练习二(一维随机变量及其分布)--1_参考答案

二、填空 (每题 2.0 分，共 20.0 分)
1.设F1(x),F2(x)为分布函数,则当a1 >0 ,a2 >0 均为常数,且a1+a2 =(
)时,
a1F1 (x)+a2F2 (x)也为分布函数。
【参考答案】 空（1）: 1
2.设ξ ∼ N (0.5,025) ,且有F0,1 (2)=0.97725,F0,1 (4)=1,F0,1 (1)=0.8413,则P{ξ <0 或ξ >1}=(
【参考答案】
A
⎧
⎪
⎪ ⎪ ⎪
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5.函数F
(x)
=
⎪ ⎪ ⎨ ⎪
⎪
⎪
1 2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
1
⎪
⎩
x <−2 −2 ≤ x <0 是( )。
x ≥0
A.某一离散型随机变量的分布函数 B.某一连续型随机变量的分布函数 C.既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数 D.不可能为某一随机变量的分布函数 【参考答案】 A
−
5 2e
+
1 2
e
⎧ ⎪⎪
A
,
x >0
⎪
4.若函数F
(x)
=
⎪ ⎪⎨ ⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎩
1
1 +x2
,x
≤
0
,是某随机变量的分布函数,则A =(
)。
【参考答案】 空（1）: 1
5.设ξ ∼ N (0,1),且有F0,1 (1.645)=0.95,则P{0 <ξ <1.645} =(
)。
【参考答案】
班级
教研室 主任 教务处 验收人
8.设随机变量ξ 服从参数λ =
1 3
的指数分布,计算:(1)P{ξ
≥ 3} ,(2)P {ξ
> 6 ξ
>3
} ;(3)
P{ξ > t+3ξ > t } 。
（5.0 分）
姓名
学号
密
【参考答案】
封
ξ 的概率密度φ (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪
1
−
e
1 3
x
3
⎪
⎪ ⎪ ⎪
0
⎩
x ≥0 x <0
∫ (1)P{ξ ≥3}=
+∞
1
−
e
1 3
x
dx
= e −1
33
(2)P{ξ
>6|ξ
>3} =
P{ξ >6,ξ >3} P{ξ >3}
=
p{ξ >6} P{ξ >3}
=
1 e
(3)P{ξ
>t+3|ξ
> t}=
P{ξ
> t+3,ξ P{ξ > t}
> t}
=
p{ξ > t+3} P{ξ >3}
=
1 e
B.b = 1−λ 且0 < λ <1
封
C.b
=
1 λ
−1且λ
<1
D.λ =
1 1+b
且b
>0
【参考答案】
D
−
x
9.设随机变量ξ 的概率密度为φ (x) = Ae 2 ,则A =( )。
A.2
B.1
1 C. 2
线
1 D. 4
【参考答案】
D
10.若定义分布函数F (x) = P{ξ ≤ x} ,则函数F (x) 是某一随机变量ξ 的分布函数的充要条件是(
16
15
P
⎛⎜ ⎜ ⎝
1 2
<ξ <
5 2
⎞⎟ ⎟ ⎠
=
p
(ξ
=
1)
+p
(ξ
=
2)
=
16 15
⎡ ⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
1 2
+
1 4
⎤
⎥
⎥⎥ ⎥ ⎥
=
0.8
⎥⎦
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 e −x,x > 0
4.已知随机变量ξ 的分布密度为:φ (x) =
⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
2 1 ex,x <0
)。 A.0 ≤ F (x) ≤1
B.0 ≤ F (x) ≤1,且F (− ∞ ) = 0,F (+ ∞ ) = 1
C.F (x) 单调不减,且F (− ∞ ) = 0,F (+ ∞ ) = 1
D.F (x) 单调不减,函数F (x) 右连续,且F (− ∞ ) = 0,F (+ ∞ ) = 1 【参考答案】 D
63848 求1.96σ 的分布律。 （5.0 分）
【参考答案】 η -3 -2 0 1 2 P1 1 1 1 1
84836 2.设随机变量ξ 具有分布函数F (x) 与概率密度φ (x) ,求随机变量η = cosξ 的分布函数与概率 密度。 （5.0 分）
学号
班级
教研室 主任 教务处 验收人
考试 时间 总主考
2 D. 3 【参考答案】 C
4.设ξ 的分布函数为F1(x) ,η 的分布函数为F2(x) ,而F (x) = aF1(x)−bF2(x) 是某随机变量ζ 的
分布函数,则a, b 可取( )。
A.a
=
3 5
,
b
=
−
2 5
B.a
=
b
=
2 3
C.a = −
1 2
,
b=
3 2
D.a =
1 2
,
b
=
−
3 2
3.设随机变量ξ
的分布律是P{ξ
=
k}
=
A
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
1 2
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
k
,k
=
1,2,3,4
,求P
⎧ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎩
1 2
<ξ
<
5 2
⎫ ⎮ ⎮ ⎬⎮ ⎮ ⎭
。
（5.0 分）
线
【参考答案】
4
∑P
(ξ
=
k)
=A
⎛⎜⎜
1
+
1
+
1
+
1
⎞⎟⎟ = 15 A
k =1
⎝ 2 4 8 16 ⎠ 16
令 15 A = 1得A = 16
)。 【参考答案】 空（1）: 0.0455
3.设随机变量ξ
的分布函数为F (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1−
k2 x2 + 2kx + 2 2
e −kx,x
≥0
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0,
x <0
,则p
⎧ ⎪⎪⎨⎪− ⎪ ⎩
1 k
≤ξ
≤
1 k
⎫ ⎮ ⎮ ⎬ ⎮ ⎮ ⎭
=
( )。 【参考答案】
空（1）:
=
φ (x)dx
k = − ∞ 2kπ +arccosy
封 记η 的概率密度为ψ (y) ,则当y < −1 ,ψ (y) = 0
当y ≥1,ψ (y) = 0
当−10 ≤ y <1 时
ψ (y) = G'(y) = 1
+∞
∑ {φ[2Kπ+2π−arccosy]+φ[2kπ+arccosy]}
1−y2 k=−∞
A.
