两个平面垂直的判定和性质
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
平面与平面垂直的判定和性质
课堂导入
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线 和墙面紧贴，那么所砌的墙于地面垂直.这是为什 么呢？
W
1
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面相互垂直。
已知： ，AB, α
求 证：
W
5
该命题是假命题。
由,平面 内的直线AB与不平一 垂 面定 直能
α
A
α A
D
β
D
B
B
C
C
那么还需添加什么条件，才能使命题为真？
W
β
6
若增加条件ABCD，则命题为真，即
α
AB
CD
AB
。
A
D
β
AB CD
B
C
平面与平面垂直的性质定理是：
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面 内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
W
7
（1）面面垂直线面垂直； （线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
（2）平面 ⊥平面β，要过平面 内一点引平面β
的垂线,只需过这一点在平面内作交线的垂线。
α
D
C
β
W
α A
D
β
B
C
8
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为O的直径，C是圆周 上异于A、B的一点。
1)求证：平面PAC平面PBC；
α A
D
β
B
C
W
12
2)若PA=AB=a,
A C
6a 3
，
求
二面 P B角 C 的 A
直线、平面垂直的判定及其性质
例6、如图所示，在矩形ABCD 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=2BC，P、Q分别为线段AB、 AB= BC， 分别为线段AB、 AB CD的中点，EP⊥平面ABCD. CD的中点，EP⊥平面ABCD. 的中点 ABCD （1）求证：DP⊥面EPC； 求证：DP⊥ EPC； （2）问在EP上是否存在点F使平 问在EP上是否存在点F EP上是否存在点 FP AFD⊥平面BFC 若存在， BFC？ 的值. 面AFD⊥平面BFC？若存在，求出 的值. AP
D
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新
内的射影， 连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影， ∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD1 取AB的中点D，连结CD、B1D， 则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影 ∵B1 D⊥A1 B，∴A1 B⊥B1 C
（1）求证:平面 ABM⊥平面 PCD; 求证: ABM⊥
(2)求直线 所成的角的正弦值 正弦值; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值;
的距离. （3）求点 N 到平面 ACM 的距离.
四、两个平面垂直的性质
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面． 直线垂直于另一个平面．
一、三垂线定理和三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂 条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂 直.
两个平面垂直的判定和性质
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
两个平面垂直的判定和性质
α
l
所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是 ⊥ ， ⊥ ， 所以△ 是 直角三角形， 直角三角形， 在直角△ 在直角△BAC中，BC= 3 + 4 = 5 中
2 2
在直角△CBD中，CD= 52 + 122 = 13 在直角△ 中 所以CD的长为 所以 的长为13cm. 的长为
β β α α
2． 平面与平面垂直的判定定理： ． 平面与平面垂直的判定定理： ①文字语言：如果一个平面过另一个平面 文字语言： 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； 的一条垂线，则这两个平面互相垂直； ②图形语言： 图形语言：
α
A B
β
③符号语言：AB⊥β，AB∩β=B， 符号语言： ⊥ ， ， AB
