三角形内心-奔驰定理1

三角形“四心”的向呈表示及运用

——奔驰定理

平面向量有一个非常优美的结论： 已知点O 为ABC ∆内一点，则S S S 0BOC AOC AOB OA OB OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅=，

网络称为平面向量的“奔驰定理”．

本文将给出平面向量“奔驰定理”的一种证明，并给出点

O

在ABC ∆外的结论．在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示

及其运用示例．

一、两个定理

定理1：设点O 是ABC ∆内一点且∆∆∆=123S :S :S ::BOC

AOC AOB k k k ，

则123=0k OA k OB

k OC ++．

证明：如图，设=-0A OA '，

过A '作OC 的平行线交OB 于B '，过A '作OB 的平行线交OC 于

C '，则OA OB OC '''=+。

2

1

k

OB k B OC A OC AOC BOC BOC BOC S S S OB

S S S ''∆∆∆∆∆∆'

=

===

所以2

1k OB k OB '=， 同理3

1

k OC k OC '=

所以2311

k k -OA k k OB OC =

+

即123k OA k k 0OB

OC ++=

定理2：设O 是ABC ∆外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧，若123

S :S :S ::BOC

AOC AOB k k k ∆∆∆=，则123-k OA k k 0OB

OC ++=．

证：过A 作OC 的平行线交OB 于B '，过作OB 的平行线交OC 于

C '，则OA OB OC ''=+．

2

1

k OB k B OC AOC BOC BOC S S OB S S '∆∆∆∆'

===。

所以2

1k OB OB k '=。

同理

21

k OC OC k '=

。

所以23

11

k k OA k k OB OC

=+

即123-k OA k k 0OB

OC ++=

特别：当点O 在ABC ∆的某一边上，不妨设O 在BC 边上（不与B 、C 重合）则相当于1

0k =，上面定理仍然成立。

二、三角形的四心”及其向量表示

1．三角形的重心

(1)定义：三条边上的中线的交点。 (2)设O 是ABC ∆的重心，则

①设、、D E F 分别是边、、BC AC AB 的中点，则

:::2:1AO OD BO OE CO OF ===。

②0OA OB OC ++=。

证：重心必在三角形内。

1

S S S S S :S :S 1:1:13

BOC AOC AOB

ABC BOC AOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆===⇒=。 结合定理1可得结论。

注：还有其他证明方法，各位思考一下看看。

③点O 的坐标为⎛⎫

++++ ⎪ ⎪⎝⎭

,33

x x x y y y a

b c a b c ＠推论l ：、、D E F 分别是边，，BC AC AB 的中点则

++=AD BE CF O

推论2：P 是∆ABC 所在平面内任意一点则 0是∆ABC 的重心()

⇔++1

3

PA PB PC

2．三角形的外心

(1)定义：三角形外接圆的圆心，三边中垂线的交点

(2))0是∆ABC 的外心⇔==B OA O OC

(或==2

2

2

OA OB OC ) (3)O 是∆ABC 的外心，则

⋅+⋅+⋅=sin2sin2sin20A OA B OB C OC

证：∆∆∆=∠∠∠::::BOC AOC AOB S S S sin BOC sin AOC sin AOB

当0在∆ABC 内时，有

∆∆∆=∠∠∠::::BOC AOC AOB S S S sin BOC sin AOC sin AOB

由定理1有

⋅+⋅+⋅=sin2sin2sin20A OA B OB C OC

当0在∆ABC 外（不妨设A 点和点0位于直线BC 两侧）时，有

∠∠∠::=-sin2:sin2:sin2sin BOC sin AOC sin AOB A B C

由定理2有⋅+⋅+⋅=2220sin A OA sin B OB sin C OC 3．三角形的内心

(1)定义：三角形内切圆的圆心即三个角的角平分线的交点

(2)设∆ABC 的角A B C ，，所对边分别为a b c ，， 若0是∆ABC 的内心，则0aOA bOB cOC ++= 证：内心0一定在∆ABC 内部，设内切圆半径为r 则S

由定理l 可得结论。

4．三角形的垂心

(1)定义：三角形三条高线的交点

(2)若0是∆ABC (非直角三角形）的垂心，则

0tanA OA tanB OB tanC OC ⋅+⋅+⋅=

证：当∆ABC 为锐角三角形，即0在∆ABC 内部时

先证::::BOC AOC AOB S S S tanA tanB tanC ∆∆∆=

因为90BOD ADE ADE OAE ∠=∠∠+∠=︒，，

所以， 同理， 所以， 所以；

同理． 所以

1

sin sin cos tan 21sin cos tan sin 2BOC AOC

OB

OC BOC

S OB A OB A A

S

OA B OA B B OA OC AOC ⋅∠===⋅∠

90BOD DAE ∠+∠=︒90COD OAF ∠+∠=︒180BOC A ∠+∠=︒sin sin BOC

A ∠=sin AOC s sin AO

B sin

C ∠=∠=inB ，