1
a
φξ
⎛⎜ ⎜ ⎝
y−b a
⎞⎟ ⎟ ⎠
封
B.
1 a
φξ
⎛⎜ ⎜ ⎝
y−b a
⎞⎟ ⎟ ⎠
−1 ⎛ y−b ⎞
C.
பைடு நூலகம்
a
φξ
⎜⎜ ⎝
a
⎟⎟ ⎠
1 ⎛ y−b ⎞
D.
a
φξ
⎜ ⎜ ⎝
a
⎟ ⎟ ⎠
【参考答案】 A
2.设φ (x) 是某随机变量ξ 的密度函数,则有( )。
线 A.0 ≤ φ (x) ≤1
姓名
学号
学生考试试卷 卷 1 闭卷
2019-2020 学年 第二学期
班级：18 级相关班级 学院：数理学院 专业：18 级相关专业 课程：概率论与数理统计 考 试时长：120 分钟
题号
一
二
三
四
总 分 复核人
分数
密
评卷人
一、选择题 (每题 2.0 分，共 20.0 分)
1.设随机变量ξ 具有连续的分布密度φξ (x) ,则η = aξ +b (σ 是常数)的分布密度为( )。
线
【参考答案】
ξ 的概率密度为φ (x) =
1
− (x −1) 2
e8
2 2π
【参考答案】
ξ 的概率密度φ (x) =
⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩
λe −λx 0
x >0 x ≤0
y = 1 x3+2的反函数x = h (y) = 3 3(y−2) 3
⎧⎪
1
⎪
h '(y) =
−2
(3y−6) 3
,φ
⎡⎢⎣h
(y)
⎤ ⎥⎦
=
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎪
λe −λ (3y −6)
3
y >2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎩
0
y ≤2
于是η 的概率密度为
ψ (y) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
−2
(3y−6) 3
λe −λ (3y −6)
1 3
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
0
⎩
y >2 y ≤2
第 5 页 （共 7 页）
考试 时间 总主考
)。
封 【参考答案】
空（1）:
1− (1−p)n
⎧ ⎪ ⎪
0
⎪
9.设连续型随机变量ξ
的分布函数为F
(x)
=
⎪ ⎪⎨⎪1
x
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎩
1
=( )。 【参考答案】 空（1）:
⎧⎪ ⎪ ⎪
1
0 <x ≤1
⎨
线
⎪
⎪ ⎪ ⎩
0
其它
x <0 0 ≤ x <1 ,则ξ 的概率密度函数φ (x) x ≥1
三、计算 (共 10 题，共 50.0 分) 1.设η = −ξ −1 的分布律为 η -3 -2 -1 1 2 P1 1 1 1 1
B.φ (x) 单调不减
C. lim φ (x) = 1
x→+∞
∫ +∞
D.
