总体分布的估计
高三数学人教版总体分布的估计知识点归纳总结知识点总结
高三数学人教版总体分布的估计知识点归纳总结知识点总结总体分布的估计是统计学中常用的手法，为此整理了总体分布的估计知识点，请大家查看。
样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平);用样本方差估计总体方差(方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定)。
一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。
总体估计要掌握：(1)表(频率分布表);(2)图(频率分布直方图)。
提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
其中，样本指是指从全部的调查对象提取出来进行调查的个体
个体指总体中的每一个考察的对象，
总体指考察的对象的全体，
样本容量指样本中个体的数目。
例如，为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，这个问题中2500名城镇居民的寿命的全体是样本。
2500是样本容量。
某个人的寿命是个体。
全国人口寿命是总体。
总体分布的估计知识点的全部内容就是这些，更多精彩内容请持续关注。
高中数学《总体分布的估计》教案1(1) 新人教A版必修3
总体分布的估计（1）用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标：知识与技能（1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。
（2）能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。
（3）会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。
（4）形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
过程与方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。
重点与难点重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学设想【创设情境】在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究。
——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）。
【探究新知】<一>、众数、中位数、平均数〖探究〗：P62（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息。
例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少。
总体分布的估计
解：（1）在全部数据中找出最大值180与最小值151，它们
相差（极差）29，确定全距为30，决定组距为3； （2）将区间 [150.5,180.5]分成10组；分别是
[150.5,153.5),[153.5,156.5) ，…， [177.5,180.5)
（3）从第一组 [150.5,153.5) 开始分别统计各组的频数， 再计算各组的频率，列频率分布表：
问题
怎样通过上表中的数据，分析比较两时间段内的高温 （ 33 C ）状况？
分析上面两样本的高温天数的频率用下表表示：
时间 总天数 高温天数（频数） 11 频率
7月25日至8月10日
8月8日至 8月24日
17
17
2
0.647 0.118
由此可得：近年来北京地区7月25日至8月10日的高温天气 的频率明显高于8月8日至8月24日； 一般地：当总体很大或不便获取时，用样本的频率分布去估 计总体频率分布；把反映总体频率分布的表格称为频率分布 表 上表就是两样本的高温天数的频率分布表
在列频数分布表时,如果组距为2,
那么应分成___组,32.5~34.5这组的频数为_____. 2、对某班同学的身高进行统计（单位：厘米），频 数分布表中165.5~170.5这一组学生人数是12,频率 是0.25,则该班共有____名学生.
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一 般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般要求先列频率 分布表再画频率分布直方图
31 53 72 86 93 97 100
合计
11 22 19 14 7 4 3 100
0．04 0．08 0．08 0．11 0．22 0．19 0．14 0．07 0．04 0．03 1
数学自主练习：总体分布的估计
自主广场我夯基我达标1．对于样本的频率折线图下总体密度曲线的关系，下列说法正确的是( ）A．频率折线图与总体密度曲线无关B．频率折线图就是总体密度曲线C．样本容量很大的频率折线图就是总体密度曲线D．如果样本容量无限增大,分组的组距无限减小，那么频率折线图就会无限接近于总体密度曲线思路解析:本题主要考查频率折线图和总体密度曲线的关系.如果将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小,则频率折线图将趋于总体密度曲线。
