圆周角定理

· O
B
∴AO=BO=CO. ∴点C在⊙O上. 又∵AB为直径, ∴∠ACB=
1 2
×180°= 90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
小结:
1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和
圆相交的角叫圆周角。
2.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆
周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等。 3. 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。 4.如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形．
24.1 圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
辩一辩
图中的∠CDE是圆周角吗?
C E C C E D E D D
D E
C
画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角。 量一量它们之间有什么大小关系？你发现了 什么？有什么猜想？
A
O
E
B
D
C
练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.） 已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线， 且CO= 求证： △ABC 为直角三角形.
证明： 以AB为直径作⊙O， ∵AO=BO， CO= AB,
2 1
1 2
Leabharlann BaiduAB
C
A
综上所述，我们可以得到：
圆周角定理: 在同圆 或等圆 中，同弧 或等弧 所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半。
思考:
在同圆或等圆中，
相等的圆周角所对的弧相等吗?
1.如图,在⊙O中，∠BOC=50°，求∠A的大小。
B C
A
●
O
解: ∠A
=
1
2
∠BOC = 25°。
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
C
6
A O P B
10
D
练习:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两 点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
D
A
O 40°
B
C
5.如图，OA⊥BC，∠AOB＝50°，试确定∠ADC 的大小？ A C
O
B
D
6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝6,以AB为直 径的半圆交BC于D，交AC于E，若∠DAC＝ 30°，则∠BAC＝＿＿＿，BD＝＿＿＿。
D
∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
3.如图，∠A是圆O的圆周角， ∠A=40°，求∠OBC的度数。
4.如图，AB是直径，则∠ACB=＿＿＿＿
C
90
度
A O
B
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90度的圆周角所对的弦是直径。
例: 如图，AB是⊙O的直径AB=10cm, 弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D . 求 BC, AD ,BD 的长.
2
A O B C
（2）圆心在∠BAC的内部。
证明:作直径AD。
A O
1 ∵∠BAD= ∠BOD 2 B C 1 ∠DOC D ∠DAC= 2 1 ∴∠BAD+∠DAC= 2（∠ BOD+∠DOC） 1 即: ∠BAC= 2 ∠BOC
（3）圆心在∠BAC的外部。 A
证明:作直径AD。 O 1 ∠DOB ∵∠DAB= 2 C D 1 ∠DOC ∠DAC= B 2 1（∠DOC-∠DOB） ∴ ∠DAC-∠DAB= 2 1 ∠BOC 即: ∠BAC= 2
猜想: 同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半。
圆周角和圆心角的关系
提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
（1） 折痕是圆周角的一条边， （2） 折痕在圆周角的内部， （3） 折痕在圆周角的外部。
分三种情况来证明： （1）圆心在∠BAC的一边上。
证明：∵OA=OC
∴ ∠A=∠C 又∵∠BOC= ∠A +∠C ∴∠BOC=2 ∠A 1 即∠A = ∠BOC