自然科学可逆矩阵
【国家自然科学基金】_可逆矩阵_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
科研热词 推荐指数 循环矩阵 2 零填充正交频分复用系统 1 自适应控制 1 自由漂浮空间机器人 1 脑电信号 1 群逆 1 群对合矩阵 1 组合 1 笛卡儿空间 1 离散余弦变换 1 相关运算 1 盲源分离 1 盲信号分离 1 癫痫 1 特征提取 1 水声通信 1 欠定混合 1 有限域 1 无损编码 1 扩散结构 1 广义相关系数 1 对合矩阵 1 密码学 1 失谐腔 1 基本三角可逆矩阵 1 块时间递归并行格型结构 1 块循环矩阵 1 图像加密 1 回声状态网络 1 后非线性混叠 1 可逆 1 单行基本可逆矩阵 1 力光系统 1 前置非线性(prenl) 1 分组密码 1 分支数 1 准循环低密度奇偶校验码 1 冷却 1 关节空间 1 光声转移 1 信道编码 1 互信息 1 三次幂等矩阵 1 u-正交变换 1 lyapunov方法 1 gabor分析窗 1 0-1矩阵 1
amold置乱 a-wey1定理 8位可逆乘法器
1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
可逆矩阵教案
可逆矩阵教案第一篇：可逆矩阵教案§1.4 可逆矩阵★ 教学内容：1.2.3.4.★ 教学课时：100分钟/2课时。
★ 教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。
★ 教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。
可逆矩阵的概念；可逆矩阵的判定；利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；可逆矩阵的性质。
★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。
1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。
2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为A。
3.可逆矩阵的例子：（1）例1 单位矩阵是可逆矩阵；（2）例2 A=-1⎛10⎫⎛10⎫，B=⎪⎪，则A可逆；11-11⎝⎭⎝⎭⎛100⎫⎪（3）例3 对角矩阵A=020⎪可逆；003⎪⎝⎭⎛111⎫⎛1-10⎫⎪⎪（4）例4 A=011⎪，B=01-1⎪，则A可逆。
001⎪001⎪⎝⎭⎝⎭4.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A和A是同阶方阵；-1（3）可逆矩阵A的逆A也是可逆矩阵，并且A和A互为逆矩阵；（4）若A、B为方阵，则AB=E⇒A=B。
二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：-1-1-1⎛11⎫例5 A=⎪不可逆；00⎝⎭例6 A=⎛12⎫⎪不可逆；⎝24⎭2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论ai1As1+ai2As2+⎧D,i=s(i=1,2,n,，)+ainAsn=⎨0,i≠s⎩⎧D,j=t(j=1,2,+anjAnt=⎨⎩0,j≠tA21A2 2A2nAn1⎫⎛A⎪An2⎪0=⎪⎪Ann⎭⎝00A0,n)； a1jA1t+a2jA2t+ 2）写成矩阵乘法的形式有：⎛a11 a21 ⎝an1a12a22an2a1n⎫⎛A11⎪a2n⎪A12⎪⎪ann⎭⎝A1n 0⎫⎪0⎪=AE ⎪⎪A⎪⎭3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设Aij式是A=(aij)n⨯n的行列式中aij的代数余子式，则⎛A11 A*A=12 ⎝A1n称为A的转置伴随矩阵。
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义1. 定义阐述- 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB = BA=E（E为n阶单位矩阵），则称矩阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记作B = A^-1。
例如，对于二阶矩阵A=begin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}，若ad - bc≠0，则A可逆，其逆矩阵A^-1=(1)/(ad - bc)begin{pmatrix}d& - b-c&aend{pmatrix}。
2. 可逆矩阵的唯一性- 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
假设B和C都是A的逆矩阵，那么AB = BA = E且AC=CA = E。
由B = BE=B(AC)=(BA)C = EC = C，可证得逆矩阵的唯一性。
二、可逆矩阵的性质1. 基本性质- 若A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。
因为A与A^-1满足AA^-1=A^-1A = E，所以A^-1的逆矩阵就是A。
- 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
证明如下：(AB)(B^-1A^-1) = A(BB^-1)A^-1=AEA^-1=AA^-1=E，同理(B^-1A^-1)(AB)=E。
- 若A可逆，k≠0为常数，则kA可逆，且(kA)^-1=(1)/(k)A^-1。
因为(kA)((1)/(k)A^-1)=k×(1)/(k)(AA^-1) = E，同理((1)/(k)A^-1)(kA)=E。
2. 与行列式的关系- 矩阵A可逆的充要条件是| A|≠0。
当| A| = 0时，称A为奇异矩阵；当| A|≠0时，称A为非奇异矩阵。