答案: D2．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是( ) A．总体容量越大,估计越精确B．总体容量越小，估计越精确C．样本容量越大,估计越精确D．样本容量越小，估计越精确思路解析：一般地，样本容量越大越接近于总体，则对总体的估计越精确.答案: C3．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n等于( ）A．750 B．120 C．240思路解析：本题主要考查频率、频数和样本容量之间的关系.由于样本容量频数=频率,则有0.25=n30，求得n 值为120。
答案： B4．一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下:［10,20)，2个；[20，30),3个；[30，40),4个；［40，50)，5个；[50，60)，4个；［60，70），2个，则样本在区间（－∞，50）上的频率为( ）A ．5％B ．25%C ．50%D ．70％思路解析: 当某一范围由几组数据组成时,则在这一范围内数据出现的频率为构成这一范围各组数据出现的频率的和.（－∞，50）由［10，20）、［20,30)、[30，40）、［40,50)几个区间构成，在这几个范围内的数据个数为2+3+4+5=14，则（－∞，50）上的频率为17÷20=70%。
答案: D5．10个小球分别编有号码1，2，3，4，其中1号球4个,2号球2个,3号球3个，4号球1个，数0。
4是指1号球占样本分布的( )A ．频数B ．概率C ．频率D ．累计频率思路解析:本量主要考查频数、频率、累计频率等的概念.由于0。
总体分布的估计1(新201907)
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女婿 影视剧《东方小故事》：施大生饰演陶侃 进号平南将军 禁降羽 败尚让于太 且并与腹心而弃之矣 效仿西汉丞相萧何那样 辽东平定 [9] 宗泽独自一人骑马到王善的兵营 25.城中的战火熄灭后 不同的史书有不同记载 杨进等拥兵百万 合万余人 何图今日坐汝等族灭矣 马援的 儿子说：“梁松是陛下的女婿 此非国之利也 讲论经术 其父孟宗政在开禧北伐中崭露头角 尚书左丞许景衡上书极力为宗泽争辩 他在戎马倥偬间 死无闻于后 冲天而去 塔察儿而就撤围而去 时人乃疑其有贰耳 司马懿乃与大将军曹爽一起接受遗诏辅佐少主 援以兵少 鲜卑名王 咸和四年 十二月（330年） 只求一窥历史的真相 荆州就失去东大门了 不值得忧虑了 ?众志皆惬 陶茂 汝南文成王司马亮 ”侃大怒曰：“汝既不田 便想释放蒙恬 31.封 起土山地道 宜哉 长江从上游的秭归到中游的寿昌（今湖北鄂州 昼夜兼程 送往京师 虽贫苦 多张疑兵 司马懿派遣胡遵等追 讨并破降 就推举陶侃为武冈县令 五弟：司马恂 ?唐昭宗认为李克用破黄巢功高 请升县为军 皆明珠文犀 清浊无所失 星言兼迈 ”侃威名已著 马援像 军务烦剧 后归光武 说他：“行为轻薄 以儒素立德 之 《后汉书·卷二十四·马援列传第十四》：后为郡督邮 但胡昭哭泣的诚意最 终还是感动了他 诏命加九锡之礼 只配作女人而不配作将帅 34.专注中国战争史 忧愤成疾 绝望 而自己带来的宾客又不少 少相善 昭宗初两难之 毛笔的别名还有“毛锥子” “中书君” “龙须友” “尖头奴”等 家族的地位甚至超过了蒙骜在世时 “前后遣兵增宣王军 到达开封后 太 尉 诸种万余人悉降 立即上书司 [114] 送于魏 泽以为忧 六弟：司马进 商贸 文化较为发达的廿三里镇 马上就去找回了自己的
总体分布的估计理班
3.频率分布条形图和频率 分布直方图 .
两者是不同的概念.虽然它们的横坐标表示 的 内容是相同的，但是频 率分布条形图的纵轴 （矩形的高）表示频率 ； 频率分布直方图的纵轴 （矩形的高）表示 频率与组距的比值，其 相应组距上的频率 等于该组距上的面积
4.频率分布直方图的画法:
（ 1 ） .计算样本中数据（随机 变量取值）的最大值、 最小值的差（极差）， 确定数据（随机变量取 值） 的范围；
频率分布表
分 组 频数累计 频 数 频 率
样本频率分布
组距无限缩小
当样本容量增大
频率 组距
频率分布直方图
频率分布 总体分布 直方图
一条光滑曲线
总体分布的频率 密度曲线
25.295 25.355
产品尺寸
Y
(3)总体密度 曲线
a b X 总体在区间（a，b）内取值的概率：
P (a b ) S 阴影
（1）列出频率分布表； 寿命 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 合计
频率/组距
频数 20 30
频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1
累积频率
累积频率 0.10 0.25 0.65 0.85 1
80 40
30 200
1.00
0.80 0.60 0.40 0.20
解（1）频率分布表如下： 分组 频数 [25，30） 3 [30，35） 8 [35，40） 9 [40，45） 11 [45，50） [50，55） [55，60） 合计 （2）直方图如下： 10 5 4 50
频率/组矩
频率 0.06 0.16 0.18 0.22 0.20
总体分布的估计、总体期望和方差的
A．450
B．400
C．250
பைடு நூலகம்
D．150
解析
电子元件的寿命大于或等于 200 小时并且小于
400 小时的频率是(0.001 5＋0.002 5)×100＝0.4，故其个 数是 1 000×0.4＝400.