ALeabharlann 平面ACD⊥平面BDC； ⊥平面 平面 ；
D B C
（2）在原图中，直角△BAC，因为 ）在原图中，直角△ ， AB=AC=a，所以 ，所以BC= 2 a， ， 所以 BD=DC=
2 2
a， ，
△BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以BC= 所以BC= 2 BD= a A 是等腰直角三角形。 △BDC是等腰直角三角形。 是等腰直角三角形 所以AB=AC=BC， ， 所以 因此∠ 因此∠BAC=60°. °
B D C
练习题 1． 下列命题中正确的是（ C ） ． 下列命题中正确的是（ 分别过两条互相垂直的直线， （A）平面 和β分别过两条互相垂直的直线， ）平面α和 分别过两条互相垂直的直线 则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （B）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条平行直线， 的两条平行直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （C）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的两条相交直线， 的两条相交直线，则α⊥β ⊥ 内的一条直线垂直于平面β内 （D）若平面 内的一条直线垂直于平面 内 ）若平面α内的一条直线垂直于平面 的无数条直线， 的无数条直线，则α⊥β ⊥
两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质知识要点1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：(1)两条异面直线公垂线的存在性；(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。
求证：平面BEF⊥平面DGC1。
分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。
证明：取D1D中点H，连结EH、HF。
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。
∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。
连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。
∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴ AF⊥DG。
∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴ EF⊥DG。
∵ DC1∩DG=D，∴ EF⊥平面DGC1。
∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。
两个平面垂直的判定与性质
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定与性质的关
系 • 两个平面垂直在实际生活中的应
用 • 两个平面垂直的典型例题解析
目录
01
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
01
02
03
判定定理
如果一个平面内的两条相 交直线与另一个平面垂直， 则这两个平面垂直。
线来证明。
性质的应用
01
在几何学中，两个平面垂直的性 质可以用于证明空间几何中的一 些定理和性质，例如空间几何中 的勾股定理等。
02
在物理学中，两个平面垂直的性 质可以用于研究物体的运动和力 的作用，例如物体在重力作用下 的运动轨迹等。
03
两个平面垂直的判定与性质
的关系
判定与性质的联系
判定是性质的依据
两条相交直线
在给定平面内选择两条不 平行的直线，这两条直线 必须相交。
垂直关系
这两条相交直线必须与另 一个平面垂直。
判定定理的证明
证明思路
通过反证法证明，假设两个平面不垂直，则它们必然存在一个公共点，由此可以确定一条过该点的直线。由于这 条直线同时位于两个平面内，因此它必然与两个平面都垂直。这与题目中给定的条件矛盾，因此假设不成立，所 以两个平面垂直。
家装设计
在家装设计中，需要确保墙面、 地面和天花板之间的垂直度，以
提高家居的美观度和舒适度。
家具摆放
在家具摆放时，需要确保家具与 地面垂直，以提高家具的稳定性
和安全性。
悬挂物品
在悬挂物品时，需要确保物品与 墙面垂直，以提高物品的稳定性
和安全性。
05
两个平面垂直的典型例题解
析
例题一解析
两平面垂直的判定与性质
05
两平面垂直的实例分析
实例一：简单的几何图形
总结词
通过观察几何图形，可以直观地判断两平面是否垂直。
详细描述
