
3. 画棱锥投影作图的方法及步骤
1）先画底面的三 面投影图。 2）再画锥顶的三 面投影图。 3）然后画棱线的三 面投影图。
4）检查；整理； 加深图线。S
C B A
4. 棱锥的投影投影特征和几何含义
一个投影为三角形组成 的多边形，另外两个投影为 小三角形组成的大三角形。 S
C
B
A
二、 平面立体表面上取点 由于平面立体表面都是平面，所以平 面立体表面上取点的方法同平面上取点的 方法一样。所不同的是要判断点在立体的 哪一个平面上以及可见性。
纬圆的半径
圆锥体的投影
S
s'
s"
V
W
H
对V面的外 对W面的外 形轮廓线 形轮廓线
s
外形轮廓线投 影的对应关系
圆锥面投影 可见性判断
圆锥体表面取点取线
例 圆锥体表面一点M，已知m，求m′，m"
S
s' s"
V
M
W
m' ( m")
H
如何在曲面内取点？ 辅助线如何作？
s m
作直素线 作水平圆
（五）、圆锥表面上取点
V
二、三面投影与三视图
1.视图的概念
用正投影法绘制的物 体的投影图称为视图。 体的正面投影——主视图 体的水平投影——俯视图 体的侧面投影——左视图
长 高 宽
2.三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
宽
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
3.三视图之间的方位对应关系
第三章
立体
基本要求 §3-1 立体的投影 §3-2 截切立体的投影 §3-3 相贯立体的投影
基本要求
1.掌握立体的投影特征及作图方法
2.掌握立体表面上取点和线的作图方法 3.掌握平面与立体相交截交线的投影作图方 法
3.1 体的三面投影 ——三视图
一、体的投影
体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。
3.1.1 平面立体
一、平面立体的投影 平面立体是由平面多边形，直线和点 所围成。画平面立体的投影就是画所有组 成平面立体的平面多边形、直线和点的投 影。对于可见的表面和棱线，画粗实线， 不可见的表面和棱线画虚线。 常见的平面立体可分为棱柱和棱锥。
一、棱柱
六棱柱
底边
底面
棱柱的棱线相互平行
棱线
侧棱面
五、 圆环的投影
（一）、圆环的形成
（二）、圆环的画法 （三）、圆环的投影特点 （四）、圆环投影可见性的判别 （五）、圆环表面上取点
（一）、圆环的形成
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
（二）、圆环的画法
（三）、圆环的投影特点
最高点
平行V面的圆 最低点 距轴线最近点 最高点 距轴线最远点
截平面
平面与平面立体相交所得截交线形状
1 截交线形状是封闭的平面多边形
2
截平面由一个或多个组成
3 截平面相对投影面有平 行, 垂直,一般位置。
请注意 ！ （一）截交线基本性质
1 封闭性: 因为被截割的立体占有一定的空 间，所以截交线为封闭的平面图形。
2 共有性：截交线即在截平面上，又在立体 表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。 截平面 截平面
截交线在俯、 几个棱面相交？ ★ 求截交线 左视图上的形 ★ 分析棱线的投影 状？ ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
2
例7-2 ：求四棱柱被截切截交线的投影。 （7 ' ） 6" 7" 6' 侧平面 4' （5 ' ） （3 ' ） 2' 3" 5" 4"
分析：
1. 平面立体形体表 面性质 的分析（积聚性）
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析:
截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线的正面投影
截交线空间及投 影分析:
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
截交线空间是三边形
六棱柱
1.六棱柱的组成
棱柱由两个底面 和六个侧棱面组成， 侧棱面与侧棱面的交 线称为侧棱线，侧棱 线相互平行。
2.棱柱投影时的安 放位置 底面平行水平 面，使一个侧面平 行正立投影面。
3. 画棱柱投影图的步骤及方法
1.第一步 先画作图基 准线 。
2.第二步 画棱柱顶面 和底面的水平投影。 3.第三步 画棱柱顶面 和底面的正面和侧面投 影。 4.第四步 画六个侧面 的正面和侧面投影。 5.第五步 检查、整理 并加深。 高 长
a’
(a”)
必须作辅助线， 辅助线可以是垂直 轴线的纬圆，也可 以是过锥顶的直素 线。
a
例
ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W 投影
s' a' d' (e') s" (a")
分析
d" b"
e"
c" e s a
ABD不通过锥 顶，故为曲线
b'(c') c
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
d a b
外形轮廓线上的 点是曲线投影的 虚、实分界点
