高一数学必修一函数专题：奇偶性

高一数学必修一函数专题：奇偶性
第一部分：常见的奇函数和偶函数
常见奇函数：
第一种：n x x f =)(（n 为奇数）
例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(x
x x f ==-。

第二种：n x x f =)(（n 为奇数） 例：331
)(x x x f ==；5
15)(x x x f ==。

第三种：)sin()(x A x f ϖ=
例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。

第四种：)tan()(x A x f ϖ=
例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f -
-=；x x f tan 3)(=。

常见偶函数：
第一种：n x x f =)(（n 为偶数）
例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x
x x f ==-。

第二种：c x f =)(（c 为常数）
例：2)(=x f ；2
1)(-=x f 。

第三种：)cos()(x A x f ϖ= 例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(2
1)(x x f =；)cos()(x x f -=。

第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）
例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。

两种特殊的奇偶函数：
第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数
例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e
x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。

第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数 例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(3
13)(3)(x f x g x g x f x g x g x x x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。

)2ln()2ln(22ln
)(x x x x x f --+=-+=，假设：)2ln()(x x g +=)()()()2ln()(x g x g x f x x g --=⇒-=-⇒
)(x f ⇒是奇函数。

第二部分：奇偶函数的四则运算
加减规则：
规则一：奇函数相加减之后仍为奇函数。

规则二：偶函数相加减之后仍为偶函数。

规则三：既有奇函数，又有偶函数相加减之后为非奇非偶函数。

例：x
x x x x f 1tan 3)sin(2)(3--+-=，)sin(2x y -=是奇函数，x y tan 3=是奇函数，3x y =是奇函数， x
y 1=是奇函数)(x f ⇒是偶函数。

例：2|sin |1)cos(23)(22-+--+=x x x x x f ，23x y =是偶函数，)cos(2x y -=是偶函数，21x
y =是偶函数， |sin |x y =是偶函数，2=y 是偶函数)(x f ⇒是偶函数。

例：21)2cos(sin )(3+--+-=x
x x x x f ，x y sin -=是奇函数，)2cos(x y =是偶函数，3x y =是奇函数， x
y 1=是奇函数，2=y 是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。

乘除规则：
规则一：参与乘除的奇偶函数中奇函数个数为奇数，这个函数是奇函数。

规则二：参与乘除的奇偶函数中奇函数个数为偶数，这个函数是偶函数。

例：x
x x x x f tan )2sin(2)cos(3)(3-=，33x y =是奇函数，)cos(x y -=是偶函数，)2sin(2x y =是奇函数， x y tan =是奇函数，其中奇函数个数为3)(x f ⇒是奇函数。

例：)
cos(|||sin |)(32x x x x x f -=，2x y =是偶函数，|sin |x y =是偶函数，||3x y =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数， 其中奇函数个数为)(0x f ⇒是偶函数。

例：)
sin(2sin )(32x x x x x x f -+-=，分子：2x y =是偶函数，x y 2sin =是奇函数x x y 2sin 2=⇒是奇函数； 分母：3x y =是奇函数，x y =是奇函数，)sin(x y -=是奇函数)sin(3
x x x y -+-=⇒是奇函数，
分子分母中有2个奇函数)(x f ⇒是偶函数。

例：)
tan(sin 23)2cos(3)(32x x x x x x f -+-+-=，分子：23x y =是偶函数，)2cos(x y =是偶函数，3=y 是偶函数 3)2cos(32+-=⇒x x y 是偶函数；分母：3x y =是奇函数，x y sin 2=是奇函数，)tan(x y -=是奇函数 )tan(sin 23x x x y -+-=⇒是奇函数，分子分母中有1个奇函数)(x f ⇒是奇函数。

第三部分：构造奇偶函数
构造奇函数：
例题一：已知：函数22tan sin )(3+=x
x x x f ，2)1(-=f 。

计算：)1(-f 的值。

解答：3
x y =是奇函数，x y sin =是奇函数，x y 2tan =是奇函数⇒奇函数个数为3x x x y 2tan sin 3=⇒是奇函数， 2=y 是偶函数)(x f ⇒是非奇非偶函数。