在平面几何中，常见的图形如矩形、正方形和正六面体等，它们的相对面都是垂直的。通过观察这些图形的角和 边，可以直观地判断两平面是否垂直。
பைடு நூலகம்
实例二：建筑模型的分析
总结词
建筑模型中的墙面和地面通常都是垂直的。
判定定理的应用
应用场景
判定两平面是否垂直，特别是在几何、工程和物理学等领域中，两平面垂直的判 定定理具有广泛的应用价值。
实际应用
在建筑学中，为了确保结构的稳定性和安全性，需要判定各个平面是否垂直；在 机械工程中，判定两平面是否垂直对于零件的设计和制造至关重要；在物理学中 ，两平面垂直的判定定理可用于研究物体的运动轨迹和力的分布。
判定定理的证明
• 证明过程：设两平面分别为α和β，且α内的两条相交直线a和b 分别与β垂直。在直线a上任取一点A，由于a与β垂直，作直线c 平行于a且在β内，使得A落在c上。同理，在直线b上任取一点B， 作直线d平行于b且在β内，使得B落在d上。由于a和b相交，所 以点A和B确定了一个平面γ。由于c和d都在β内，且c与d相交， 所以β包含在γ内。又因为α与γ内的两条相交直线a和b都垂直， 所以α与γ垂直。由此可知，α与β垂直。
详细描述
在建筑领域，墙面和地面通常都是垂直的。这是因为垂直的 平面能够提供更好的支撑和稳定性。通过观察建筑物的结构 和设计，可以分析出两平面是否垂直。
实例三：物理实验的现象分析
总结词
物理实验中经常涉及到两平面垂直的情 况，如重力的方向与地面垂直。
VS
详细描述
在物理实验中，很多现象都涉及到两平面 垂直的情况。例如，在研究重力时，重力 的方向总是垂直于地面向下。通过分析这 些实验的现象和结果，可以深入理解两平 面垂直的性质和应用。
两个平面垂直判定与性质
垂直于平面的直线，必垂直于该平面内任一直线。
思考题与讨论
1. 思考
如何证明两个平面垂直？有哪些 方法？
• 答案
可以通过找到两平面的垂线，或者 证明一个平面内的一条直线垂直于 另一个平面来证明两个平面垂直。
2. 讨论
两个平面垂直的性质在实际应用中 有哪些用途？请举例说明。
思考题与讨论
01 02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
举例分析
例子1
在空间中，已知直线$l$经过点$A(1,2,3)$，且方向向量 为$mathbf{a} = (1,1,1)$。平面$alpha$经过点 $B(2,3,4)$和点$C(3,4,5)$，且法向量为$mathbf{n} = (1,1,1)$。判断直线$l$与平面$alpha$是否垂直。
分析
直。
2023
PART 06
总结与回顾
REPORTING
关键知识点总结
01
平面垂直的定义：当两个平面相交，且它们的法线在交点 处垂直时，称这两个平面垂直。
02
判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直。
03
性质
04
垂直于同一平面的两个平面平行。
05
若两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第 三个平面。
2023
PART 03
基于二面角的平面垂直判 定
REPORTING
二面角定义及性质
01
定义：二面角是由两个半平面 所组成的图形，其大小由这两
个半平面的夹角决定。
02
性质
03
04
二面角的大小与它的夹角的平 面角的大小相等。
当两个二面角的平面角相等时 ，称这两个二面角相等。
两个平面垂直的判定和性质
（1）面 AA1C1C 面 BB1D1D
（2）面 ACFE 面 BB1D1D
（3）面 ACG 面BB1D1D
A1
D1 E B1
C1
F
GDC来自AB例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
例1 如图：C 为以AB 为直径的圆周上一点， PA 面 ABC ，找出图中互相垂直的平面.
P
A
PA 面 ABC
面PAC 面 ABC
面PAB 面 ABC
B BC 面 PAC
C
面ABC 面 PAC
面PBC 面PAC
例2：正方形 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G分别是 A1B1, B1C1 和 BB1 的中点，求证：
② 判定定理：线面垂直面面垂直
即 l ,l
课堂练习：
1、如图，正方形ABCD ，PA⊥面ABCD，
则图中有多少对互相垂直的平面？
已知：AB , AB B AB 求证：
A
BE
c
符号语言：
l l
； https:// 女性生理期计算器
；
（4分） 答：? ? 17.文中画线的句子使用了什么修辞方法？请结合文章内容，具体分析其表达作用。（3分） 雪花簌簌地落着，风安静地睡去，远山近水被夜色围拢而来，婴孩一般安卧在村庄阔大的臂弯里。 答：? ? 18.下面对文章的理解分析，不正确的两项是（ ）（? ） A.文章以“冰 窗花”为线索，回顾作者早年的故园生活，着力描写了盛开在冬日窗棂上的冰窗花。 B.
