两个平面垂直的判定和性质

两个平面垂直的判定和性质

知识要点

1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．

2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：

(1)两条异面直线公垂线的存在性；

(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；

(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．

同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．

典型题目分析

例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。求证：平面BEF⊥平面DGC1。

分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证

明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。

证明：取D1D中点H，连结EH、HF。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。

∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。

连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，

∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。

∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴AF⊥DG。

∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴EF⊥DG。

∵DC1∩DG=D，∴EF⊥平面DGC1。∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。

点评：对难以观察的两个平面的垂直与否的判定，要紧扣定理，证明在一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。

例2．ΔABC的边BC a，A点在a上的射影是A'，若ΔABC面积为S，二面角A-BC-A'的大小是θ，则ΔA'BC

的面积是_________。

分析：作ΔABC的高AD，讨论AD、A'D的关系。

解：作ΔABC的高AD，并连结A'D，则由三垂线定理的逆定理可知A'D⊥BC，

所以∠ADA'就是二面角A-BC-A'的平面角，∠ADA'=θ。

在RtΔADA'中，A'D=ADcosθ，于是SΔA'BC=BC·A'D=BC·AD·cosθ=S·cosθ。

点评：本题结论称为面积射影公式，它是一个很有用的结论。应仔细体会并注意应用。

例3．在空间，给出下列命题：

①一平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影长相等；

②一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直；

③一条斜线和它在平面内射影所成的锐角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角；

④若点P到ΔABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是ΔABC的内心．

其中，正确命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

解：对于命题①，与射影长定理比较，缺条件“过平面外一点”，故不正确；对于命题②，

与三垂线定理比较，缺条件“在平面内”，所以②也不正确；命题③符合“最小角定理”，是真命

题；对于命题④．当点P在ΔABC外时，其射影是ΔABC的旁心而非内心，从而④错，综上

可知应选A．

点评：正确应用定理，必须充分注意其结论成立的条件．

例4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，AB=a，M、N分别为AB、A1C的中点。

(1)求点A到面A1DCB1的距离；(2)求直线AB到面A1DCB1的距离；

(3)求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，再求出其长度。

分析：仔细观察图形，认真分析所给的位置关系，寻求“垂直”关系。

(1)解：连结AD1交A1D于E，则A1D⊥AD1，E为A1D中点。又AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D=A1，

由直线与平面垂直的判定定理知，AE⊥面A1C。∴AE的长为点A到面A1C的距离，AE=a。

(2)解：∵AB//A1B1，A1B1面A1C，AB不在面A1C内，∴AB//面A1C。由(1)知，AE⊥面A1C。

∴AE的长为直线AB和面A1C的距离，即a。

(3)证明：∵EN为ΔA1DC的中线位，∴EN。即EN AM，且∠EAB=90°。∴四边形AMNE 为矩形。∴MN⊥AB，AE//MN。根据(2)知AE⊥面A1C。

∴MN⊥面A1C，∵A1C面A1C，∴MN⊥A1C。

因此MN是异面直线AB与A1C的公垂线段，其长为MN=a。

点评：(1)本小题也可由ΔA1MC和ΔANB为等腰三角形而得；

(2)两条异面直线AB和A1C的距离就等于AB与过A1C的且与AB平行的平面A1C间的距离。

例5．已知：如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。求：平面BED1和平面A1B1C1D1相交所成的较小二面角的正切值。

分析：因为D1是平面BED1和平面A1B1C1D1的公共点，所以平面BED1∩平面A1B1C1D1=直线l，且D1∈l。（如果找到交线l，再确定二面角的平面角的位置，问题就可以解决了）

因为平面BED1∩平面ABB1A1=BE，且平面A1B1C1D1∩平面ABB1A1=A1B1，且A1B1∩BE=F。

过F和D1的直线即是平面BED1和平面A1B1C1D1的交线，即是所求二面角的棱。

解：因为平面BED1∩平面ABB1A1=直线BE则直线BE∩直线A1B1=F（把BE、A1B1看成BE、A1B1两线段所在直线）

∵F既在平面BED1内，又在平面A1B1C1D1内，

∵D1既在平面BED1内，又在平面A1B1C1D1内，

∴平面BED1∩平面A1B1C1D1=直线D1F得到二面角B-D1F-B1，

∵E是AA1的中点，∴A1E=AE，∠FA1E=∠BAE=90°，∠AEB=∠A1EF，

∴RtΔBAE≌RtΔA1EF，∴AE=，A1F=a，过A1作A1G⊥D1F，G为垂足，

连结EG，则A1G是EG在平面A1B1C1D1内的射影

∵A1G⊥D1F，∴EG⊥D1F，∴∠EGA1是二面角B-D1F-B1的平面角，