高三文科数学数列专题练习

高三文科数学数列专题练习

1. 已知数列{}()

n a n N *∈是等比数列,且130,2,8.n a a a >==

(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求证:

11111321<++++n

a a a a ； (3)设1log 22+=n n a

b ,求数列{}n b 的前100项和.

1. 解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q .

则由等比数列的通项公式1

1n n a a q -=得3131a a q -=,28

4,2

q ∴=

= 又()0,2

2n a q >∴=分

∴数列{}n a 的通项公式是()12223n n n a -=⨯=分.

()

123

23

1111211111112221222212

n

n n a a a a ++++

-⨯=

++++=

- ()11,2n

=-

6分

()11,117,2

n n ≥∴-<分

()123

111

118.

n

a a a a ∴

++++

<分 ()()()(){}()2132log 21219,212112,,

n n n n n b n b b n n b -=+=+-=+--+=⎡⎤⎣⎦∴由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分 ∴数列{}n b 的前100项和是()

10010099

1003210200122

S ⨯=⨯+

⨯=分

2.数列{a n }中，18a =，42a =，且满足21n n a a ++-=常数C (1)求常数C 和数列的通项公式； (2)设201220||||||T a a a =+++， (3) 12||||||n n T a a a =++

+,n N +∈

2．解：（1）C 2102n a n =＝－，－

125612567

12512567

20520(2)|||||||

|| =(+a )

=2()(++a ) =2S S =260

n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++++++

++++

+++

++｜－－－

(3)2

2

9 , 5

409, 5

n n n n T n n n ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩－－

3. 已知数列n n 2,n a =2n 1,n ⎧⎨⎩为奇数；

－为偶数；

， 求2n S

12321352124621352-1

2

()()2(14)(-1 2222)(3711)34

142

2(41) 23

n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a n n n n n =+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=++⋅=++－3.解：－）

（＋＋＋－－

4 .已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*

的两根,且

11=a .

(1) 求证: 数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⨯-

n n a 231是等比数列; (2) 求数列{}n b 的前n 项和n S .

4 .解：证法1: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*

的两根,

∴⎩⎨

⎧==+++.

,

211n n n n n n a a b a a

由n

n n a a 21=++,得⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯--=⨯-

++n n n n a a 23123111, 故数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⨯-

n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. 证法2: ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*

的两根,

∴⎩⎨

⎧==+++.

,211n n n n n n a a b a a

∵n

n n n n

n n n n a a a a 2

3

12

312231231111⨯-⨯--=⨯-⨯-+++1231231-=⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--=n n n n a a , 故数列⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⨯-

n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. (2)解: 由(1)得()1131231--⨯=⨯-

n n n a , 即()[]

n

n n a 1231--=. ∴()[]()[]

11112129

1+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]

1229

112---=

+n

n . ∴n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}

n

n 11122223

1232-++-+--++++=

()⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡----=+21122311n n .