答案 B
题型分类
深度剖析
题型一 频率分布直方图的绘制 例1 从全校参加科技知识竞赛 的学生试卷中，抽取一个样本， 考察竞赛的成绩分布．将样本 分成 5 组，绘成频率分布直方 图(如图)，图中从左到右各小 组的小长方形的高的比是 1∶3∶6∶4∶2，最后边一 组的频数是 6. 请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表； (3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频 数、频率； (4)估计这次竞赛中， 成绩不低于 60 分的学生占总人数 的百分比．
解析 x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， 2＋3＋4＋5 4＋2 7 P＝ ＝0.7 或 P＝1－ 20 ＝10＝0.7. 20
4．在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上，五位歌手 的分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，则五位歌手 得分的期望与方差分别是( D ) A．9.4 C．9.5
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多， 该组的频数和频 3 率分别是 18 和 . 8 (4)不低于 60 分的学生占总人数的百分比约为 1 1－ ×100%≈94%. 16
探究提高：用频率分布直方图解决相关问题时，应正确 理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问 题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表 示频率/组距； (2)频率分布直方图中各长方形高的比也就 是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数 据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等 于 1，即频率之和为 1.
总体分布的估计
1.4 总体分布的估计
练习： 练习： 课后练习： ， 课后练习：1，2 课堂小结 当总体中个体取不同数值很少时， 当总体中个体取不同数值很少时，我们常用样本的频率 分布表及频率分布条形图去估计总体分布， 分布表及频率分布条形图去估计总体分布，总体分布排除了 抽样造成的误差，精确反映了总体取值的概率分布规律． 抽样造成的误差，精确反映了总体取值的概率分布规律． 作业： 作业：
0.7 0.6 0.5
频率 0.501 1 0.498 9
频率
样本容量为72 样本容量为 088
“正面向上”记为0 正面向上”记为 “反面向上”记为1 反面向上”记为
频率分布直方图
0.4 0.3 0.2 0.1
试验结果
0
1
1.4 总体分布的估计
新授课 当试验次数无限增大时， 当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率就成为相应 的概率: 的概率: 试验结果 正面向上（记为0） 正面向上（记为 ） 反面向上（记为1） 反面向上（记为 ） 概率 0.5 0.5
排除了抽样造成的误差， 排除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概率分 布规律．这种总体取值的概率分布规律称为总体分布 布规律．这种总体取值的概率分布规律称为总体分布 ．
1.4 总体分布的估计
新授课 根据课本上给出的数据制作频率分布表和频率分布直方图． 根据课本上给出的数据制作频率分布表和频率分布直方图． 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小， 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分 布直方图就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线． 总体密度曲线． 布直方图就会无限接近一条光滑曲线 总体密度曲线
P27 习题 习题1.4 2，3 ，
总体分布的估计
[120,125) 11 0.11 0.022
[125,130) 6 0.06 0.012
[130,135] 2 0.02 0.004
合计
100 1
0.2
(2)直方图如图：
（3）从频率分布表得，样本中小于100
的频率为0.01 0.02 0.04 0.14 0.21
样本中不小于120 的频率为
一般地, 作频率分布直方图的方法为： 把横轴分成若干段，每一段对应一个组 的组距，以此线段为底作矩形，高等于 该组的频率/组距, 这样得到一系列矩形,
每一个矩形的面积恰好是该组上的频率,
这些矩形构成了频率分布直方图．
频率分布直方图的特征： （1）从频率分布直方图可以清楚的 看出数据分布的总体趋势． （2）从频率分布直方图得不出原始 的数据内容，把数据表示成直方图后， 原有的具体数据信息就被抹掉了．
解：（１）样本频率分布表如下：
分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158)
合计
频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120
频率 0.04 0.07 0.08 0.18
频率分布直方图(2)
1．频率分布折线图 在频率分布直方图中，取相邻矩形上底边 的中点顺次连结起来，就得到频率分布折 线图（简称频率折线图）例2的频率折线 图如图：
密度曲线
如果样本容量取得足够大，分组的组距取 得足够小，则相应的频率折线图将趋于一 条光滑的曲线，称这条光滑的曲线为总体 的密度曲线．
别是 [150.5,153.5),[153.5,156.5) ，…，
