自然科学可逆矩阵
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证明：(E A（) E A A2 ... Ak1） (E A A2 ... Ak1）(E A) (E A A2 ... Ak1）
(A A2 ... Ak） E Ak E
例5.设矩阵A可逆，求证A*也可逆， 并求( A*)1.
证：Q A可逆，有 A 0 由公式 A* A AA* A E
0 0
1 0
2 1
3 2
，求：A1
0 0 0 1
1 2 1 0
解：A
1，A*
0 0
1 0
2 1 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
所以 A1
1 A
A*
0 0
0
1 0 0
2 1 1 2 0 1
例4.如果Ak 0，那么 (E A)1 E A A2 ... Ak1
2 3
3
0 1
3 5
1 2
1
0 0
1
2 2
3 5
1 2
2
10 10
1
4 4
.
例10.已知A2 3A 10E O，证明: A和A 4E都可
逆，并求出它们的逆矩阵
证明：A( A 3E) 10E A A 3E E 10
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E) 10
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
An1
An2 ... Ann
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆， 证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A 证：(E BA)[E B(E AB)1 A]
E BA (E BA)B(E AB)1 A E BA (B BAB)(E AB)1 A E BA B(E AB)(E AB)1 A E BA BA E
2 2 4
3
1 3
,
B
2 5
1 3
1
,
C
2 3
3 10 ,
求矩阵X使满足 AXB C.
解：Q
A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
2 0, B
2 5
1 3
1
0,
A,
B
1
均可逆，且
A1
3 1
2
3 3 1
2
52 1
,
B1
3 5
1 2
,
1
故：X
A1CB 1
3 1
2
3 3 1
2 1
52 1
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
a1
例1.设A
...
an
且a1...an
0
，求：A1
1
解：B
a1
...
且
有 AB BA En
1
an
所以 A1 B
例2.设A
3 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 2
，求A1.
解：A
6，A*
2 0
31
1 1
A1
1 A
A*
3
0
6 1
2
1 2 3 4
例3.设A
补充： 分块矩阵的逆
一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型
矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
A11 A12 ... A1s
A
A21 ...
A22 ...
... ...
A2 s ...
Ar1 Ar2 ... Ars
B11 B12 ... B1s
B
B21 ...
B22 ...
... ...
故 | A| ≠0且| B| ≠0，A、B均可逆，
且 A－1=B
三、可逆矩阵的性质
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0 证明：∵ A可逆 ∴ A A－1 = A－1 A = E 故 | A|| A－1 |=1， 即 | A| ≠0 同时还有
| A1 |
1 | A|
奇异矩阵与非奇异矩阵：
若n方阵Ａ的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为
第一节 可逆矩阵
一、可逆矩阵的定义
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使
得
AB=BA=E
恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－1 = B 。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
其中Aij是矩阵 A的元素aij的代数余子式。
证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘
法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
A( 1 A*) ( 1 A*) A E 故 : A1 1 A*
| A|
| A|
| A|
3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明：∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
有 A* A A A* E， A*可逆 AA
且 ( A*)1 1 A A
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆， ( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1 解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1 [E B( A1)T ][( A B) A1]1 [E B( AT )1]A( A B)1 (E BA1)A(A B) (A B)(A B)[ A2 B2]
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
(C) AB A B
(D) ( A B)1 B1 A1
1
例9.已知A
2 3
非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。
2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1
证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T
同理 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E
B2 s ...
Br1 Br2 ... Brs
即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和
(A A2 ... Ak） E Ak E
例5.设矩阵A可逆，求证A*也可逆， 并求( A*)1.
证：Q A可逆，有 A 0 由公式 A* A AA* A E
0 0
1 0
2 1
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，求：A1
0 0 0 1
1 2 1 0
解：A
1，A*
0 0
1 0
2 1 1 2
0 0 0 1
1 2 1 0
所以 A1
1 A
A*
0 0
0
1 0 0
2 1 1 2 0 1
例4.如果Ak 0，那么 (E A)1 E A A2 ... Ak1
2 3
3
0 1
3 5
1 2
1
0 0
1
2 2
3 5
1 2
2
10 10
1
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.
例10.已知A2 3A 10E O，证明: A和A 4E都可
逆，并求出它们的逆矩阵
证明：A( A 3E) 10E A A 3E E 10
所以A可逆，且A1 1 ( A 3E) 10
又( A 4E)( A E) 6E ( A 4E) A E E 6
2.若| A|≠0，则 A可逆，且
A1 1 A* A
a11 a12 ... a1n
A
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
an1 an2 ... ann
A11
A*
A12 ... A1n
A21 ... A22 ... ... ... A2n ...