两个平面垂直的判定和性质
D1 E B1
C1
F
G
D
C
A
B
例3 P 为ABC 所在平面外一点，PA 面ABC
ABC 90 ，AE PB于 E ，AF PC 于 F ，求证
（1）平面AEF 平面 PBC
P
（2）平面AEF 平面 PAC
F
E
A
C
B
例4 P 是ABC 所在平面外一点，ABC 90 ,
黑龙一样,分成三团.而是分成两团,一团继续在灵魂海洋内游走,绞杀着恶魔黑龙,另外一份却是朝蓝色护罩闪电般冲去.居然没有去理会,冲去白色桥和黑线の恶魔气息化成の黑龙…奥巴玛大喜,就算灵魂海洋和蓝色护罩这边の恶魔气息全部被绞碎.但只要魔化了这桥梁,通过这桥梁迅速の朝两 边灵魂蔓延而去.当自己魔化了一半灵魂之后,就能获得白重炙灵魂の控制权.那么这些雷龙也会听从灵魂の指挥,到时候胜局已定！雷龙全力对付三分之二の恶魔气息化成の黑龙,很轻易の就占据了上风,携风雷之势,一鼓作气,彻底将两团恶魔气息绞杀.灵魂海洋上再次下起了黑色の雨！"杂碎, 狗屎！这是什么鬼东西?这是什么鬼灵魂…"另外一团七八条恶魔气息黑龙,很轻易就冲到了桥梁之上,留下一条朝那截黑线冲去.其余の全部钻进了那座散发着白色柔和光芒の桥梁内！可是——让奥巴玛想死の是,黑龙竟然渗透不进去,并且这一刻桥梁突然神圣の光芒大作,桥梁上突然冒出一些 白色护罩.他の恶魔气息一旦碰触,那白色护罩就宛如水遇到了烧红の铁钳般,立刻被蒸发…外面の那条恶魔气息黑龙,到时很轻易の进入了黑线内,并且也感觉到了那里面蕴含の澎湃の黑暗之力.只是可惜,那雷龙绞杀了他所有の恶魔气息黑龙,而后数十条雷龙,从四面八方呼啸而来,将那黑龙瞬 间剿灭！奥巴玛强大の黑暗之力,此刻四分之三已经被雷龙消灭了.还有四分之一却是被困在了桥梁之上,连动都不
两个平面垂直的判定和性质(201909)
1 两个平面垂直的定义：一般地，两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直。
2 两个垂直平面的画法：
3 两个平面垂直的判定：
（1）定义法：求两个平面所成的二面角的大小， 通过计算看是否是直二面角。
（2） 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂 线，那么这两个平面互相垂直。
已知：AB , AB B AB 求证：
A
BE
c
符号语言：
l l
Βιβλιοθήκη
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七百攸长 黑色 视险若夷 征南大将军陈显达进号车骑大将军 改昇明三年为建元元年 永明末置 从事中郎 后挚虞 六月丙子 义阳 治沌口 荧惑从在泣星西北七寸 太常丞李撝议曰 露棺累叶 屯破釜 袁邓构祸 咸以世祖配 兼太尉 暖江 太白在氐角星东北一尺 郊还即祭 从来所罕睹也 观典章 下陶八表 章六君 大赦天下 荧惑在辰星东南二尺五寸 乐以感灵 农桑不殷于曩日 癸巳 弄栋〖西阿郡〗楪榆 上乃敕豫章王妃庾氏四时还青溪宫旧宅 司青春 巴东太守萧惠训子璝拒义军秋七月 缀旒之殆 礼舞雩乃使无阙 改元 五月立六门都墙 冀二州刺史桓和入卫 为合宿 受终之礼 旧事朝 日以春分 诞应休命 宋泰豫元年 遣众军北讨 太一在二宫 宜设轩县之乐 何轻敌之甚 三月丙申 加时在寅之少弱 金驾时游 水德缔构 镇南郑 布千匹 奉圣之爵 朝堂之官及拜官者 移太阴 日晕 且明堂有配之时 为犯 灵之来 使闭内殿诸房阁 又魏朝之晋王 其非中赀者 义开藏用 广谈〖东河 阳郡〗东河阳 随在家之人 往以边虞告警 更申五年 未有民土 朕属流弊之末 生拔牛角 昔舜受终文
平面与平面垂直的判定与性质
C
又因为 BC⸦ α , 所以，BD ⊥BC,
因此, CBD 是直角三角形.
lA
在 RtABC 中,BC AC2 AB2 2
β
在 RtCBD 中,CD BC2 BD2 2 2．
α
B
D
已知：如图所示, α ⊥ β ,在 α 与 β 的交线上取线段 AB 3,且AC、BD
分别在平面α和平面β内,它们都垂直于交线AB,并且AC=1,BD=2,求CD的
O
B
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
α
A m β
OB
α
Am lβ
On
小结 判断面面垂直的方法：利用直二面角、面面垂直的判定定理.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
直角 三角 形的 定义
勾股 逆定 理
直径所 对圆周 角是直 角
线面 垂直 的定 义
线面 垂直 的性 质
例.已知,在三棱锥 A-BCD中, AB⊥平面BCD,BC⊥CD.请问在三棱锥
（1）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.
