圆周角定理
圆的十大定理
圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。
这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。
二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。
这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。
三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。
这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。
五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。
这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。
六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。
这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。
七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。
八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。
这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。
九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。
这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。
十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。
圆周角定理及其证明
圆周角定理及其证明圆周角定理是几何中的一个重要定理，它描述了一个圆的圆周角与其对应的弧度之间的关系。
这个定理在解决与圆相关的问题时具有重要的应用价值。
下面将对圆周角定理及其证明进行详细介绍。
我们需要明确什么是圆周角。
圆周角是指以圆心为顶点的角，其两条边分别为相切于圆的两条弦。
在圆周角中，我们可以观察到一个有趣的现象：无论弦的长度如何变化，圆周角的大小始终保持不变。
这个现象被称为圆周角的度量唯一性。
为了形式化地描述圆周角定理，我们引入以下定义：当圆周角的两条弦分别与圆的直径相交时，这个圆周角被称为直径角。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出结论：直径角恒等于180度或π弧度。
接下来，我们将证明圆周角定理。
证明：设圆的半径为r，圆周角对应的弧长为l，直径角对应的弧长为L。
根据圆的性质，我们知道圆的周长C等于2πr。
由于直径角等于半圆，所以L等于半圆的弧长，即L等于πr。
根据圆周角的度量唯一性，我们可以得出以下等式：l / C = L / 2πr将C和L的值代入上述等式，我们得到：l / 2πr = πr / 2πr经过简化后，我们得到：l / 2r = r / 2r进一步简化，我们得到：l = r由此可见，圆周角对应的弧长等于圆的半径。
这个结论可以推广到任意圆周角，无论弦的长度如何变化，圆周角的度量始终等于圆的半径。
通过上述证明，我们可以得出圆周角定理的结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算圆周角的度量，从而解决各种几何问题。
总结起来，圆周角定理描述了圆周角与其对应的弧度之间的关系。
通过证明，我们可以得出结论：圆周角的度量等于圆的半径。
这个定理在几何学中有重要的应用价值，可以帮助我们解决与圆相关的各种问题。
在实际应用中，我们可以根据圆周角定理来计算圆周角的度量，从而得到所需的几何信息。
圆周角定理的证明
同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于该弧所对的圆周心角的一半
我们知道一条弧所对的圆心角只有一个，而一条
弧所对的圆周角有若干个，那么同一条弧所对的圆 心角和圆周角有哪几种位置关系呢？圆周角和圆心 角又有什么样的等量关系呢？
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
AD
我们可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
2
2
B
∴ ∠ABC= 1∠AOC.
2
同样我们可以写出这个命题： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC
与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
同样可以转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●Oபைடு நூலகம்B
∠ABD =1 ∠AOD,∠CBD =1 ∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
我们同样可以得出这样一个结论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB，
A C
●O
∴∠A=∠B.
B
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = 1 ∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
圆周角定理的定理证明
圆周角定理的定理证明圆周角定理是平面几何中的一个重要定理，它揭示了圆周上的角度与弧度之间的关系。
在本文中，我们将通过推导和证明，来解释圆周角定理的原理和应用。
让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是一个平面上所有距离中心相等的点的集合。
其中，圆心是圆的中心点，而半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆周则是圆上的一段弧，它的长度可以通过弧长来表示。
在圆周角定理中，我们考虑的是圆周上的两个角度。
我们使用的单位是弧度，而不是度数。
弧度是角度的一种测量方式，它表示的是半径所对应的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧长是2πr，其中r是圆的半径。
因此，一个完整的圆周对应的角度是360°或2π弧度。
现在，我们来看一个圆周上的任意角A。
假设这个角度所对应的弧长是s，圆的半径是r。
我们可以得到以下等式：s = rθ其中，θ是角度A对应的弧度。
这个等式是圆周角定理的基本公式之一。
接下来，我们将通过推导来证明圆周角定理的另一个重要结果。
假设有两个角度A和B，它们对应的弧长分别是s1和s2，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 = rθ1s2 = rθ2现在，我们将这两个等式相减，得到：s1 - s2 = r(θ1 - θ2)我们知道，s1 - s2表示的是角度A和B对应的弧长之差，而θ1 - θ2则是这两个角度的差值。
因此，我们可以得出结论：圆周上任意两个角度对应的弧长之差等于这两个角度的差值乘以圆的半径。
这个结论可以进一步推广到任意个角度。
假设有n个角度A1、A2、...、An，它们对应的弧长分别是s1、s2、...、sn，圆的半径仍然是r。
我们可以得到以下等式：s1 - s2 + s3 - ... + (-1)^(n+1)sn = r(θ1 - θ2 + θ3 - ... + (-1)^(n+1)θn)其中，(-1)^(n+1)是一个符号系数，它的值取决于n的奇偶性。
这个等式表示的是圆周上任意个角度对应的弧长之和等于这些角度的差值乘以圆的半径。
圆周角定理证明
圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半
证明：已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：情况1：如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
图1
情况2：
如图2,，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
图2
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA,OB。
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
从而得证：∠BOC=2∠BAC.