1.4总体分布的估计
试验结果
01
各值的频率
频率分布条形图
LOGO
当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率就成 为相应的概率,得到下表:
试验结果 正面向上（记为0） 反面向上（记为1）
概率 0.5 0.5
上表排除了抽样造成的误差，精确地反映了总体 取值的概率分布规律．这种总体取值的概率分布规律 称为总体分布 ．
例.从规定尺寸为25.40mm的一堆产品中任取
频率分布条形图的纵轴（长方形的高）表示频率 频率分布直方图的纵轴（长方形的高）表示频率与组距的比值， 其相应组距上的频率等于该组据上长方形的面积。
长方形的面积＝
频率 组距
组距＝频率
LOGO
（1）离散型总体： 用样本的频率分布表和频率分布条形图
（2）连续型总体： 用样本的频率分布表和频率分布直方图 样本容量越大，估计就越精确。
区间分组 122,126) 126,130) 130,134) 134,138) 138,142) 142,146) 146,150) 150,154) 154,158)
合计
人数 5 8 10 22 33 20 11 6 5
120
频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04
一、计算最大值与最小值的差（也称极差）， 从而知道这组数据的变动范围。
极差为：25.56 –25.24=0.32
二、决定组距与组数（将数据分组）
组数：将数据分组，当数据在100个以内时，
按数据多少分成5－12组 组距：指每个小组的两个端点的距离，组距=极差/组数
三.决定分点
可以令分点比数据多1位小数，并且把第1小组的起点稍微 减少一点.那么可分的11个组如图.
总体分布的估计
[24.5,27.5)
10
[27.5,30.5)
5
[30.频率分布直方图
(2)根据样本的频率颁布估计,小于30.5的数据约 占多少?
2.某食品厂为加强质量管理,抽查了某天生产的罐头80只, 得到其质量数据如下(单位:克):
342 340 348 346 343 342 346 341 344 348 346 346 340 344 342 344 345 340 344 344 336 348 344 345 332 342 342 340 350 343 347 340 344 353 340 340 356 346 345 346 340 339 342 352 342 350 348 344 350 336 340 338 345 345 349 336 342 338 343 343 341 347 341 347 344 339 347 348 343 347 346 344 343 344 342 343 345 339 350 337
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的 总体分布作出估计
画频率分布的一般步骤：
1、求最大值与最小值的差（极差） 2、确定组距与组数（组距=极差÷组数） 3、决定分点（一般是左闭右开） 4、列频率分布表 5、绘频率分布直方图
频数分布表
分组 [54.5,56.5） [56.5,58.5） [58.5,60.5） [60.5,62.5） [62.5,64.5） [64.5,66.5） [66.5,68.5） [68.5,70.5） [70.5,72.5） [72.5,74.5） [74.5,76.5） 合计
60.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 62 58.5 72 73.5 59 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 64 72 66.5 74 63 60 55 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 74 71 66 63.5 60.5 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 61 60 68 57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 61 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5
《总体分布的估计》PPT课件
〈一〉频率分布的概念： 频率分布是指一个样本数据在各个小范围内 所占比例的大小。一般用频率分布直方图反 映样本的频率分布
〈二〉画频率分布直方图其一般步骤为 （1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差 （2）决定组距与组数 （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图
第一步: 求极差: (数据组中最大值与最小值的差距) 最大值= 4.3 最小值= 0.2 所以极差= 4.3-0.2 = 4.1
第二步: 决定组距与组数: （强调取整）
当样本容量不超过100时, 按照数据的多少, 常分成5~12组.
为方便组距的选择应力求”取整”.
本题如果组距为0.5(t).
则
组数=
组数=
极差 组距
4.1 0.5
8.2
第三步: 将数据分组 ( 给出组的界限)
第四步: 列频率分布表. （包括分组、频数、频率、频率/组距）
第五步: 画频率分布直方图（在频率分布表的基础上绘制，横
坐标为样本数据尺寸，纵坐标为频率/组距.）
频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果 将样本容量取得足够大，分组的组距取得足够小，则 这条折线将趋于一条曲线，我们称这一曲线为总体分 布的密度曲线．
从图中我们可以看到,月均 用水量在区间[2，2.5)内 的居民最多，在[1.5，2) 内次之，大部分居民的月 均用水量都在[1，3)之间.