例如，对于三阶矩阵A=begin{pmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{pmatrix}，计算其行列式| A|=0，所以A不可逆；而对于矩阵B=begin{pmatrix}1&0&00&2&00&0&3end{pmatrix}，| B| = 6≠0，则B可逆。
可逆矩阵知识点总结
可逆矩阵知识点总结一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是指一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，那么我们称A是可逆的，B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
换句话说，如果一个n阶方阵A的行列式det(A)不等于零，则该矩阵A是可逆的，即存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I。
我们知道，单位矩阵I是一个对角线上元素均为1，其余元素均为0的n阶方阵。
二、可逆矩阵的性质1. 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的在可逆矩阵中，如果存在逆矩阵B，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为假设还有一个逆矩阵B'也满足AB'=B'A=I，那么可以证明B=B'。
这个性质在证明逆矩阵的存在时非常重要。
2. 可逆矩阵的转置矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的转置矩阵A^T也是可逆的，并且(A^T)^-1 = (A^-1)^T。
3. 可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A。
4. 可逆矩阵的乘积是可逆的如果两个矩阵A和B都是可逆的，那么它们的乘积AB也是可逆的，且(AB)^-1=B^-1A^-1。
5. 可逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵还是它本身如果一个矩阵A是可逆的，那么它的逆矩阵A^-1的逆矩阵还是它本身，即(A^-1)^-1=A。
6. 可逆矩阵的乘法满足结合律如果三个矩阵A、B、C都是可逆的，那么它们的乘法满足结合律，即(AB)C=A(BC)。
三、可逆矩阵的判定定理在求解一个矩阵是否可逆时，我们需要有一个判定的定理，这就是可逆矩阵的判定定理。
1. 矩阵可逆的判定公式对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，即det(A)≠0，则矩阵A可逆。
这是最基本的判定定理，也是我们最常用的方法。
2. 矩阵可逆的充分必要条件对于一个n阶方阵A，它的行列式不等于0，则矩阵A可逆。
反之，如果一个n阶方阵A可逆，则其行列式也不等于0。
3. 矩阵可逆的另一种判定法对于一个n阶方阵A，如果它的秩等于n，则矩阵A可逆。
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
可逆矩阵的概念
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆 且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
0 3 3 练习 已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B． 求矩阵 ． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0
第09节-可逆矩阵
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1
A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,
可逆矩阵一PPT课件
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
§1.5 可逆矩阵
A −1 = O
O −1 B
第 一 章 矩 阵
A1 H 推广 ： =
− A1 1 则 H −1 =
A2 其中 Ai 为 ni 阶可逆矩阵 O At
−1 A2 O At−1
证明： Q AT ( A−1 )T =( A−1 A)T = E
( 3) 如果矩阵 A 可逆，则对于非零常数 k ，kA 也可逆 ，并且 可逆， 1 ( kA) −1 = A−1 k 1 (4) 如果矩阵 A 可逆，则 det A−1 = 可逆， det A
A C ，其中 A，B 分别为 s 阶与 r 阶可逆 例 5 设有分块矩阵 H = O B 矩阵 ，C 为 s × r 矩阵 ，O 为 r × s 零矩阵 ，试证 ：H 可逆 ，并求 H −1
(1) 如果 A, B 均为 n 阶可逆矩阵 ，则 AB 也可逆 ，并且
第 一 章 矩 阵
( AB )−1 = B −1 A−1 证明： Q ( AB ) ⋅ ( B −1 A−1 ) = A( BB −1 ) A−1 = AA−1 = E
( 2) 如果矩阵 A 可逆，则其转置矩阵 AT 也可逆 ，并且 ( AT )−1 = ( A−1 )T 可逆，
Z A C XA XC + ZB E s = E 即 = Y O B WA WC + YB O
O Er
XA = E s WA = O 即 XC + ZB = O WC + YB = E r −1 −1 A ∴ H = O
1
则 AB = BA = E
∴ B = BE = B( AB1 ) = ( BA) B1 = EB1 = B1 ( 3) 若 B 是 A 的逆矩阵 ，则 A 也是 B 的逆矩阵
浅析可逆矩阵的相关结论及应用
Ａ～，而不能写成÷ 。本文中所提矩阵 Ａ如果没有特别说明， Ａ
都是指 Ｉ ｔ阶方 阵 Ａ。） 二 、与 可 逆 矩 阵 相 关 的 结 论 这一部分分 别 给 出矩 阵 可逆 与 行列 式 、矩阵 的秩 、向量
