机械制图 第三章 立体的投影
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机械制图基本几何体投影
X
A ⅠB c
b"
线法）。
a
s
1m b
Y
棱锥表面点的投影确定
s'
Z s"
长
沙
职
m"
院
m'
a'
(n') a" n"
b"
机 械 系
1'
X
b' c' O (c")
YW
a
n
c
s
1m
b
YH
六棱柱的投影
长A
沙 职 院
F
E
（f'） （e'）
a' b'
c' d'
D
BC
（e" ）（d" ）（c" ） f" a" b"
正三棱锥的表面有特殊位置平面, 也有一般位置平面。
属于特殊位置平面的点的投影, 可利用该平面的积聚性作图。
长 沙 职
属于一般位置平面的点投影, 可通过在平面上作辅助线的方
法求得。
Z
院
V s'
机 械 系
S
s"
m'
b'
a' 1'
m"
M C a"
如图: 己知属 于棱面ΔSAB上的 点M，试求点M、 的投影（利用辅助
已知圆锥表面点M的正面投影m′, 求m和m″。
方法: (1)辅助素线法
长 沙
s'
Z
s"
职
院
s
m'
机械制图教案——第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
机械制图 立体的投影
模块三 立体的投影
图3-10 圆柱的形成及投影
模块三 立体的投影
2．圆柱表面上点的投影 如图3-11a）所示，已知圆柱表面上有A、B、C、D 四点，各点已 知一个投影a′、b′、c′、d，求每一个点的另外两个投影。
图3-11 圆柱表面上点的投影
模块三 立体的投影
图示中的圆柱，两个端面为水平面，其正投影和侧投影有积聚性； 圆柱曲面在投影为圆的图中有积聚性（类似于铅垂面）。所以，各个表 面在三投影图中至少有1～2个投影有积聚性。因此，求圆柱表面上点的 投影均可利用积聚性直接求出，不需要作辅助线。
模块三 立体的投影
图3-3 六棱柱三视图及其画法
模块三 立体的投影
2）棱柱表面上点的投影 如图3-4a）所示正六棱柱，已知其表面上A、B、C 三点中各点的一 个投影a′、b′、c，求每一个点的另外两个投影。 由于棱柱正放时每一表面都是特殊位置平面，其表面上点的投影均 可利用平面投影的积聚性来作图。 （1）利用积聚性，先求出a、b、b″、c′、c″。 （2）利用“三等”关系求出a″，如图3-4b）所示。
模块三 立体的投影
（1）纬圆法：过c′ 点作垂直于轴线的直线与圆锥极限位置的素线 相交于2′点，求出该交点在圆锥投影为圆的图形中的投影2，然后以圆心 到点2的距离为半径画出纬圆的投影，再过c′ 作投影连线到纬圆上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
（2）素线法：将锥顶s 和c′ 点用直线连接并延长，该直线与圆锥底 面的投影相交于点1′，则直线s′1′为圆锥曲面上通过C 点的素线。然后求 出点1在圆视图中的投影1点，并用直线连接s1，则该直线s1为素线在圆 视图中的投影。再过c′ 点作投影连线到圆视图中的素线投影s1上求出圆 视图中的投影c 点。最后利用“三等”关系再求出c″。
第3章 投影基础
例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 投影。 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
b
O
YW
YH
§3.2.2
一、直线
b′
直线的投影
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-18 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个 投影面平行线：
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
O
d
d k l2 l1
k
c
图2-26 求直线上点的投影
c
例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
[例3] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问 M点是否在直线上？
Z
解：分析：AB为侧 平线，M在直线上 ，必在直线AB的同 面投影上，并满足 定比规律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
1.平面内取点
Z
b′ e′ a′ c′
X
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
图2-39 平面内取点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