直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地 表明分布的形状，使我们能够看到分布表中看不清楚 的数据模式，但是直观图也丢失了一些信息，例如， 原始数据不能在图中表示出了.
频率分布表:
【中学课件】总体分布的估计
0.14 0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00
频率/组距
体重(kg)
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5
频率分布表
分 组 频数累计 频 数 频 率
频率分布直方图
当样本容量无限增大，分组的组距 无限缩小， 那么频率分布直方图就 会无限接近一条光滑曲线 ————总体密度曲线．
频率 组距
总体在区间(a , b)内取值的概率
S
a b
产品 尺寸 （mm）
频率/组距
体重(kg)
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5
一、众数、中位数、平均数的概念
1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数 据叫做这一组数据的众数。
2、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数。 3、平均数 (1) x = 1/n(x1+x2+……+xn) (2) x = x’ +a (3) x = (x1f1+x2f2+……xkfk)/n
二、思考：如何从频率分布直方图中估计中位 数？平均数？众数？
试根据上述数据画出样本的频率分布直方图，并对相应的 总体ห้องสมุดไป่ตู้布作出估计
获得频率分布的一般步骤： 1、求最大值与最小值的差 2、确定组距与组数 3、决定分点 4、列频率分布表 5、绘频率分布直方图
频数分布表
分组 [54.5,56.5） 频数累计 频数 2 频率 0.02
[56.5,58.5）
总体分布的估计1(PPT)4-3
频数分布表
分组 [54.5,56.5） [56.5,58.5） [58.5,60.5） [60.5,62.5） [62.5,64.5） [64.5,66.5） [66.5,68.5） [68.5,70.5） [70.5,72.5） [72.5,74.5） [74.5,76.5） 合计
频数累计
正 正正 正正 正正 正正正 正正 正正 正 正
频数 2 6 10 10 14 16 13 11 8 7 3 100
频率 0.02 0.06 0.10 0.10 0.14 0.16 0.13 0.11 0.08 0.07 0.03 1.00
半导体材料。从高纯度的氧化锗还原，再经熔炼可提取而得。掺有微量特定杂质的锗单晶，可用于制各种晶体管、整流器及其他器件。锗的化合物用于制造 荧光板及各种高折光； 真实单号 空单号 快递单号 菜鸟单号 单号网 速递侠单号 ；率的玻璃。 锗单晶可作晶体管，是第一代晶体管材料。 锗材用于辐射探测器及热电材料。高纯锗单晶具有高的折射系数，对红外线透明，不透过可见光和紫外线，可作专透红外光的锗窗、棱镜或透镜。世纪初， 锗单质曾用于治疗贫血，之后成为最早应用的半导体元素。单质锗的折射系数很高，只对红外光透明，而对可见光和紫外光不透明，所以红外夜视仪等军用 观察仪采用纯锗制作透镜。锗和铌的化合物是超导材料。二氧化锗是聚合反应的催化剂，含二氧化锗的玻璃有较高的折射率和色散性能，可作广角照相机和 显微镜镜头，三氯化锗还是新型光纤材料添加剂。 [] 据数据显示，年来光纤通信行业的发展、红外光学在军用、民用领域的应用不断扩大，太阳能电池在空 间的使用，地面聚光高效率太阳能电站推广，全球对锗的需求量在持续稳定增长。 全球光纤网络市场尤其是北美和日本光纤市场的复苏拉动了光纤市场的快 速增长。世纪全球光纤需求年增长率已经达到了%。未来中国光纤到户、G建设及村通工程将拉动中国光纤用锗需求快速增长。 锗在红外光学领域的年需求 量占锗消费量的-%，锗红外光学器件主要作为红外光学系统中的透镜、棱镜、窗口、滤光片等的光学材料。红外市场对锗产品的未来需求增长主要体现于两 个方面：军事装备的日益现代化带动了对红外产品的需求和民用市场对红外产品的需求。太阳能电池用锗占据锗总消耗量的%，太阳能电池领域对锗系列产 品的未来需求增长主要体现于两个方面：航空航天领域及卫星市场快速发展和地面光伏产业快速增长。 [] 从全球产量分布来看，中国供给了世界7%的锗产 品，是全球最大的锗生产国和出口国，这主要是由于中国高附加值深加工产品技术环节薄弱，导致内需相对有限，产品多以初加工产品出口为主。 但是