组 、线 性方程组 、特征值 的关 系。 １．与行 列 式 的 关 系
方 阵 Ａ可逆 的充分必 要条件 是 ＩＡ Ｉ。 （当 Ａ可逆 时 ，可利
关 键 词 ：可逆 矩 阵 ；行 列 式 ； 矩 阵 的秩 ；线 性 方 程组 ；特 征值
一 、 可 逆 矩 阵 的 定 义 设 Ａ为 Ｉ ｔ阶方阵 ，若存在 ｎ阶方 阵 Ｂ，满足 ＡＢ＝ＢＡ：Ｅ，则 称矩阵 Ａ是可逆的 ，日为 Ａ的逆矩阵 ，记 为 Ａ～ ＝Ｂ，这里 Ｅ表 示单位矩 阵。（关 于可逆矩 阵 ，给 出如下说 明 ：可逆 矩阵 又可 称为非退化矩 阵 ，非 奇异矩 阵 ，满秩 矩 阵；可 逆 的定义 是相 对 的 ，即若 曰为 Ａ的逆 ，则 Ａ也为 的 逆 ；可 逆矩 阵 的记 法 为
Ａ 的特征值分别为 Ａ ～， ～，… ，Ａ 一。
三 、可 逆 矩 阵 的 应 用
针对 以上结论 ，这一部分 ，我们通过一 些习题来 看可逆矩
阵 的 应 用 。
１．设 Ａ是 Ｉ１阶可逆矩 阵，Ａ 是 Ａ的伴随矩阵 ，则 （ ）。
（Ａ）ＩＡ Ｉ＝ｌＡｌ“ （Ｃ）ｆＡ Ｉ＝ ＩＡｌ
（Ｂ）ＩＡ Ｉ＝ＩＡｌ （Ｄ）ｌＡ ｆ＝ＩＡ ｆ
矩阵 的特征值之一是 （ ）。
（Ａ）入 ＩＡｌ“
（Ｂ））Ｌ ＩＡＩ
（Ｃ） ＩＡＩ
（Ｄ） ＩＡｌ”
解析 ：此题考查矩 阵可逆 与特 征值 的关 系 ，以及特 征值 的
性质 。首先 ，由 Ａ可逆可得 Ａ的特征值均为非零的。进一步 ，
[自然科学]31可逆矩阵_OK
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0 A2T ...
0
... ... ... ...
0
0
... AsT
若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵
均可逆，则矩阵A也可逆，且
☞ A1
A11 0 ...
0
0 A21 ...
0
... ... ... ...
0
0
... As1
2021/8/28
25
A1 0 ... 0
☞
A
0 ...
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E)
2021/8/28
10
16
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆，
证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A
(E BA1)A(A B)
(A B)(A B)[ A2 B2]
2021/8/28
13
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆，
( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1
解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1
[E B( A1)T ][( A B) A1]1
[E B( AT )1]A( A B)1
| A1 |
1 | A|
可逆矩阵
§3 可逆矩阵若方阵 A 的逆阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。
一、可逆矩阵的定义及性质定义3.1 设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，简称为A 的逆，记为B= A-1 。
如果A 是可逆矩阵，那么A 的逆是唯一的。
这是因为当B ，C 都是A 的逆时，有AB=BA=E=AC=CA ，B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。
可逆矩阵的性质：1 、 =A ；2 、如果A 可逆，数λ≠0 ，那么( A)-1= A-1 ；3 、如果A 可逆，那么,A T 也可逆，而且( AT )-1=( A-1)T ；4 、如果A ，B 皆可逆，那么AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A-1 。
两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。
二、矩阵的标准形定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵B ，就称A 行（列）等价于 B 。
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵 A 等价于矩阵 B ，记为。
矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：1 自反律；2 对称律如果那么；3 传递律如果，，那么，。
在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。
因此矩阵的等价是一种等价关系。
定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。
定理3.2 任何一个矩阵A 都行等价于一个阶梯形矩阵。
定义3.4 一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。
定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。
定理3.4 任何一个非零矩阵A ∈Mm ×n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：= ,1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形。
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
可逆矩阵
A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E
第三章 可逆矩阵(第一讲)
1 0 0 2 1 0 3 2 2 X 5 1 1 1 0 3 1 0 1 , 0
求矩阵X .
