机械结构有限元分析第二章课后答案 哈工大

ε = [ε x
εy
εz
γ xy
γ yz
γ zx ]
T
⎡ ∂u =⎢ ⎣ ∂x
∂v ∂y
∂w ∂z
∂v ∂u + ∂x ∂y
∂w ∂v + ∂y ∂z
∂u ∂w ⎤ + ∂z ∂x ⎥ ⎦
T
物理方程：研究应力与应变关系的方程式。
[σ
x
σy
σ z τ xy τ yz τ zx ] = D[ε x
T
εy
' '
上有剪应力 τ zx +
∂τ zx dz .由于所取的六面体是微小的，其 xy 面上所受的应力可以认为是均匀的， ∂z
且作用在各面的中心。另外，若微小六面体除应力之外，还作用有体积力，那么也认为体积力是均 匀分布的，且作用在微元体的体积中心。在 x 方向上，根据平衡方程
ww 课 w. 后 ha 答 ck 案 sh 网 p. cn
2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u ∂ 3v + = + = 2c − 2b ∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y 2 ∂y∂x 2
∂ 2 γ xy ∂x∂y
= 2c − 2b
2 2 ∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy 所以满足 的相容方程 + = ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2
2.10 一具有平面应力场的物体，材料参数为 E、v。有如下位移场
整理得
∂σ x ∂τ xy + +X =0 ∂x ∂y
同理可得 y 方向的平衡微分方程，即
⎧ ∂σ x ∂τ yx + +X =0 ⎪ ∂y ⎪ ∂x ⎨ ⎪ ∂τ xy + ∂σ y + Y = 0 ⎪ ∂y ⎩ ∂x ∵ ∑ M AA' = 0 ∴ σ x dydz ∂τ xy ⎞ ∂σ y ⎞ ⎛ ∂σ x ⎞ dy ⎛ dy ⎛ dx ⎟ ⎜ − ⎜σ x + dx ⎟dydz + ⎜ τ + dx dydzdx + σ + dy ⎟ dxdz xy y ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎝ 2 ∂x ∂x ∂y ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ∂τ yx dx ⎛ −⎜ τ yx + ⎜ 2 ⎝ ∂y ⎞ ⎟ ⎟dxdzdy = 0 ⎠
习题二
2.1 解释如下概念：应力、应变、几何方程、物理方程、虚位移原理 。
答：应力：指该截面上内力在该点处的集度。在截面处取一微小面积 ∆A ，假设作用在 ∆A 上分布的 内力的合力为 ∆F ，则 T = lim
∆F ， T 就是该点处的应力。 ∆A→0 ∆A
应变：对于微分单元体的变形，可分为两部分，棱边长度的伸长（或缩短）量为正应变，两棱 边间夹角的改变量为剪应变。 几何方程：应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程。
Tn = 5.5MPa
2 τ n = Tn2 − σ n = 3.2 MPa
⎡20 10 10 ⎤ ⎥ 2.7 一点的应力如下 σ = ⎢ ⎢10 20 10 ⎥ MPa 求主应力和每一个主应力的方向余弦；求 ⎢ ⎣10 10 20⎥ ⎦
该点的最大剪应力。
解
2 2 2 2 2 2 σ3 − （σ x + σ y + σ z）σ 2 + (σ xσ y +σ yσ z + σ zσ x −τ xy −τ yz −τ zx )σ − (σ xσ yσ z − 2τ xyτ yzτ zx −σ zτ xy −σ xτ yz −σ yτ zx )
∂v =0 ∂x
得 σ 1 = 40 MPa σ 2 = σ 3 = 10 MPa
w = (4 + bx 2 ) × 10 2
∂w = 2bx × 10 2 ∂x ∂w =0 ∂y
∂v = 3z × 10 2 ∂y
∂v = 3 y × 10 2 ∂z
∂w =0 ∂z
εy =
∂v = 6 × 10 2 ∂y
− σ y dxdz
展开后，略去四阶微量，整理后得到 τ xy = τ yx 。
2.5 如图，被三个表面隔离出来的平面应力状态中的一点，求σ和 τ 的值。
解： σ α = σ x cos α + σ y sin α − 2τ xy sin α cos α
30 =
− 40 + σ − 40 − σ + cos(−2 × 45 � ) + 20 sin( −2 × 45 � ) 2 2
σ = 140 MPa
τ=
20 − (−40) sin(−2 × 45 � ) + 20 cos 2(−2 × 45 � ) = −30MPa 2
⎡6 4 0⎤ ⎥ 2.6 相对于 xyz 坐标系，一点的应力如下 σ = ⎢ ⎢4 − 3 0⎥ ，某表面的外法线方向余弦 ⎢ ⎣ 0 0 3⎥ ⎦
n x = n y = 6 / 11 ， n z = 7 / 11 ，求该表面的法向和切向应力。