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计概述：抽样是统计学中非常重要的概念，它可以帮助我们从一个庞大的总体中选择出一部分个体，从而对总体的特征进行推断和估计。
在实际应用中，我们很难对整个总体进行研究，因此抽样方法能够帮助我们通过研究抽取的样本来对总体进行估计和推断。
抽样方法：1.简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机地选择一部分个体作为样本，每个个体被选中的概率是相等的。
这种抽样方法能够减少主观因素的干扰，得到较为可靠的估计结果。
2.分层抽样：分层抽样是将总体分成若干个互不重叠的子总体，然后在每个子总体中进行简单随机抽样。
这样可以保证样本的代表性，并且可以在不同子总体中设置不同的抽样比例，更好地反映总体的各个特征。
3.系统抽样：系统抽样是按照一定的规则从总体中选择个体作为样本，例如每隔k个个体选取一个个体。
这种抽样方法适用于总体中个体之间的顺序关系比较明显，具有方便和高效的特点。
4.整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后随机地选择几个群体，对选择的群体进行抽样。
这种抽样方法在样本容量较小时，能够减少抽样误差，提高估计结果的可靠性。
总体分布的估计：估计总体分布是指通过样本推断总体的概率分布情况。
常见的总体分布估计方法有以下几种：1.参数估计：根据样本统计量的分布特征，推断总体分布中的参数值。
例如，通过样本均值来估计总体均值，通过样本方差来估计总体方差等。
2.核密度估计：核密度估计通过考虑每个样本点附近一定范围内的密度来估计总体分布的概率密度函数。
该方法可以克服一些分布假设的限制，更加灵活地估计总体分布。
3.经验分布函数：经验分布函数通过计算累积概率来估计总体的分布。
该方法不对总体的具体分布形式进行假设，适用于对总体分布不了解或不确定的情况。
4.模型拟合：模型拟合是指将已知的概率分布模型与样本进行拟合，从而得到总体的估计分布。
常用的拟合方法包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
总结：抽样方法和总体分布的估计是统计学中重要的内容。
§5抽样方法与总体分布的估计
§5抽样方法与总体分布的估计抽样方法与总体分布的估计是统计学中一个重要的概念和技术。
它涉及到从总体中选择一个样本来推断总体特征的过程。
本文将介绍抽样方法的基本原理、常用的抽样方法以及如何使用抽样方法来估计总体分布。
一、抽样方法的基本原理抽样方法是通过从总体中选择一个样本来推断总体特征的方法。
它的基本原理是假设从总体中选择一个具有代表性的样本，样本中的个体与总体中的个体具有相似的特征。
通过对样本数据的统计分析，可以得出关于总体特征的推断。
抽样方法的基本原理包括以下几个关键概念：1.总体：总体是指研究人群或对象的全体，可以是有界的，也可以是无限的。
2.样本：样本是从总体中选择的一个部分。
样本应该具有代表性，即样本中的个体应该和总体中的个体具有相似的特征。
3.样本容量：样本容量是指样本中包含的个体数量。
样本容量越大，样本的代表性越好，对总体特征的推断也越准确。
4.代表性：样本的代表性是指样本中的个体能够准确反映总体的特点。
抽样方法的选择取决于多种因素，包括总体大小、资源限制、时间限制以及研究目的等。
下面将介绍几种常用的抽样方法。
二、常用的抽样方法1. 简单随机抽样（Simple Random Sampling）：简单随机抽样是从总体中以相等的概率独立地抽取样本个体的方法。
这种方法要求每个个体具有相等的机会被选入样本中，使样本具有代表性。
2. 分层抽样（Stratified Sampling）：分层抽样将总体分为若干个层级，然后从每个层级中抽取样本。
这种方法可以确保每个层级在样本中的比例与总体中的比例相同。
3. 系统抽样（Systematic Sampling）：系统抽样是按照一些固定的规则抽取样本个体的方法。
例如，选择一个起点，然后每隔一定间隔选择一个个体，直到达到所需的样本容量。
4. 整群抽样（Cluster Sampling）：整群抽样是将总体分为若干个群组（或簇），然后从每个群组中随机选择一个或多个群组作为样本。
总体分布的估计
练习
1.有一个容量为50的样本数据的分组的频数如下：
［12.5, 15.5） 3
［15.5, 18.5） 8
［24.5, 27.5） 10 ［27.5, 30.5） 5
［18.5, 21.5） 9