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解 设
1 A 0 0 2 1 0 3 2 2 , B 5 1
对上式的两端取行列式，得 |P1 P2… Ps|| A|| Q1 Q2…, Qt|=1, 可见|A| ≠0，故A可逆.
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定理2.5 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有 限个初等矩阵的乘积. 证明 必要性.由定理2.4的证明中 P1 P2… Ps A Q1 Q2…, Qt=E, 可得 A = P1-1 P2-1… Ps-1 Q1-1 Q2-1…, Qt-1 , 即A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.
性质2 若A可逆，则 A 亦可逆，且
(A
1
1
)
1
A.
证明 由定义1.1，性质2显然成立. 性质3 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且
λA
1
1 λ
A .
1
证明 由AA-1 = A-1A = E,便有
( k A )( 1 k A )(
1
1 k
A )( k A ) E .
1 1 , C 0 3 1
0 1 , 0
则上式变成:
AXB = C
因 为 A 1 0, B 1 0 . 所 以 A , B 均 存 在 ， 且
1 1
A
1
1 0 0
2 1 0
1 3 1 2 ,B 5 1
1 0 0
0 1 0
0 2 1
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一、可逆矩阵的定义
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使
得
AB=BA=E
恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－1 = B 。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
证明：(E A（) E A A2 ... Ak1） (E A A2 ... Ak1）(E A) (E A A2 ... Ak1）
(A A2 ... Ak） E Ak E
例5.设矩阵A可逆，求证A*也可逆， 并求( A*)1.
证：Q A可逆，有 A 0 由公式 A* A AA* A E
非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。
2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1
证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T
同理 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E
补充： 分块矩阵的逆
一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型
矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
A11 A12 ... A1s
A
A21 ...
A22 ...
... ...
A2 s ...
Ar1 Ar2 ... Ars
B11 B12 ... B1s
B
B21 ...
B22 ...
... ...
2 3
3
0 1
3 5
1 2
1
0 0
1
2 2
3 5
1 2
2
10 10
1
4 4
.
例10.已知A2 3A 10E O，证明: A和A 4E都可
逆，并求出它们的逆矩阵
证明：A( A 3E) 10E A A 3E E 10
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E) 10
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
(C) AB A B
(D) ( A B)1 B1 A1
1
例9.已知A
2 3
有 A* A A A* E， A*可逆 AA
且 ( A*)1 1 A A
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆， ( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1 解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1 [E B( A1)T ][( A B) A1]1 [E B( AT )1]A( A B)1 (E BA1)A(A B) (A B)(A B)[ A2 B2]
故 | A| ≠0且| B| ≠0，A、B均可逆，
且 A－1=B
三、可逆矩阵的性质
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0 证明：∵ A可逆 ∴ A A－1 = A－1 A = E 故 | A|| A－1 |=1， 即 | A| ≠0 同时还有
| A1 |
1 | A|
奇异矩阵与非奇异矩阵：
若n方阵Ａ的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为
0 0
1 0
2 1
3 2
，求：A1
0 0 0 1
1 2 1 0
解：A
1，A*
0 0
1 0
2 1 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
所以 A1
1 A
A*
0 0
0
1 0 0
2 1 1 2 0 1
例4.如果Ak 0，那么 (E A)1 E A A2 ... Ak1
2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
An1
An2 ... Ann
2 2 4
3
1 3
,
B
2 5
1 3
1
,
C
2 3
3 10 ,
求矩阵X使满足 AXB C.
解：Q
A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
2 0, B
2 5
1 3
1
0,
A,
B
1
均可逆，且
A1
3 1
2
3 3 1
2
52 1
,
B1
3 5
1 2
,
1
故：X
A1CB 1
3 1
2
3 3 1
2 1
52 1
其中Aij是矩阵 A的元素aij的代数余子式。
证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘
法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
A( 1 A*) ( 1 A*) A E 故 : A1 1 A*
| A|
| A|
| A|
3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明：∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
B2 s ...
Br1 Br2 ... Brs
即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆， 证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A 证：(E BA)[E B(E AB)1 A]
E BA (E BA)B(E AB)1 A E BA (B BAB)(E AB)1 A E BA B(E AB)(E AB)1 A E BA BA E
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
a1
例1.设A
...
an
且a1...an
0
，求：A1
1
解：B
a1
...
且
有 AB BA En
1
an
所以 A1 B
例2.设A
3 0
1 2
，求A1.
解：A
6，A*
2 0
31
1 1
A1
1 A
A*
3
0
6 1
2
1 2 3 4
例3.设A