2.平面内取线
Z
a′ c′ m′ 1′ b′ c n 2 a 1 b
YH
a″ n′ 2′
a′
(a′)b′
机械制图3_立体表面交线的投影作图
例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的 水平投影。
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
（32）依确次定连截接交各线点与的转水向平轮投廓影线。的交点。
2’
2’
1’
3 5’6’’
4’
1’
3 5’6’’
4’
64
1
2
53
平面与球相交
64
1
2
53
2 4
3 1
2’
3 5’ ’ 4’
6’ 1’
2’
3’ 5’ 4’ 1’ 6’
两个侧平面截圆球的截交线的投 影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。
4 组合的截交线
首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连
接关系，然后分别求出这些基本体的截交线，并
依次将其连接。
●
●
●
●
●
●●
●
●
● ● ●
● ● ●
●
例1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截
交线的另外两个投影。
• 用辅助平面法。 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、 大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影 的特点，从而选择适当的方法作图。
3、作图步骤
（1）先作出特殊点的投影。 （2）求作一般点 （3）光滑连接各点
回转体相贯的三种基本形式
两外表面相贯
外表面与内表面相贯
64
64
1
2
1
2
53
53
平面与球相交
2 4
3 1
㈣ 复合回转体的截切
例：求作顶尖的俯视图
●
●
●●
●
●●
●
●
机械制图第三章习题答案
8. 只补画各点的水平投影。
a′ b′ c′ d′
答案
a
b
（d）
c
14页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
1. 求具有正方形通孔的六棱柱被正垂面截切后的侧面投影。
答案
15页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
2. 求三棱锥被正垂面截切后的水平投影和侧面投影。
答案
15页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
11. 补全球被平面截切后的投影。
答案
17页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
12. 求立体被平面截切后的投影。
答案
90°
17页
第三章 立体的投影 3-4 两回转体的相贯线
1. 求两正交圆柱体相贯线的投影。
答案
18页
第三章 立体的投影 3-4 两回转体的相贯线
2. 求穿孔圆柱体相贯线的投影。
a〞 b〞
c
(b)
14页
a
第三章 立体的投影 3-1 立体的投影及表面取点和线
5. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影 a′
答案
e′
a"
e"
b′
c′
d′ b" c"
d"
a 14页 b (c) e
d
第三章 立体的投影 3-1 立体的投影及表面取点和线
6. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影
4. 求切割圆柱体的投影。
答案
16页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
5. 完成中间带凹槽的圆柱管的侧面投影。
答案
16页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
a′ b′ c′ d′
答案
a
b
（d）
c
14页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
1. 求具有正方形通孔的六棱柱被正垂面截切后的侧面投影。
答案
15页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
2. 求三棱锥被正垂面截切后的水平投影和侧面投影。
答案
15页
第三章 立体的投影 3-2 平面立体的截交线
11. 补全球被平面截切后的投影。
答案
17页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
12. 求立体被平面截切后的投影。