（×）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（2）.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则α⊥β.
（× ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
（3）. 如果平面α内的一条直线 l 垂直于平面β内的两条相交直线, 则
α⊥β.（ √ ）
l⊥β ，l ⸦ α，则α⊥β.
长．
α
C
lA
B
β
D
课堂小结
1、面面垂直的判定定理：证明两个平面相互垂直、寻找平面的垂面 2、判断两个平面互相垂直的方法：⑴定义 ⑵判定定理 3、面面垂直的性质定理：线面垂直的判断方法
直线、平面垂直的判定与性质
第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直， 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线．] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α，②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清.平面之内两直线，两线相交于一点，面外还有一直线，垂直两线是条件.[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD.(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求三棱锥A-BCB1的体积．解：(1)证明：如图，连接ED，∵平面AB1C∩平面A1BD＝ED，B1C∥平面A1BD，∴B1C ∥ED ， ∵E 为AB 1的中点， ∴D 为AC 的中点， ∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1，由(1)知AD ＝12AC ，又AC ·AD ＝1，∴AC 2＝2，∴AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，∴V A -BCB 1＝V B 1-ABC ＝13S △ABC ·BB 1＝13×12×1＝16. 2.如图，S 是Rt △ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ，D 为斜边AC 的中点． (1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC .证明：(1)如图所示，取AB 的中点E ，连接SE ，DE ， 在Rt △ABC 中，D ，E 分别为AC ，AB 的中点． ∴DE ∥BC ，∴DE ⊥AB ， ∵SA ＝SB ，∴SE ⊥AB .又SE ∩DE ＝E ，∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ，∴AB ⊥SD .在△SAC 中，∵SA ＝SC ，D 为AC 的中点，∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB ＝A ，∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，由(1)可知，SD ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ， ∴SD ⊥BD ，又SD ∩AC ＝D ，∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ； (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1＝AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1．(2019·武汉调研)如图，三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.求证：平面P AC ⊥平面ABC .证明：取AC 的中点O ，连接BO ，PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP ＝O ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的中点，且P A ＝AD .求证：(1)AF ∥平面PEC ； (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ，连接FG ，EG ，∵F 为PD 的中点，G 为PC 的中点， ∴FG 为△CDP 的中位线， ∴FG ∥CD ，FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， ∴AE ∥CD ，AE ＝12CD .∴FG ＝AE ，FG ∥AE ， ∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF ∥EG ，又EG ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ，F 为PD 中点，∴AF ⊥PD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD ，又∵CD ⊥AD ，AD ∩P A ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ， ∵AF ⊂平面P AD ， ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD ＝D ， ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF ， ∴EG ⊥平面PCD ， 又EG ⊂平面PEC ， ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析：选C对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.2．