图3。
圆周角定理
圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。
这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。
圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。
圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。
圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。
这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。
性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。
而垂直弧指与半径垂直的弧。
圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。
假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。
可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。
应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。
假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。
以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。
对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论
一、定理内容
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，这一定义实质上反映的是圆周角所具备的两个特征：
①顶点在圆上；
②两边都和圆相交。
这两个条件缺一不可。
二、定理推论
1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的'弧也相等。
2、半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
3、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
- 1 -。
圆周角定理ppt课件
∴∠A=∠C ．
o
又 ∠AOB=∠A+∠C，
B A
∴∠AOB=2∠C. 即
类比转化 考虑两种一般情况：
2.圆心O在圆周角的内部： C
.O
3.圆心O在圆周角的外部:
.C
O
A
B
D
c o
D AB
B A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半．
符号表示：
∵ A⌒B 所对的圆周角为∠ACB
A⌒B 所对的圆心角为∠AOB
圆周角和圆心O的位置关系：
①圆心在圆周角 ②圆心在圆周 的一条边上； 角的内部；
C
O·
A
B
C
O·
A
B
③圆心在圆 周角的外部.
C
O·
B A
证 明 1.圆心在圆周角的一条边上：
（
已知：在⊙O中，AB 所对的圆周角是 ∠C，圆心
角是 ∠AOB. 求证： ∠C = 1 ∠AOB. 2
c
证明： ∵OA=OC ，
如图, 足球课上,教练在球门前画了一个圆圈进行无人防 守的射门训练，甲，乙,丙三名同学分别在B,D,E三处，他 们都说在自己所在位置所对球门AC的张角大，你认为他们 谁说的对？
回顾圆心角的定义，给下图中像∠ACB这样的角下定义.
1.顶点在圆心的角叫 圆心角 ;
2.顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角 .
辨一辨 下列各图中，哪些是圆周角？
探 究 同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系
1.画一画，量一量
C
在⊙O上任取一条弧，作
出这条弧所对的圆周角和
圆心角， 测量它们的度数，
圆周角定理——精选推荐
圆周⾓定理
圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半。
这⼀定理叫做圆周⾓定理。
该定理反映的是与的关系。
已知在⊙O中，∠BOC与圆周⾓∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC.
证明：
情况1：
如图1，当圆⼼O在∠BAC的⼀边上时，即A、O、B在同⼀直线上时：
图1
∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（）
∵∠BOC是△AOC的
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：
如图2,，当圆⼼O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2
∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等⾓）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外⾓
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个的和）
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三⾓形的外⾓等于两个不相邻两个内⾓的和）
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC。
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
数学知识点：圆周角定理_知识点总结
顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。
圆周角的特点:
(1)角的顶点在圆上;
(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.
圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:
解题规律:
解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。
一 圆周角定理
是半圆的直径,P是半圆上的 例３，如图，BC是半圆的直径 是半圆上的 如图， 是半圆的直径 一点,过 的中点Ａ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ａ，作 一点 过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证 求证： 为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证： ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ Ａ
圆周角定理
圆周角的定义： 圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都 与圆相交的角。 与圆相交的角。 圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对 弧的度数的一半。 弧的度数的一半。 推论1：同弧（或等弧） 推论 ：同弧（或等弧）上的圆周角相 等。 同圆或等圆中， 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。 相等。 推论2：半圆（或直径） 推论 ：半圆（或直径）上的圆周角等 于90度。 度 反之， 度的圆周角所对的弦为直径 度的圆周角所对的弦为直径。 反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦ Ｄ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ， 如图， ABC内接于 ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证 于点Ｈ，求证： ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证： ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ ）ＯＡＡＨ＝１ ＡＢ （２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
Ａ Ｂ D ． Ｏ Ｈ Ｃ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC， 外接圆⊙O的弦AE BC于点 求证： ⊙O的弦AE交 于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图， 是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆 的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径 求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A
初中圆的十八个定理
初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。
如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。
7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。
8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。
9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
初中圆周角定理
初中圆周角定理圆周角定理是中学数学中非常有重要的定理之一，它是由欧拉和塔利·布拉斯发现的，被广泛应用于日常生活中和许多学科中，特别是在数学和物理中。
下面我们来详细了解一下圆周角定理。
一、圆周角的定义在一个圆形中，圆心与圆上任意两个点所构成的角称为圆周角。
圆周角的大小是按照它所对应的圆弧长来计算的。
当圆周角的度数等于360°时，它就成为了一个完整的圆周。
1.圆周角等于半圆角：一个圆的直径所对应的半圆角是90 °。
因此，圆周角的度数显然是180°。
2.圆周角的大小只取决于圆弧的长度：在一个圆中，对于任意给定的圆弧，其所对应的圆周角的大小都是唯一确定的。
这就意味着，一旦我们知道了圆周角所对应的圆弧的长度，我们就能够准确地计算出圆周角的大小。
3.在同一条弦上的圆周角相等：当只考虑圆弧时，同一条弦上的圆周角大小是相等的。
4.在相等的圆弧所对应的圆周角也是相等的：如果两个圆弧的长度相等，那么所对应的圆周角大小也是相等的。
三、如何计算圆周角的大小在许多情况下需要计算圆周角的大小，下面我们来介绍一些实用的方法：1.使用弧度制：我们可以把圆周角大小表达成弧度制，其中1弧度对应的是圆弧的长度等于半径的弧长。
因此，我们可以利用圆弧长度和半径的关系简单地计算出弧度数。
2.使用角度制：如果需要在角度制下计算圆周角的大小，我们可以利用公式：圆周角的大小 = 圆弧的长度× 180°/πr。
其中，π是圆周率，r是圆的半径。
3.用正弦、余弦和正切函数来计算：如果我们知道圆周角的一个角度和半径的大小，我们可以使用三角函数来计算圆周角的大小。
我们可以使用下列公式来计算正弦、余弦和正切函数值：sinθ= a/r，cosθ=b/r，tanθ=a/b，其中，a和b是圆周角的两条边的长度，而r是圆的半径。
四、应用圆周角定理在许多应用中都有很大的作用，以下是一些典型的应用：1.在工程学中，圆周角定理有助于计算圆形结构中的挠曲和变形。
圆周角定理的推论
圆周角定理的推论
圆周角定理指出了封闭图形中两个角的平行边之间的角的大小，可以用公式表示如下：
内角和 = 封闭图形中真实角的总和 - 360°
圆周角定理可以根据某些假设推出许多有用的结论。
一般来讲，由某一条边把图形分
割成两部分，图形中所有的角构成的闭合图形的内角和等于上面的定理中的表达式。
另外，如果一个图形有m条边，那么它的总角度数等于180（m - 2）。
例如，考虑一个六边形。
由定理可以推出，六边形的内角和等于720°，显然，它的
每一个角等于120°，证明了定理的准确性。
另外，如果在一个多边形中用一条边将其分
割为两个三边形，那么两个三边形内角和应该等于360°，三角形每一个内角应该等于180°/3 = 60°。
此外，如果一个图形中每个内角都相等，该图形是正多边形；正多边形中每个内角等
于（180•（n-2））/ n，其中n是多边形边数。
同样，如果图形中有两个内角是等腰三角形，那么其余一个内角的角度就是90°；若有四个等腰三角形，那么其他两个内角角度分别等于120°和30°。
由圆周角定理也可以推出，当一个图形三边框围时，其内角和等于180°；两个角等
于120°和60°；多边形三边框围时，其内角和等于270°；其余的内角等于80°和110°。
总而言之，圆周角定理为图形的绘制和多边形的构造提供了有用的信息。
圆周角定理
从几何学的角度给出了许多有用的结果和信息，并可以用于各种形状的几何图案的绘制。
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
第一章 §2 2.1 圆周角定理