答案
90°
17页
第三章 立体的投影 3-4 两回转体的相贯线
1. 求两正交圆柱体相贯线的投影。
答案
18页
第三章 立体的投影 3-4 两回转体的相贯线
2. 求穿孔圆柱体相贯线的投影。
a〞 b〞
c
(b)
14页
a
第三章 立体的投影 3-1 立体的投影及表面取点和线
5. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影 a′
答案
e′
a"
e"
b′
c′
d′ b" c"
d"
a 14页 b (c) e
d
第三章 立体的投影 3-1 立体的投影及表面取点和线
6. 画出立体的第三投影并补全点和线的其他两投影
4. 求切割圆柱体的投影。
答案
16页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
5. 完成中间带凹槽的圆柱管的侧面投影。
答案
16页
第三章 立体的投影 3-3曲面立体的截交线
机械制图第三章 基本体及立体表面交线
第三章
基本体及立体表面交线
第一节 平面立体的投影
任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。 单一的几何立体称为基本体。 表面全部为平面的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱 台等。 表面为曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体，常 见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球和圆环等，如 图3-1所示。
常 见 的 基 本 立 体
图3-21 圆锥体表面取点
(2) 辅助纬圆法。
(b)
图3-22 圆锥体表面取点
图3-23
常见圆锥的三面投影示例
三、圆球
球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。
图3-24 圆球的形成
1. 圆球的投影分析 圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别
是球三个不同方向的轮廓圆的投影。
图3-25 圆球的投影分析
图3-15 圆柱体的三视图
画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中心 线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。
*轮廓素线与圆柱体的对应
(a)
图3-16 圆柱体的轮廓素线分析
(b)
3. 圆柱面上取点
已知圆柱表面上点 M 、N 的正面 投影，求作它们的水平及侧面投影。
图3-17 圆柱体表面取点、取线
(d)
第二节 回转体的投影
表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围成的立体称 为曲面立体。
常见曲面是回 转面，它是由一直 线或曲线以一定直 线为轴线回转形成。 由回转曲面组成的 立体，称回转体， 如圆柱体、圆锥体、 球体等。
图3-13 回转体的形成
一、圆柱体
圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。 圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。
棱柱的投影特征： 一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两
基本体及立体表面交线
第一节 平面立体的投影
任何立体都是由表面（平面或曲面）所围成。 单一的几何立体称为基本体。 表面全部为平面的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱 台等。 表面为曲面或既有曲面又有平面的立体称为曲面立体，常 见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、球和圆环等，如 图3-1所示。
常 见 的 基 本 立 体
图3-21 圆锥体表面取点
(2) 辅助纬圆法。
(b)
图3-22 圆锥体表面取点
图3-23
常见圆锥的三面投影示例
三、圆球
球面是由母线圆（或半圆）绕其直径旋转而成。
图3-24 圆球的形成
1. 圆球的投影分析 圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别
是球三个不同方向的轮廓圆的投影。
图3-25 圆球的投影分析
图3-15 圆柱体的三视图
画圆柱体投影时，一般先画出轴线和圆的中心 线及投影为圆的那个投影，然后画出其余投影。
*轮廓素线与圆柱体的对应
(a)
图3-16 圆柱体的轮廓素线分析