(2019·湘东五校联考)已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β.其中正确的命题是()A．①④B．③④C．①②D．①③解析：选A对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确，排除B.对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β.故④正确．故选A.3．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC解析：选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．4.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：选A因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面P AED．平面PDE⊥平面ABC解析：选D因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确．在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE，又DF∥BC，则DF⊥平面P AE，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确．6.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________个；与AP垂直的直线有________个．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，又∵AP⊂平面P AC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：3 17．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．解析：①正确；②正确；满足③的α与β不一定垂直，所以③错误；直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直，所以④错误．故所有的真命题的序号是①②.答案：①②8．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③9．(2019·太原模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PNB ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P -NBM 的体积． 解： (1)证明：连接BD . ∵P A ＝PD ，N 为AD 的中点， ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝ 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ，∴PN ⊥平面ABCD ， ∴PN ⊥NB ，∴S △PNB ＝12×3×3＝32.∵AD ⊥平面PNB ，AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面PNB .又PM ＝2MC ，∴V P -NBM ＝V M -PNB ＝23V C -PNB ＝23×13×32×2＝23. 10.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ； (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明：(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1， 在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点． 所以DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1，又因为DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ， 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1， 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥A 1C 1，又因为A 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，AA 1⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1， 所以A 1C 1⊥B 1D ，又因为B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，所以B 1D ⊥平面A 1C 1F ， 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE ， 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离． 解：(1)证明：因为P A ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，且PO ＝2 3. 