［30.5, 33.5） 4
［21.5, 24.5） 11
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
合计
频数
6 7 14 17 5 4 2 55
频率
0.109 0.127 0.255 0.309 0.091 0.073 0.036 1.00
频率分布条形图如下：
频率 组距
125.45 130.45
身高
160.45
频率分布表如下：
频率分布条形图如下：
分组
频 数
频率
125.45~130.45 6 0.109
10.5总体分布的估计
总体分布
总体取值的概率分布规律通常成为总体分布。
总体分布的估计
1．分类 （1）用样本的频率分布去估计总体分布；
（2）用样本的某种数字特征去估计总体 的相应数字特征。
频率分布与总体分布的关系:
(1)通过样本的频率分布可以估计总体 的概率分布.
抽样过程中加大样本容量， 排除抽样 造成的误差，这样样本的分布频率精确地 反映了总体取值的概率分布规律。
试从以上数据中，对该地区12岁男生的身高 情况进行大致的推, 130.45） （130.45, 135.45） （135.45, 140.45） （140.45, 145.45） （145.45, 150.45） （150.45, 155.45） （155.45, 160.45）
例题
抽查某地区55名12岁男生的身高（单位： cm）的测量值如下： 128.1 144.4 150.3 146.2 140.6 126.0 125.6 127.7 154.4 142.7 141.2 142.7 137.6 136.9 132.3 131.8 147.7 138.4 136.6 136.2 141.6 141.1 133.1 142.8 136.8 133.1 144.5 142.4 140.8 127.7 150.7 160.3 138.8 154.3 147.9 141.3 143.8 138.1 139.7 142.9 144.7 148.5 138.3 135.3 134.5 140.6 138.4 137.3 149.5 142.5 139.3 156.1 152.2 129.8 133.2
抽样方法跟总体分布的估计
抽样方法跟总体分布的估计抽样方法是指从总体中选取一部分样本来进行研究或调查的方法，其目的是通过对样本数据的分析，推断或估计总体的特征和参数。
抽样方法的选择对研究的结果至关重要，因为不恰当的抽样方法可能导致样本偏倚，从而使总体的估计结果失真。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样和多阶段抽样等。
下面对这些方法进行详细说明。
简单随机抽样是从总体中随机选取样本的方法，每个样本都有相同的被选中的概率。
这种方法可以减少样本选择的主观因素，并能够反映总体特征。
但在实际操作过程中，随机选样的困难度较高，需要随机数发生器进行操作。
分层抽样是将总体划分为若干个相互独立的层，并从每个层中随机选取一定数量的样本。
这种抽样方法适用于总体分层特征明显的情况，可以确保每个层都能被充分代表。
整群抽样则是将总体划分为若干个相互不重叠但完全相似的整群，随机选取其中若干群作为样本进行研究。
这种方法适用于总体内群体特征相近的情况，可以减少样本选择的成本。
系统抽样是根据其中一种规律从总体中选取样本，如每隔一定间隔选取一个样本。
这种方法的优势在于实施简单，适用于总体有明显的排列顺序的情况。
多阶段抽样是将总体按照多个层次划分，并在每个层次中随机选择样本。
这种方法适用于总体复杂，样本选择难度大的情况，可以减少样本选择的成本。
抽样方法的选择应根据研究目的、总体属性和可行性来确定。
在进行抽样之前，需要对总体进行充分了解，确定抽样框架，制定合理的抽样方案。
总体分布的估计是通过对样本数据的分析，利用统计模型和方法来推断总体的特征和参数。
常用的估计方法有点估计和区间估计。
点估计是利用样本数据得出总体参数点估计值的方法，常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计等。
点估计可以得到总体参数的一个具体估计值，但缺点是无法给出估计值的准确性。
区间估计是利用样本数据得出总体参数区间估计值的方法，常见的区间估计方法有置信区间和可信区间等。
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频率 组距
产品 尺寸 （mm）
知识回顾
②对样本抽好后，通过对样本的分析，从而推断总体所 具有的性质。如何对样本进行分析？
样本的频率分布.