(b)
3. 圆柱面上取点
已知圆柱表面上点 M 、N 的正面 投影，求作它们的水平及侧面投影。
图3-17 圆柱体表面取点、取线
(d)
第二节 回转体的投影
表面由平面与曲面围成，或全部由曲面围成的立体称 为曲面立体。
常见曲面是回 转面，它是由一直 线或曲线以一定直 线为轴线回转形成。 由回转曲面组成的 立体，称回转体， 如圆柱体、圆锥体、 球体等。
图3-13 回转体的形成
一、圆柱体
圆柱体是由顶面、底面和圆柱面所组成。 圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。
棱柱的投影特征： 一面投影为多边形，其边是各棱面的积聚性投影；另两
机械制图 第3章 平面立体
截平面截断所有 侧棱,截交线为与底 面类似的多边形
例3 求四棱柱开槽的截交线
例4：补全六棱柱被截切后的俯视图和左视图。
1(2) 2"●
●
1"
3(4)
5´
4"
3"
5"
2(4)
注意：
要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。
1(3)
一 圆柱
1 圆柱的投影
V
一面投影为反映 底面实形的圆， 另两面投影为相 同的矩形。
分析圆柱转向素线的投影规律
圆柱投影不为 圆的两个视图 上，转向素线 在一个图的两 边，一定在另 一个图的中间！
2 在圆柱表面上取点 c´ c"直接利用积
b´
a´
(d´)
(d") a"
b"
聚性在圆周 上取点
d a b c
例3：补全三棱锥被截后的左视图和俯视图
1´ 3´
1"
3" 5´（6´）
2" 6" 5"
2´
4´
4
3 4
O A
3.2 回转体
O1
A1
由曲面或曲面与平面所围成的立体。 曲面可看作由直线或曲线绕轴线旋转所形成。 这条运动的线称为母线，而母线在曲面上任—位置称 为素线。母线上的点绕轴线旋转时，形成回转面上垂 直于轴线的纬圆。 在画回转体的投影时，除了画出轮廓线外，还要画出 曲面投影的转向轮廓线，简称为转向素线。
a
2 在棱锥表面上取点
当棱锥表面的投影没有积 聚性时，可利用平面上的 辅助线进行作图。
《机械制图》教案——第三章 立体投影及表面交线
第三章基本立体的投影、截交线、相贯线§1立体的投影1．1平面立体的投影本节教学目标：掌握平面立体的投影特性和作图方法；掌握拉伸体的形成、投影及画法；熟悉平面立体表面中特殊位置的点、线的三面投影及画法。
重点：平面立体的投影特性及表面取点、取线的投影。
难点：平面立体表面中特殊位置处点、线的投影。
引入：通过对前面知识的学习已经知道，很多的机械零件都是由一些简单的基本形体组成，比如螺栓，我们可以将它分成正六棱柱、圆柱体和圆锥台三部分。
如果我们要绘制此螺栓的三视图，同学们都应该知道必须要绘制正六棱柱、圆柱体和圆锥台的三视图。
任何一个复杂的物体都可以看成由基本体组成，按组成基本体表面的性质进行分类，基本体可分为平面体和曲面体。
平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。
若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
1.1.1棱柱的投影1. 以正六棱柱为例，分析平面立体的结构，（1）正六棱柱共有几个表面？有何关系？（2）正六棱柱共有几条侧棱？有何关系？提问：1）不同位置的投影有什么不同？2）应怎样放置最合理？提示：使尽可能多的表面和棱线处于特殊位置。
2.投影特性分析（1）投影分析：上、下两个底面——平行的两个侧面——其余的几个侧面（2）三面投影图分析（3）绘图步骤：1）建立投影面系；2）根据三等原则绘制三面投影；3）区分可见性。
3. 棱柱体的投影特性（重点：学生应掌握）（1）当棱柱的底面平行于某一投影面时，棱柱的投影在该面上为与底面相等的正多边形。
（2）另两面投影为几个相邻的矩形线框。
4. 棱柱表面取点、线重点：所取的点、线属于棱柱的哪个面上？进而再求三面投影。
***若点所在平面的投影可见，点的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。
例：例：已知四棱柱，试完成其Ｖ、Ｈ投影。
（图7-1）图7-1四棱柱的投影1.1.2棱锥的投影棱锥的投影是棱锥各顶点同面投影连线的集合。
1. 棱锥的定义2. 棱锥的形体分析（1）投影分析：下底面——顶点——其余的几个侧面（2）三面投影图分析（3）绘图步骤：1）建立投影面系；2）根据三等原则绘制三面投影；3）区分可见性。
机械制图第三章 基本体投影
2'
5' 3' 4' 6'
4
PW
1" 2" 5"
4"
6" 3"
y
解题步骤
1、分析两圆柱的相对位置
2、判断相贯线的已知投影 是，由已知求未知投影.
3、求出相贯线上的特殊点.
4、求出一对一般点. 5、顺次光滑地连接各 点，并且判别可见性.