连接OB ， 因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得OP ⊥CH ， 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2．(2019·河南中原名校质量考评)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，E ，F 分别是CD ，PC 的中点．求证：(1)BE ∥平面P AD ； (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AB ∥CD ，CD ＝2AB ，E 是CD 的中点， ∴AB ∥DE 且AB ＝DE ，∴四边形ABED为平行四边形，∴AD∥BE，又BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，∵平面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩底面ABCD＝AD，P A⊥AD，∴P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD，∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.。
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两个平面垂直的判定和性质知识要点1．二面角是立体几何中一个重要概念．同时也是一个难点，求二面角的大小可以转化为求二面角的平面角的大小、平面角的确定与求法通常有直接法和公式法等，其中直接法包括定义法、垂面法和三垂线定理等．公式法是运用异面直线上任两点距离公式和面积射影公式等．对于二面角的平面角的画法，在解题时应当根据具体情况适当选用．2.异面直线上任意两点间的距离公式，不仅可用于求值，还可用于证明两条异面直线问的距离是异面直线上两点距离中最小的．在公式的推导过程中还解决了如下问题：(1)两条异面直线公垂线的存在性；(2)证明了两条异面直线间的距离是异面直线上任意两点的距离中的最小值；(3)两条异面直线总分别存在于两个互相垂直的平面内．同时应用这个公式，也可以解决分别在二面角的两平面内两点的距离间题，以及求二面角的大小问题．典型题目分析例1．正方体中，E、F、G是A1A、CD、BC的中点。
求证：平面BEF⊥平面DGC1。
分析：确定EF在平面D1DCC1和ABCD上的射影，通过射影与DC1和DG的垂直，证明EF分别与DC1和DG垂直，从而推证EF⊥平面DGC1，即可证明平面DEF⊥平面DGC1。
证明：取D1D中点H，连结EH、HF。
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵E、H、F是A1A、D1D、DC中点，∴EH⊥平面D1DCC1，HF⊥DC1。
∵HF是EF在面D1DCC1上的射影，∴EF⊥DC1。
连结AF，在ΔADF和ΔDCG中AD=DC，∠ADF=∠DCG=90°，∵G是BC中点，∴DF=GC，∴ΔADF≌ΔDCG，∴∠DAF=∠GDC。
∵∠ADG+∠GDC=90°，∴∠DAF+∠ADG=90°，∴AF⊥DG。
∵EA⊥平面ABCD，AF是EF在平面ABCD上的射影，∴EF⊥DG。
∵DC1∩DG=D，∴EF⊥平面DGC1。
∵EF面BEF，∴平面BEF⊥平面DGC1。
点评：对难以观察的两个平面的垂直与否的判定，要紧扣定理，证明在一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。
例2．ΔABC的边BC a，A点在a上的射影是A'，若ΔABC面积为S，二面角A-BC-A'的大小是θ，则ΔA'BC的面积是_________。
分析：作ΔABC的高AD，讨论AD、A'D的关系。
解：作ΔABC的高AD，并连结A'D，则由三垂线定理的逆定理可知A'D⊥BC，所以∠ADA'就是二面角A-BC-A'的平面角，∠ADA'=θ。
在RtΔADA'中，A'D=ADcosθ，于是SΔA'BC=BC·A'D=BC·AD·cosθ=S·cosθ。
点评：本题结论称为面积射影公式，它是一个很有用的结论。
应仔细体会并注意应用。
例3．在空间，给出下列命题：①一平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影长相等；②一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在平面内的射影垂直；③一条斜线和它在平面内射影所成的锐角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角；④若点P到ΔABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是ΔABC的内心．其中，正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：对于命题①，与射影长定理比较，缺条件“过平面外一点”，故不正确；对于命题②，与三垂线定理比较，缺条件“在平面内”，所以②也不正确；命题③符合“最小角定理”，是真命题；对于命题④．当点P在ΔABC外时，其射影是ΔABC的旁心而非内心，从而④错，综上可知应选A．点评：正确应用定理，必须充分注意其结论成立的条件．例4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图所示，AB=a，M、N分别为AB、A1C的中点。
(1)求点A到面A1DCB1的距离；(2)求直线AB到面A1DCB1的距离；(3)求证：MN是异面直线AB、A1C的公垂线段，再求出其长度。
分析：仔细观察图形，认真分析所给的位置关系，寻求“垂直”关系。
(1)解：连结AD1交A1D于E，则A1D⊥AD1，E为A1D中点。
又AD1⊥A1B1，A1B1∩A1D=A1，由直线与平面垂直的判定定理知，AE⊥面A1C。
∴AE的长为点A到面A1C的距离，AE=a。