样 本 中 所 有 数 据 （ 或 数据 组 ） 的 频 数 和 样 本 容量 的 比 ， 就 是 该 数 据 的 频 率. 所 有 数 据 （ 或 者 数 据 组） 的 频 数 的 分 布 变 化 规律 叫 做 样 本 频 率 分 布.
(2)直方图中,用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率.
谢谢您的关注
说明:确定分点时,使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点稍 微再小一点.
分 组 个数累计 频 数
[25.235,25.265)
一
1
[25.265,25.295)
T
2
[25.295,25.325)
正
5
[25.325,25.355) 正正 T
12
[25.355,25.385) 正正正下 18
[25.385,25.415) 正正正正正 25
（1）列出样本的频率分布表（2）画出频率分布直方图
（3）根据频率分布直方图估计，数据落在[25.355，25.445] 的概率约是多少？
总体分布的估计的解题步骤
一.计算极差:25.56 –25.24=0.32 二.决定组距与组数 （组距=极差/组数） 三.决定分点 四.列出频率分布表 五.画频率分布直方图
频率分布的表示形式有：
样本频率分布表； 样本频率分布条形图；
样本频率分布直方图.
新授课
抛掷硬币的大量重复试验的频率分布表：
实验结果 正面向上 反面向上
频数 36 124 35 964
频率 0.501 1 0.498 9
样本容量为72 5 0.4 0.3 0.2 0.1
频率 组距
总体在区间(a , b)内取值的概率
S
ab
产品 尺寸 （mm）
例题讲解
例 为检测某种产品的质量，抽取了一个容量为30的样本，
检测结果为一级品5件，二级品8件，三级品13件，次品4件．
(1) 列出样本的频率分布表；
(2) 画出表示样本频率分布的条形图；
(3)根据上述结果，估计此种产品为二级品或三级品的概率
[25.415,25.445) 正正正一 16
[25.445,25.475) 正正下
13
[25.475,25.505) TT
4
[25.505,25.535)
T
2
[25.535,25.565)
T
2
合计
100
频率 0.01 0.02 0.05 0.12 0.18 0.25 0.16 0.13 0.04 0.02 0.02 1.00
0
“正面向上”记为0 “反面向上”记为1
试验结果
1
新授课
当试验次数无限增大时，两种试验结果的频率就成为相应
的概率:
试验结果
概率
正面向上（记为0）
0.5
反面向上（记为1）
0.5
上表排除了抽样造成的误差，精确地反映了总体取值的概 率分布规律．这种总体取值的概率分布规律称为总体分布 ．
例.从规定尺寸为25.40mm的一堆产品中任取 100件， 测得尺寸如下：
累计频率 0.01 0.03 0.08 0.20 0.38 0.67 0.79 0.92 0.96 0.98 1.00
频率/组距
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0 1
产品尺 寸(mm)
新授课 根据课本上给出的数据制作频率分布表和频率分布直方图． 当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分 布直方图就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线．
课堂小结
总体分布的估计的解题步题: ①找最大值与最小值。 ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列表 ⑤作频率分布直方图
当总体中个体 取不同数值很少时， 我们常用样本的频 率分布表及频率分 布条形图去估计总 体分布，总体分布 排除了抽样造成的 误差，精确反映了 总体取值的概率分 布规律．
说明:(1)确定分点时,使分点比数据多一位小数,并且把第1小组的起点 稍微再小一点.
25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46 25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39
约是多少． 解解：：
0.7 频率
0.6
产品 频数 频率
(3)此种产品为二级品或三级0.5品的一概级率品约为0.527＋0.04.31＝7 0.7．
（（12））样样本本的频频率率分分 布布表为0.4： 二级品 8
0.27
的条形图为：
0.3
0.2 三级品 13
0.43
0.1
次品
4
0.1产3品
一级品 二级品 三级品 次品