2．1 圆周角定理对应学生用书P12]1．圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(2)符号语言：在⊙O BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC＝(3)图形语言：如图所示．2．圆周角定理的推论(1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(2)推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆．1．圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系．2．推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．对应学生用书P13]利用圆周角定理解决计算问题[例1][思路点拨] 本题主要考查圆周角定理．顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧．[精解详析] (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图①所示．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BAC＝∠BOC＝55°.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图②所示．设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠OBC＝35°，∴∠BOC＝180°－2∠OBC＝110°.∴∠BPC＝∠BOC＝55°.∴∠BAC＝180°－∠BPC＝180°－55°＝125°.综上所得，∠A的度数是55°或125°.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件．1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )A．40° B．25°C．50° D．60°解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.[例2] 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC＝4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sin A－1＝0，求⊙O的直径．[思路点拨] 本题主要考查圆周角定理推论2的应用．解题时，可判断∠ACB＝90°.利用OD∥BC可得OD⊥AC.用相似可得OD的长，由边角关系可求⊙O的直径．[精解详析] (1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC.(2)∵△AOD∽△ABC，∴＝＝，∴OD＝BC＝×4＝2(cm)．(3)∵2sin A－1＝0，∴sin A＝.∵sin A＝，∴＝，∴AB＝2BC＝2×4＝8(cm)．“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用．本例的条件变为：“弦AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB＝5，∵S△ACB＝AC·BC＝AB·CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝.利用圆周角定理解决证明问题[例3]E，求证：AE ＝BE.[思路点拨] 本题主要考查利用圆周角定理证明问题．解题时只需在△ABE中证明∠ABE＝∠EAB.而要证这两个角相等，只需借助∠ACB即可．[精解详析] ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC为直角，又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD＝∠BCA.FBA＝∠ACB.∴∠BAD＝∠FBA.∴△ABE为等腰三角形．∴AE＝BE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化．即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等．要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等．这是证明圆中线段相等的常用方法．2．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC＝30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)∠CAB＝∠BOD.(2)△ABC≌△ODB.证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°，所以∠CAB＝60°.又OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝30°，所以∠BOD＝60°，所以∠CAB＝∠BOD.(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，得AC＝AB，又OB＝AB，所以AC＝OB.由BD切⊙O于点B，得∠OBD＝90°.在△ABC和△ODB中，所以△ABC≌△ODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档．[考题印证]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.[命题立意]本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质．[自主尝试] 连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.对应学生用书P14]一、选择题1.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )A．AE＝BE B．OE＝DEC．∠AOD＝50° D．D解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，AE＝BE，因为∠BCD＝25°，所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，故A，C，D正确，B不能得证．2．如图所示，AB是⊙O的直径，C AC＝8，BC＝6，则⊙O的半径r等于( )A． B．5C．10 D．不确定解析：选B 由已知得∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，即2r＝10，r＝5.3.如图，直径为10的⊙C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙C弧上一点，则cos∠ABO的值为( )A． B．C． D．解析：选B 法一：设⊙C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为∠AOD＝90°，所以AD为⊙C的直径，又因为∠ABO与∠ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以∠ABO＝∠ADO，又因为A(0,5)，所以OA＝5，在Rt△ADO中，AD＝10，AO＝5，根据勾股定理得：OD＝＝5.所以cos∠ABO＝cos∠ADO＝＝＝，故选B.法二：连接CO，因为OA＝5，AC＝CO＝5，所以△ACO为等边三角形，∠ACO＝60°，∠ABO＝∠ACO＝30°，所以cos∠ABO＝cos 30°＝.4．已知P R都在弦AB的同侧，且点P Q的圆内，点R(如图)，则( )A．∠AQB<∠APB<∠ARBB．∠AQB<∠ARB<∠APBC．∠APB<∠AQB<∠ARBD．∠ARB<∠APB<∠AQB解析：选D 如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有∠AQB>∠ACB，∠ADB>∠ARB.因为∠ACB＝∠APB＝∠ADB，所以∠AQB>∠APB>∠ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝60°，则∠ABC的度数是．解析：因为∠AOC＝60°，所以弧ABC的度数为60°，AC对的优弧的度数为360°－60°＝300°，所以∠ABC＝150°.答案：150°6.如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为．