6、加粗可见轮廓线。
y
1
2
PH
5 36
一、辅助平面求点法——柱与孔
5 67 4
32
8
1 10 9
P Q
〔例8 〕 完成组合立体被截切后的投影
1' 4' (5')2' (3')
3" 5"
4" 2" 1"
3 5 1 4 2
2. 求曲面立体截交线的步骤
求曲面立体截交线的步骤：
找若
确定 截切 前基 本体 形状
判断 截平 面数 量及 位置
判断 各截 平面 形状
截平 面为 曲线 图形
1. 球的投影及表面取点
球的投影及表面取点： 辅助平面法。
1'
2'
如何求？
1" 3"
(2")
投投影影 可可见见否否？？
1 (2)
2. 作曲面立体投影及表面取点的注意问题
作曲面立体投影及表面取点的注意问题： （1）需要确定各投影面转向轮廓线的位置； （2）分清各条转向轮廓线在三个投影面的投影； （3）选择合适的辅助平面求点的投影。
4''
机械制图立体的投影
W
H
六棱柱的三视图
三等规律？
2. 棱柱表面取点
所谓立体表面取点，是指在已知立体表面上某点的一
棱柱表面取点的关键： 1、棱柱表面均为平面；
个投影（或两个投影）的前提下，求其另外投影的过程。
2、可用积聚性原理作图；
3、点的投影的可见性判断。
例：已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其 它两面投影。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行，截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
垂直截交线为圆
例1：求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 1' • 4 b• • 2" •
W
V面投影叫主视图
H面投影叫俯视图
W面投影叫左视图
X
0
YW
俯视图
H
YH
在工程图上，视图主要用来表达物体的形状与结构，没
有必要表达物体与投影面间的距离，因此绘制视图时不必画 出投影轴；为使图形清晰，也不必画出投影连线；三个视图 展开后位置相对固定，视图名称也不必标注。
物体的三 视图
B
a' (b') b"• •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
完成后的投影图：
a' (b') b"• a" •
H
六棱柱的三视图
三等规律？
2. 棱柱表面取点
所谓立体表面取点，是指在已知立体表面上某点的一
棱柱表面取点的关键： 1、棱柱表面均为平面；
个投影（或两个投影）的前提下，求其另外投影的过程。
2、可用积聚性原理作图；
3、点的投影的可见性判断。
例：已知棱柱表面的点A、B、C的投影a’、b’、c，求其 它两面投影。
P
PH
截平面与圆柱轴线平行，截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
垂直截交线为圆
例1：求斜切圆柱体的投影，已知正面和水平面 的投影，完成侧面投影。
2' c'(d') • d"• 3'(4') • a'(b') • 4"• • b"• 1' • 4 b• • 2" •
W
V面投影叫主视图
H面投影叫俯视图
W面投影叫左视图
X
0
YW
俯视图
H
YH
在工程图上，视图主要用来表达物体的形状与结构，没
有必要表达物体与投影面间的距离，因此绘制视图时不必画 出投影轴；为使图形清晰，也不必画出投影连线；三个视图 展开后位置相对固定，视图名称也不必标注。
物体的三 视图
B
a' (b') b"• •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
完成后的投影图：
a' (b') b"• a" •
CAD机械制图(第三章-投影)PPT课件
§3-4 相贯体的投影
-
2
§3-1 平面立体
平面立体——由若干个平面围成的实体。
工程上常用的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）和棱锥 （棱台）。
棱柱
棱锥
棱台
图3-1 平面立体
•平面立体侧表面的交线称为棱线。
•若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。
•若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。
-
3
•绘制平面立体的投影，即是绘制平面立体上所有 平面的投影，也就是绘制平面立体上各平面间的交 线(棱线)和各顶点(棱线的交点)的投影。
m
a' b'
A X
a
Z
采用平面上取点法
c' S
作图方法1 s"
s'
(n ) m
M
C O
B
m
a" (c")
b"
sc
m
b
(a) 直观图
-
a' b'
c'
a
n
s
c
m
b
(b) 投影
s"
n m
a"(c") b"
12
2. 棱锥表面上点的投影
已知棱面SAB上点M的正面投影m'和棱面SAC上点N
的水平投影n。求作M、N两点的其余投影。
第三章 立体的投影
本章教学目标要求:
⑴掌握常见平面体和回转体的投影特征及其作图要领。
⑵掌握在平面体和回转体表面取点的作图方法。
⑶熟悉特殊点的几何意义及其作图要领。