An1
An2 ... Ann
所以A可逆，且( A 4E)1 1 ( A E) 6
例11.设A，B为n阶方阵，且E AB与E BA均可逆， 证明： (E BA)1 E B(E AB)1 A 证：(E BA)[E B(E AB)1 A]
E BA (E BA)B(E AB)1 A E BA (B BAB)(E AB)1 A E BA B(E AB)(E AB)1 A E BA BA E
2 2 4
3
1 3
,
B
2 5
1 3
1
,
C
2 3
3 10 ,
求矩阵X使满足 AXB C.
解：Q
A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
2 0, B
2 5
1 3
1
0,
A,
B
1
均可逆，且
A1
3 1
2
3 3 1
2
52 1
,
B1
3 5
1 2
,
1
故：X
A1CB 1
3 1
2
3 3 1
2 1
52 1
∴ (AＢ)－1=Ｂ－1 A－1
a1
例1.设A
...
an
且a1...an
0
，求：A1
1
解：B
a1
...
且
有 AB BA En
1
an
所以 A1 B
例2.设A
3 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 2
，求A1.
解：A
6，A*
2 0
31
1 1
A1
1 A
A*
3
0
6 1
2
1 2 3 4
例3.设A
补充： 分块矩阵的逆
一、分块矩阵的加法：设矩阵A、B是同型
矩阵，且 A 与 B 有相同的分块方法
A11 A12 ... A1s
A
A21 ...
A22 ...
... ...
A2 s ...
Ar1 Ar2 ... Ars
B11 B12 ... B1s
B
B21 ...
B22 ...
... ...
故 | A| ≠0且| B| ≠0，A、B均可逆，
且 A－1=B
三、可逆矩阵的性质
1.若 A 可逆，则 | A| ≠0 证明：∵ A可逆 ∴ A A－1 = A－1 A = E 故 | A|| A－1 |=1， 即 | A| ≠0 同时还有
| A1 |
1 | A|
奇异矩阵与非奇异矩阵：
若n方阵Ａ的行列式 | A| ≠0，称矩阵 A为
第一节 可逆矩阵
一、可逆矩阵的定义
设对于 n 阶方阵 A，若存在 n 阶方阵 B 使
得
AB=BA=E
恒成立，则称矩阵 A 可逆；B 称为 A 的逆矩阵，
记为 A－1 = B 。
二、可逆矩阵的判断
1.若矩阵 A可逆，则 A的逆矩阵是唯一的。 证明：设 A有两个逆矩阵B1、B2，则
B1= B1E = B1(AB2) = (B1A) B2 = EB2 = B2
其中Aij是矩阵 A的元素aij的代数余子式。
证明：由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘
法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又 |A| ≠0
A( 1 A*) ( 1 A*) A E 故 : A1 1 A*
| A|
| A|
| A|
3.对于n 阶方阵 A、B 若有 AB = E 则：A、B 均可逆，且它们互为可逆矩阵。 证明：∵ AB = E ∴ | A| | B | =1
有 A* A A A* E， A*可逆 AA
且 ( A*)1 1 A A
例6.已知A，B为 n 阶对称矩阵，且A可逆， ( A B)2 E，化简：(E A1BT )T (E BA1)1 解：(E A1BT )T (E BA1)1
[E T ( A1BT )T ]( AA1 BA1)1 [E B( A1)T ][( A B) A1]1 [E B( AT )1]A( A B)1 (E BA1)A(A B) (A B)(A B)[ A2 B2]
例7.设A为n阶可逆矩阵，则[D]
(A) A* A
(B) A* A1
(C) A* A n
(D) A* A n1
例8.设A，B为n阶矩阵，则[C]
(A) A B A B (B) AB BA
(C) AB A B
(D) ( A B)1 B1 A1
1
例9.已知A
2 3
非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。
2.如果A、B均可逆，那么AT与AB都可逆，且 (AT)－1＝(A－1)T (AB)－1＝B－1A－1
证明：∵ A、B均可逆 ∴ AA－1=A－1A＝E 故 (AA－1)T=(A－1)TAT＝ET=E ∴ (AT)－1=(A－1)T
同理 (AB)(B －1 A－1)＝ (B －1 A－1) (AB) ＝E
B2 s ...
Br1 Br2 ... Brs
即Aij与Bij有相同的列数与行数，则：A与B 的和