解析：因为∠BOD＝100°，所以∠A＝∠BOD＝50°.因为∠B＝60°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝70°.答案：70°7.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O 上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝ .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.答案：22°8.如图，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为．解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，在Rt△BOC中，∵OC＝＝＝1(cm)，∴＝，∴sin∠B＝，∠B＝30°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°.答案：120°三、解答题9.如图，在⊙O中，弦AB＝16，点C在⊙O上，且sin C＝.求⊙O的半径长．解：作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∠D＝∠C.因为sin C＝，所以sin D＝.在Rt△ABD中，sin D＝＝，又因为AB＝16，所以AD＝16×＝20，所以OA＝AD＝10，即⊙O的半径长为10.10．如图，已知在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．解：因为AB为直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8(cm)．因为CD平分∠ACB，所以△ADB为等腰三角形．所以AD＝BD＝AB＝×10＝5(cm)．11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.(1)求证：CB∥MD.(2)若BC＝4，sin M＝，求⊙O的直径．解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，所以∠C＝∠M.又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．(2)由sin M＝知，sin C＝，所以＝，BN＝×4＝.由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.所以⊙O的直径为6.。
圆周角定理
O C
B
(2)如图，圆心O在BAC 的内部，作直径 AD
A
O
B D
C
(3)如图，圆心O在 BAC的外部， 作直径AD
A
O
C
B
D
我们知道，一个周角是 ，把圆周等 360 分成360份，每一份叫做 的弧，由此， 的 1 n 圆心角所对的弧是 的弧，反之， 的弧所 n n 对的圆心角的度
C
例2、如图，AB与CD相交于一点 ， P ⌒ ⌒ 的度数与BC的度数和的 求证：AD 一半等于APD的度数
D P
B
A
E
C
圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数
推论1：同弧（或等弧）上的圆
周角相等。 同圆或等圆中，相等的圆周角
所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）上的
圆周角等于90度。 反之， 90度的圆周角所对的 弦为直径。
例1、如图，AD是ABC的高，AE是ABC 的外接圆直径，求证： AC AE AD AB
圆周角定理
圆周角的定义：顶点在圆 周上且两边都与圆相交的角。 圆周角定理：圆上一条弧 所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半
⌒ 所对的圆 已知：如图，在⊙ O中，BC
周角和圆心角分别是 BAC，BOC， 1 求证：BAC BOC A 2
O C
B
(1)如图，圆心O在 BAC的一条边上
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∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
4.如图，AB是直径，则∠ACB=＿＿＿＿
C
90
度
A O
B
半圆Байду номын сангаас或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
24.1 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
辩一辩
图中的∠CDE是圆周角吗?
C E C C E D E D D
D E
C
画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角。 量一量它们之间有什么大小关系？你发现了 什么？有什么猜想？
综上所述，我们可以得到：
圆周角定理: 在同圆 或等圆 中，同弧 或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
思考:
在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
1.如图,在⊙O中，∠BOC=50°，求∠A的大小。
B C
A
●
O
解: ∠A
=
1
2
∠BOC = 25°。
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
C
6
A O P B
10
D
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40°
B
C
5.如图，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC 的大小？ A C
O
B
D
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6,以AB为直 径的半圆交BC于D，交AC于E，若∠DAC＝ 30°，则∠BAC＝＿＿＿，BD＝＿＿＿。
猜想: 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
分三种情况来证明： （1）圆心在∠BAC的一边上。
证明：∵OA=OC
∴ ∠A=∠C 又∵∠BOC= ∠A +∠C ∴∠BOC=2 ∠A 1 即∠A = ∠BOC
· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
小结:
1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫圆周角。
2.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆
周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等。 3. 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。 4.如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形．
A
O
E
B
D
C
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO= AB,
2 1
1 2
AB
C
A
2
A O B C
（2）圆心在∠BAC的内部。
证明:作直径AD。
A O
1 ∵∠BAD= ∠BOD 2 B C 1 ∠DOC D ∠DAC= 2 1 ∴∠BAD+∠DAC= 2（∠ BOD+∠DOC） 1 即: ∠BAC= 2 ∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部。 A
证明:作直径AD。 O 1 ∠DOB ∵∠DAB= 2 C D 1 ∠DOC ∠DAC= B 2 1（∠DOC-∠DOB） ∴ ∠DAC-∠DAB= 2 1 ∠BOC 即: ∠BAC= 2