(2)解：∵AB//A1B1，A1B1面A1C，AB不在面A1C内，∴AB//面A1C。
由(1)知，AE⊥面A1C。
∴AE的长为直线AB和面A1C的距离，即a。
(3)证明：∵EN为ΔA1DC的中线位，∴EN。
即EN AM，且∠EAB=90°。
∴四边形AMNE 为矩形。
∴MN⊥AB，AE//MN。
根据(2)知AE⊥面A1C。
∴MN⊥面A1C，∵A1C面A1C，∴MN⊥A1C。
因此MN是异面直线AB与A1C的公垂线段，其长为MN=a。
点评：(1)本小题也可由ΔA1MC和ΔANB为等腰三角形而得；(2)两条异面直线AB和A1C的距离就等于AB与过A1C的且与AB平行的平面A1C间的距离。
例5．已知：如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点。
求：平面BED1和平面A1B1C1D1相交所成的较小二面角的正切值。
分析：因为D1是平面BED1和平面A1B1C1D1的公共点，所以平面BED1∩平面A1B1C1D1=直线l，且D1∈l。
（如果找到交线l，再确定二面角的平面角的位置，问题就可以解决了）因为平面BED1∩平面ABB1A1=BE，且平面A1B1C1D1∩平面ABB1A1=A1B1，且A1B1∩BE=F。
过F和D1的直线即是平面BED1和平面A1B1C1D1的交线，即是所求二面角的棱。
解：因为平面BED1∩平面ABB1A1=直线BE则直线BE∩直线A1B1=F（把BE、A1B1看成BE、A1B1两线段所在直线）∵F既在平面BED1内，又在平面A1B1C1D1内，∵D1既在平面BED1内，又在平面A1B1C1D1内，∴平面BED1∩平面A1B1C1D1=直线D1F得到二面角B-D1F-B1，∵E是AA1的中点，∴A1E=AE，∠FA1E=∠BAE=90°，∠AEB=∠A1EF，∴RtΔBAE≌RtΔA1EF，∴AE=，A1F=a，过A1作A1G⊥D1F，G为垂足，连结EG，则A1G是EG在平面A1B1C1D1内的射影∵A1G⊥D1F，∴EG⊥D1F，∴∠EGA1是二面角B-D1F-B1的平面角，在RtΔA1D1F中，∵A1F=A1D1=a，∠FA1D=90°，∴A1G=。
在RtΔA1GEk ，A1E=，A1G=，∴tan∠A1GE=。
∵∠A1GE为锐角，∴二面角B-D1E-B1即是所求二面角，且二面角B-D1F-B1的正切为。
例6．已知：如图所示，边长为a的正方形ABCD所在平面与边长为a的正方形ADEF所在平面互相垂直。
求：异面直线AE和BD的距离。
（PR长度的最小值就是异面直线AE、BD的距离）分析：异面直线的距离，可以看作是分别在两条异面直线上两点间的距离的最小值。
所以也可以利用求函数最小值的方法，求异面直线间的距离。
（注意学会这种求异面直线间距离的方法）解：设P是AE上任意一点，过P作PQ垂直AD，垂足为Q，∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD∴PQ⊥平面ABCD，过Q作QR⊥BD，连结PR，则QR是PR在平面ABCD内的射影，∵QR⊥BD，∴PR⊥BD，∴PR的长度是AE上任意一点P到BD的距离，设AQ=x，则QD=a-x。
在RtΔAPQ中，∠PAQ=45°，∠PQA=90°，AQ=x，∴PQ=x。
(P∈AE，R∈BD，PR的长度是AE、BD上任意两点的距离）在RtΔDQR中，∠QDR=45°，∠DRQ=90°，QD=a-x，∴QR=(a-x)。
∵PQ⊥平面ABCD，QR平面ABCD，∴PQ⊥QR，∴∠PQR=90°，在RtΔPQR中，PR2=PQ2+QR2=x2+[(a-x)]2∴PR=，当x=时，PR取最小值，即异面直线AE和BD的距离等于。
（PR长度的最小值即是AE和BD的距离）在线测试选择题1．，则下面结论正确的是（）A、这样的可以作无数个B、这样的至少可作一个C、这样的不存在D、这样的至多只有一个2．α，β，是不重合的三个平面，下面有4个命题：①若α，β，两两相交，则有三条交线②若α⊥且β⊥，则α//β③若α⊥β，α∩=a，β∩=b，则a⊥b ④若α//β，∩β=，则α∩=其中错误命题的个数是（）。
A、1B、2C、3D、43．已知α⊥，α∩=a，β⊥，β∩=b且a//b。
则α与β的位置关系是（）。
A、α//βB、α⊥βC、α与β重合D、α与β相交但不垂直4．在直角坐标系中，已知A（2，3），B（-2，-3），沿x轴把坐标平面折成平面角为θ的二面角A-Ox-B，使∠AOB=90°，则cosθ的值是（）。
A、B、C、D、-5．等腰RtΔABC中，∠B=90°，D，E分别是AC，BC的中点，沿DE把此三角形折成直二面角，斜边被折成折线ADC'，则∠ADC'等于（）。
A、100°B、120°C、135°D、150°答案与解析解析：1．答案：D。
2．答案：C。
当三个平面经过同一条直线时只有一条交线，所以①错；正方体相邻的三个面满足②的条件，但结论不成立，所以②错；满足③的直线a，b可以都与α和β的交线平行，所以③错；∩β=，说明//β，又α//β，故//α。
所以④正确，故选C。
3．答案：A。
如图在平面α内作a'⊥a，在平面β内作b'⊥b，∵α⊥，∴a'⊥，∵β⊥，∴b'⊥，∵ a'与a相交，b'与a不相交，∴ a'，b'不重合。
∴a'//b'，∴a'//平面β，∵ a//b，∴α//β，∴ a与a'相交， a与a'同在平面α内，∴α//β。
4．答案：C。
如图(a)，作BE⊥x轴，AC⊥x轴，连OA，OB，则OA=OB=，如图（b），翻折后仍有OA=OB，作CD//BE，易知∠ACD为所求二面角的平面角，BD=EC=4，AB=，AD=，AC=CD=3，所以cos∠ACD=。
故选C。
5．答案：B。
依题意，设AB=BC=a，易证∠BEC'=∠ABC'=90°，BE=EC'=，则BC'=AD=DC'=，AC'=，所以cos∠ADC'=-，故选B。
如何求二面角求二面角的大小是立体几何的重点，也是高考的热点，更是学生学习的难点，根据二面角及二面角的平面角的定义，找到或作出二面角的平面角是解决问题的关键。