φn (x)dx = 1
−∞
【参考答案】 D
3.设连续型随机变量ξ 的分布函数F (x) =
1 π
arctgx +
1 2
(− ∞ < x < + ∞ ) ,则
P{ξ = − 3 } = ( )。
1 A. 6
5 B. 6 C.0
10.要使
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪
A−
1+
1
X
( 100
2
)
⎪
⎪
⎪⎪ ⎩
0
【参考答案】 空（1）: 1
X >0
是某随机变量的分布函数,则需A =(
X ≤0
)。
第 3 页 （共 7 页）
考试 时间 总主考
教研室 主任 教务处 验收人
班级
学号
姓名
【参考答案】 设η 的分布函数为p (η ≤ y) = G (y)
考试 时间 总主考
第 2 页 （共 7 页）
姓名
空（1）: 0.45
⎧ ⎪ ⎪
0,
x >2
⎪
6.设随机变量的分布函数为:F (x) =
⎪ ⎪ ⎨ ⎪
(x−2)2,2 ≤ x
≤3
,则P{2.6 ≤ξ ≤4} = (
)。
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1,
x >3
【参考答案】 空（1）: 0.64
密
⎧ ⎪ ⎪
0
x <0
【参考答案】
A 7.设随机变量ξ 服从 0-布,又知ξ 取 1 的概率为它取 0 的概率的一半,则p{ξ = 1} 是( )。
1 密 A. 3
B.0 1
C. 2 D.1 【参考答案】
A
8.离散型随机变量ξ 的分布律为P (ξ = k) = bλk ,(k = 1,2,⋯),的充分必要条件是( )。
A.b >0且0 < λ <1
(2)F 3 (x )
(3)由P{ξ ≥ a} = 1−FA = P{ξ < a} = FA
知2(1−e −2a) = 1解得a = ln2 2
⎧ ⎪ ⎪
2
⎪
10.设随机变量ξ 的概率密度φ (x) =
6.设ξ 是一个连续型变量,其概率密度为φ (x) ,分布函数为F (x) ,则对于任意x 值有( )。
A.P (ξ = 0) = 0
班级
教研室 主任 教务处 验收人
考试 时间 总主考
第 1 页 （共 7 页）
姓名
学号
B.F'(x) = φ (x)
C.P (ξ = x) = φ (x)
D.P (ξ = x) = F (x)
⎪
7.已知随机变量m
的分布函数为F
(x)
=
⎪ ⎪ ⎨ ⎪
x2
0 ≤ x <1 ,则P{0.2 <ξ <0.4} = (
)。
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎩
1
x ≥1
【参考答案】 空（1）: 0.12
8.事件 A 在一次试验中发生的概率为 p,ξ 表示在 n 次重复独立试验中事件 A 发生的次数,则
P{ξ ≥1} = (
,求ξ 的分布函数及P{ξ = −2}。
⎪ ⎪ ⎩
2
（5.0 分）
【参考答案】
∫ 当x <0 F (x) =
x 1 exdx = 1 ex
−∞ 2
2
∫ ∫ 当x ≥0 F (x)=
0 1 exdx+ −∞ 2
x 0
1 2
e −xdx=
1 2
e
x
0 −∞
⎡ ⎢ + ⎢⎢⎢− ⎢ ⎢⎣
1 2
⎤
e
−x
⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎥
姓名
学号
班级
教研室 主任 教务处 验收人
【参考答案】
ξ 表示事件 A 发生的次数
封
P
{ξ
=
3}+
P
{ξ
=
4}+
P{ξ
=
5}
=
C53
(0
.3
)3
(0
.7
)2
+
C54
(0
.3
)4
(0
.7
)1
+
C
2 5
(0
.3
)5
(0
.7
)0
≈
0
.163
6.设随机变量ξ 服从正态分布N (1,22) ,求η = 3 (ξ −1)/2 的概率密度。 （5.0 分）
密
函数y = 3 (x−1)/2 的反函数x = h (y) = 2y3+1
h
'
(y)
=
6y2
,φ
⎡⎢⎣h
(y)
⎤ ⎥ ⎦
=
2
1
− y6
e2
2π
于是η 的概率密度为ψ (y) =
3
− y6
y2e 2
2π
7.设随机变量ξ
服从参数为λ 的指数分布(λ
>0
),求随机变量η
=
1 3
ξ3+2的概率密度。
（5.0 分）
因|η | = |cosξ | ≤1故当y ≤ −1 ,G (y) = 0 ;当y >1,G (y) = 1 密 对于−1 < y ≤1,G (y) = p{cosξ ≤ y}
+∞
= ∑ p{2kπ+arccosy ≤ξ ≤2(k+1)π−arccosy} k=−∞
∑ ∫ +∞ 2kπ +2π −arccosy
⎥
⎦
x 0
= 1 − 1 e −x+ 1 =1− 1 e −x
22
2
2
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ex
∴
F (x)
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪
2 1−
1
e −x
⎪ ⎪ ⎩
2
x <0 x ≥0
第 4 页 （共 7 页）
P{ξ = −2} = 0 5.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当 A 发生不少于 3 次时,指示灯发出信号,现进 行了五次独立试验,求指示灯发出信号的概率。 （5.0 分）
线
9.设随机变量ξ
的分布函数为F
(x) =
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0 1−e −2x
x <0 x≥0 ,
(1)计算P{ξ ≥2};(2)计算P{−3 ≤ξ <4};(3)求a ,使得P{ξ ≥ a} = P{ξ < a} 。
（5.0 分）
【参考答案】 (1)P{ξ ≥2} = 1−P{ξ <2} = 1−F (2) = e−4