三、 圆锥的投影
（一）、圆锥的形成
（二）、圆锥的画法 （三）、圆锥的投影特点 （四）、圆锥投影可见性的判别 （五）、圆锥表面上取点
（一）、圆锥的形成
圆锥体
S
形成
锥顶 圆锥面
无数条过锥顶的素线 构成
无数个⊥轴线的纬 圆构成
轴线
底面
过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆
上
左 右 后
上
前 后
下 后 左
前
下 左 右
上 右
下
前
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
立体
立体是由表面所围成，按照立体表面的几何形 状不同分为两类；表面全部为平面的立体叫平面立 体；表面为曲面或平面与曲面组成的叫曲面立体。 曲面为回转面时又叫回转体。
7"
6"
四棱锥表面上取 截交线的各顶点
（5'） （4'） 5" 2' 3' b'd 5 c' d"
8 4 c 3 6 2 b
a
1
7 s
1. 找出有积聚性的投影 2. 确定截平面的特点 及数量。 4" 3" 2" 3. 各棱线的交点 1" b" 1,2,3,4,5,6,7,8。 a" (c " ) 3. 用线上取点的方法 求得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线 并判断可见性。
b
d
四、 圆球的投影
（一）、圆球的形成
（二）、圆球的画法 （三）、圆球的投影特点 （四）、圆球投影可见性的判别 （五）、圆球表面上取点
（一）、圆球的形成
圆球
O
形成
球面
1.无数个纬圆构成 2.纬圆⊥轴线 3.关注和投影面⊥3条轴线 4.关注三个方向的纬圆
O
轴线
纬圆的半径
圆球表面无直线！
圆球的投影
四棱锥被水平面切割， 截交线应是平面多边形 ，其水平投影反映实形 。正面和侧面投影是一 条直线。
空间分析：
四棱锥被正垂面切割， 截交线也应是平面多边 形，其正面投影积聚为 一条直线，水平投影侧 面投影小于实形的类似 形。
例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 s' s" 作图步骤：
7'
（8'） 6' 1' a' 8"
平 行 V 面 的 圆
距轴线最近点
距轴线最远点
（四）、圆环投影可见性的判别
由上向下看，此部分可见
由前向后看，此部分可见
（五）、圆环表面上取点
1' 2' （n'） m'
必须用辅 助线求点，辅 助线只能是垂 直轴线的纬圆。
1
2
m
本节结束
§3.2.2 平面与曲面立体相交
基本要求
一 、 概述 二、 平面与圆柱相交 三、平面与圆锥相交 四、平面与圆球相交 五、综合题
基本要求
1.掌握回转体截交线的性质。
2.掌握特殊位置平面与回转体表面相交，求 截交线的方法。 3.掌握单个平面与多个平面作截交线的作图 步骤和方法。
一 、 概述
平面与曲面立体相交，在曲面立体的表面会产生交线， 该交线称为截交线。平面称为截平面。截交线因立体不同、 截平面与立体的位置不同，截交线也不同。 截交线
3"
1" c"
作图步骤： 2" b"
确定截平面与三棱锥 上各条棱线的交点Ⅰ ⅡⅢ
Ⅱ
B
b
完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4) 1 2 4
●
1
●
●
2
Ⅳ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ
3
●
3
4
3
●
●
● ●
1
★ 空间分析 ★ 投影分析 截平面与体的 交线的形状？
例 棱锥表面的折线MNK(mnk)求另二投影
S N s' n'
s" n"
m"
M
A B C K
m'
a'
b'
s
k'
(k") c' a"(c") b"
N SB 注意分析点、直线 K SBC 所在表面的可见性 如何在平面上取点？
分析 M 连线 SA
a m
n
c k
b
平面与基本体相交
平面 基本体 截交线
完成作图:
多线擦除 1.将各点连成线 2.检查漏线和多线 3.判断可见性
注意不可见的线
§3.1.2 常见曲面体（回转体）的投影
基本要求 一、 概述 二、圆柱体的投影 三、圆锥体的投影
四、圆球体的投影
五、圆环体的投影
二、 圆柱的投影
（一）、圆柱的形成
（二）、圆柱的画法 （三）、圆柱的投影特点 （四）、圆柱投影可见性的判别 （五）、圆柱表面上取点
点的可见性规定：
若点所在的平面的投影可见，点 的投影也可见； 若平面的投影积聚成直线，点的 投影也可见。
（一）、棱柱表面上取点
a’
(a) b c (B)
(b)’
A c
c'
b
a
c
（二）、三棱锥表面上取点Ⅰ
n’ r 1 (n) 1
r
R
Ⅰ
1
n
三棱锥表面上取点Ⅲ
3
（3）
(Ⅲ)
3
在棱锥表面取线
截平面 平面体
回转体
共有线
本节重点：截交线求法
三、平面与平面立体相交
平面与立体相交，称为立体被平面截切，该平 面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交 线。画截切立体的投影时，为了清楚地表达立体被 截后的形状，既要画出截切立体表面上截交线的投 影，又要画出立体未切的轮廓线的投影，同时要擦 掉被切轮廓线的投影。