⑷掌握平面与立体相交的分析方法和作图方法。
⑸掌握立体与立体相交的分析方法和作图方法。
画法几何及机械制图第三章 立体的投影
1
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
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2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
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图3-7
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3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
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图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
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图3-9
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二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
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平面立体截交线的特点： 截交线是一个封闭的平面 多边形。多边形的各边是截平 面与立体各棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与各 条棱线的交点。 A B 求截交线的关键： 求截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线 Ⅰ S
Ⅲ
Ⅱ
C
（二）求截切立体投影的方法与步骤
1.先画立体未被切的投影图 2.再画截交线的投影图 3.擦掉被切的轮廓线
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 1' a' a 2´ b' 1 Ⅲ s 2 3 c A Ⅰ c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。
宽 宽
4. 棱柱的投影的特征和几何含义
一个投影为多边形，另外两个投影为小 矩形组成的大矩形。
棱锥
锥顶 侧棱面
棱线
棱锥的棱线相交于锥顶
底面
底边
（二）、三棱锥
1.三棱锥的组成
棱锥由一个底面 和三个侧棱面组成， 侧棱线汇交于有限远 一点----锥顶。
2.棱锥投影时的安 放位置 底面平行水平 投影面，使一个侧 棱面垂直正立投影 面或侧立投影面。
O
平行V面的最大圆
平行W面的最大圆
V
W
a' c"
O
平行H面的最大圆
b
外形轮廓线投 影的对应关系
球面投影 可见性判断
圆球表面取点取线
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' (n" )
N
O
点N在球面的 一水平圆上
n
（五）、圆球表面上取点
(a”) (a’)
c’
c”
(c)
(1)
a
线 只 能必 是须 平用 行辅 于助 投线 影求 面点 的， 园辅 。助
圆柱体
形成
底面 圆柱面
若干条和轴线∥ 的素线构成 若干个和轴线⊥ 的纬圆构成 轴线
O
O
轴线
母线的投影
O
V
W
H
对V面的外 形轮廓线
O
外形轮廓线投 影的对应关系 对W面的外 形轮廓线 圆柱面投影 可见性判断
最 左 轮 廓 线
（三）、 圆柱的投影特点
最 右 轮 廓 线 最前轮廓线 最 后 轮 廓 线 最 右 轮 廓 线 最 后 轮 廓 线
2. 截平面相对投影面的位置
（平行，垂直） 截交线的投影分析 （积聚性）
2" 3.
1' 3 (5)7 1 (4)6 2
1" 作图：
侧平面
正垂面
4. 求棱线的交点 连线或求棱面的 交线 ( 线上取点或 棱面上取线） 5. 检查漏线和多 线 .. 6. 判断可见性.
例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影 空间分析：
最 左 轮 廓 线
最前轮廓线
[例题] 分析圆柱轮廓素线的投影
（五）、圆柱表面上取点 运用聚积性 求点。
( )
( )
(D) C
A
B
例 AC位于圆柱体表面，已知ac，求ac、 a c
a'
b' (c'') a'' b'' (d'')
分析
ac不平行轴线 故AC为曲线
(c')
c
d'
作图
①找特殊点 ②求H投影 ③求W投影 ④光滑连接曲线
3. 画棱锥投影作图的方法及步骤
1）先画底面的三 面投影图。 2）再画锥顶的三 面投影图。 3）然后画棱线的三 面投影图。
4）检查；整理； 加深图线。S
C B A
4. 棱锥的投影投影特征和几何含义
一个投影为三角形组成 的多边形，另外两个投影为 小三角形组成的大三角形。 S
C
B
A