∆u y ∆u x ，在 y 方向上有一个 ∆u y 的伸长量,则 ε y = ；剪 ∆x ∆y ∆u y ∆x + ∆u x 。 ∆y
应变定义为微分单元体棱边之间夹角的变化，即 γ xy =
2.4 推导平面应力平衡微分方程。
解：
假定有一物体在外力作用下处于平衡状态。从中取出一微小正六面体进行研究，其棱边尺寸分 别为 dx,dy,dz。在 AA'D'D 面上有正应力 σ x ，在面 BB'C'C 上有正应力 σ x + 上有剪应力 τ yx ， 在面 DCC D 上有剪应力 τ yx +
σy =
⎛ ∂v ∂u ⎞ 4v ⎡⎛ 3aE Eb ⎞ 2 ⎛ ⎞ 2⎤ ⎜ ⎜ ∂y + µ ∂x ⎟ ⎟ = 4v − E ⎢⎜ c + 2v − 3a ⎟ x − ⎜ 3d + 2v − b ⎟ y ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎝ ⎝ ⎠
τ xy =
E ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎜ + ⎟ ⎟ = 2vxy(c − b ) 2(1 + µ ) ⎜ ∂ x ∂ y ⎝ ⎠
解：正应力 σ n = n x σ x + n y σ y + n z σ z + 2n x n yτ xy + 2n y n zτ yz + 2n z n xτ zx
2 2 2
σ n =4.5MPa
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2 2
Tn = (
6 6 6 6 7 × 6 + × 4) 2 + ( × 4 + × (−3)) 2 + ( × 3) 2 11 11 11 11 11
∂τ yx ∂y ∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y +Y = 0
∂σ x dx ，在 AB B' A'面 ∂x
' ' ' ' 在 A B C D 面上有剪应力 τ zx ， 在面 ABCD dy ，
∑F
x
= 0 ，有
∂τ yx ⎞ ⎛ ∂σ x ⎞ ⎛ dx ⎟dydz − σ x dydz + ⎜ τ + dy ⎟ ⎜σ x + yx ⎜ ⎟dxdz − τ yx dxdz + Xdxdydz = 0 ∂x ∂ y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
εz
γ xy
γ yz
γ zx ]
T
式中， D —弹性矩阵，是一个常数矩阵。 虚位移原理：一个弹性体在外力和内力作用下处于平衡状态，则对于任何约束允许的虚位移来 说，外力所做的虚功等于内力的虚功。
2.2 说明弹性力学中的几个基本假设。
答：弹性力学中的几个基本假设有：
（1）连续性假定，指假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。 （2）完全弹性假定，指假定物体服从胡克定律，即应变与引起该应变的应力成正比。 （3）均匀性假定，指假定整个物体是由同一材料组成的。
其中，a、b、c、d 是常量，求 σ x 、 σ y 和 τ xy ；讨论位移场的相容性
解：由 u ( x, y ) = ax − bxy
3 2
得 ε xx =
∂u ∂u = 3ax 2 − by 2 ， = −2bxy ∂x ∂y
由 v( x, y ) = cx y − dy
2
3
得 ε yy =
∂v ∂v = cx 2 − 3dy 2 ， = 2cxy ∂x ∂y
σy =
τ xy =
E ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎜ + ⎟ ⎟ = 82.62MPa 2(1 + µ ) ⎜ ⎝ ∂x ∂y ⎠
则可以知道相容
2.11 对于一个没有任何体积力的薄圆盘，处于平面应力。其中
σ x = ay 3 + bx 2 y − cx 、 σ y = dy 3 − e 、 τ xy = fxy 2 + gx 2 y − h a、b、c、d、e、f、g、h 是
解：
∂u = 60 x − 30 x 2 y ∂x ∂v = 20 x + 20 y 3 ∂x
∂u = 60 y 2 − 10 x 3 ∂y ∂v = 60 xy 2 + 10 y ∂y
σx =
E 1− µ 2 E 1− µ 2
⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎜ ⎜ ∂x + µ ∂y ⎟ ⎟ = 705.9MPa ⎝ ⎠ ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎜ ⎜ ∂y + µ ∂x ⎟ ⎟ = 254MPa ⎝ ⎠
u (x, y ) = 30 x 2 − 10 x 3 y + 20 y 3
当 x = 0.050m 、 y = 0.020m 时，求物体的应力和应变。位移场是否相容？