二、 平面立体表面上取点 由于平面立体表面都是平面，所以平 面立体表面上取点的方法同平面上取点的 方法一样。所不同的是要判断点在立体的 哪一个平面上以及可见性。
纬圆的半径
圆锥体的投影
S
s'
s"
V
W
H
对V面的外 对W面的外 形轮廓线 形轮廓线
s
外形轮廓线投 影的对应关系
圆锥面投影 可见性判断
圆锥体表面取点取线
例 圆锥体表面一点M，已知m，求m′，m"
S
s' s"
V
M
W
m' ( m")
H
如何在曲面内取点？ 辅助线如何作？
s m
作直素线 作水平圆
（五）、圆锥表面上取点
V
二、三面投影与三视图
1.视图的概念
用正投影法绘制的物 体的投影图称为视图。 体的正面投影——主视图 体的水平投影——俯视图 体的侧面投影——左视图
长 高 宽
2.三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
宽
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
3.三视图之间的方位对应关系
第三章
立体
基本要求 §3-1 立体的投影 §3-2 截切立体的投影 §3-3 相贯立体的投影
基本要求
1.掌握立体的投影特征及作图方法
2.掌握立体表面上取点和线的作图方法 3.掌握平面与立体相交截交线的投影作图方 法
3.1 体的三面投影 ——三视图
一、体的投影
体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。
3.1.1 平面立体
一、平面立体的投影 平面立体是由平面多边形，直线和点 所围成。画平面立体的投影就是画所有组 成平面立体的平面多边形、直线和点的投 影。对于可见的表面和棱线，画粗实线， 不可见的表面和棱线画虚线。 常见的平面立体可分为棱柱和棱锥。
一、棱柱
六棱柱
底边
底面
棱柱的棱线相互平行
棱线
侧棱面
五、 圆环的投影
（一）、圆环的形成
（二）、圆环的画法 （三）、圆环的投影特点 （四）、圆环投影可见性的判别 （五）、圆环表面上取点
（一）、圆环的形成
圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内， 但不通过圆心的轴线旋转而成。
（二）、圆环的画法
（三）、圆环的投影特点
最高点
平行V面的圆 最低点 距轴线最近点 最高点 距轴线最远点
截平面
平面与平面立体相交所得截交线形状
1 截交线形状是封闭的平面多边形
2
截平面由一个或多个组成
3 截平面相对投影面有平 行, 垂直,一般位置。
请注意 ！ （一）截交线基本性质
1 封闭性: 因为被截割的立体占有一定的空 间，所以截交线为封闭的平面图形。
2 共有性：截交线即在截平面上，又在立体 表面上，是截平面与立体表面共有点的集合。 截平面 截平面
截交线在俯、 几个棱面相交？ ★ 求截交线 左视图上的形 ★ 分析棱线的投影 状？ ★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
2
例7-2 ：求四棱柱被截切截交线的投影。 （7 ' ） 6" 7" 6' 侧平面 4' （5 ' ） （3 ' ） 2' 3" 5" 4"
分析：
1. 平面立体形体表 面性质 的分析（积聚性）
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线投影分析:
截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。
截交线的正面投影
截交线空间及投 影分析:
水平投影和侧面 投影是小于原形 的类似形
截平面是正垂面， 截交线在正立面内 积聚为一线
截平面
截交线空间是三边形
六棱柱
1.六棱柱的组成
棱柱由两个底面 和六个侧棱面组成， 侧棱面与侧棱面的交 线称为侧棱线，侧棱 线相互平行。
2.棱柱投影时的安 放位置 底面平行水平 面，使一个侧面平 行正立投影面。
3. 画棱柱投影图的步骤及方法
1.第一步 先画作图基 准线 。
2.第二步 画棱柱顶面 和底面的水平投影。 3.第三步 画棱柱顶面 和底面的正面和侧面投 影。 4.第四步 画六个侧面 的正面和侧面投影。 5.第五步 检查、整理 并加深。 高 长
a’
(a”)
必须作辅助线， 辅助线可以是垂直 轴线的纬圆，也可 以是过锥顶的直素 线。
a
例
ABC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W 投影
s' a' d' (e') s" (a")
分析
d" b"
e"
c" e s a
ABD不通过锥 顶，故为曲线
b'(c') c
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
d a b
外形轮廓线上的 点是曲线投影的 虚、实分界点
三、 圆锥的投影
（一）、圆锥的形成
（二）、圆锥的画法 （三）、圆锥的投影特点 （四）、圆锥投影可见性的判别 （五）、圆锥表面上取点
（一）、圆锥的形成
圆锥体
S
形成
锥顶 圆锥面
无数条过锥顶的素线 构成
无数个⊥轴线的纬 圆构成
轴线
底面
过圆锥面上任一点可作 一条直线通过锥顶、亦 可在圆锥面上作一圆
上
左 右 后
上
前 后
下 后 左
前
下 左 右
上 右