假设：x
x x x g 2tan sin )(3=)(x g ⇒是奇函数，2)()(+=x g x f 。

⇒+=2)()(x g x f 4)1(22)1()1(-=⇒-=+=g g f 。

)(x g 是奇函数4)4()1()1(=--=-=-⇒g g 。

⇒+=2)()(x g x f 6242)1()1(=+=+-=-g f 。

例题二：已知：函数2
3tan )sin(3)(x x a x x x f -+--=，1)2(=-f 。

计算：)2(f 的值。

解答：33x y =是奇函数，)sin(x y -=是奇函数，x a y tan =是奇函数，2x y =是偶函数 )(x f ⇒是非奇非偶函数。

假设：x a x x x g tan )sin(3)(3+--=)(x g ⇒是奇函数，2
)()(x x g x f -=。

⇒-=2)()(x x g x f 5)2(14)2()2()2()2(2=-⇒=--=---=-g g g f 。

)(x g 是奇函数5)2()2(-=--=⇒g g 。

9452)2()2()()(22-=--=-=⇒-=g f x x g x f 。

【训练】：计算下列题目。

（Ⅰ）已知：函数1tan cos 3)(3
--=x x x x f ，2)(=a f 。

计算：)(a f -的值。

（Ⅱ）已知：函数22tan )2cos()(x x
a x x x f +=，2)1(=-f 。

计算：)1(f 的值。

构造偶函数： 例题一：已知：x x x x x f +=)
2cos(|sin |)(2，4)3(=f 。

计算：)3(-f 的值。

解答：2
x y =是偶函数，|sin |x y =是偶函数，)2cos(x y =是偶函数)2cos(|sin |2x x x y =⇒是偶函数，x y =是奇函数 )(x f ⇒是非奇非偶函数。

假设：)
2cos(|sin |)(2x x x x g =)(x g ⇒是偶函数，x x g x f +=)()(。

1)3(43)3()3()()(=⇒=+=⇒+=g g f x x g x f 。

)(x g 是偶函数1)3()3(==-⇒g g 。

231)3()3()3()()(-=-=-+-=-⇒+=g f x x g x f 。

例题二：已知：函数32)cos(13)(2
2+--+-=x x x x x f ，3)2(-=f 。

计算：)2(-f 的值。

解答：23x y =是偶函数，21x
y =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数，x y 2=是奇函数，3=y 是偶函数 )(x f ⇒是非奇非偶函数。

假设：3)cos(13)(2
2+-+-=x x x x g )(x g ⇒是偶函数，x x g x f 2)()(-=。

143)2(34)2(322)2()2(2)()(=+-=⇒-=-⇒-=⨯-=⇒-=g g g f x x g x f 。

)(x g 是偶函数1)2()2(==-⇒g g 。

541)2(2)2()2(2)()(=+=-⨯--=-⇒-=g f x x g x f 。

【训练】：计算下列题目。

（Ⅰ）已知：函数2)2cos(1|)sin(|)(34-++--=x x x
x x f ，2)1(=f 。

计算：)1(-f 的值。

（Ⅱ）已知：函数x x
x x x x f -=tan |sin |3)(32，3)2(=-f 。

计算：)2(f 的值。

第四部分：计算参数值
已知奇函数计算参数值：
例题一：已知：函数)2()sin(2)(2
3-+--+=b x ax x x f 是奇函数。

计算：a 和b 的值。

解答：3x y =是奇函数，2ax y =是偶函数，)sin(2x y -=是奇函数，2-=b y 是偶函数， )(x f 是奇函数⇒相加减的每一项都是奇函数，两个偶函数项需要消失，消失的办法就是系数为零
0=⇒a ，002=⇒=-a b ，2=b 。

例题二：已知：函数x
x x x m x x f -+--+=sin 2)12(3)(32是奇函数。

计算：m 的值。

解答：分子：23x 是偶函数，x m y )12(-=是奇函数，2=y 是偶函数2)12(32
--+=⇒x m x y 是非奇非偶函数； 分母：3x y =是奇函数，x y sin =是奇函数，x y =是奇函数x x x y -+=⇒sin 3是奇函数。

)(x f 是奇函数⇒分子分母中一个为奇函数，一个为偶函数⇒分子2)12(32--+=x m x y 是偶函数
⇒奇函数x m )12(-必须消失2
1012=
⇒=-⇒m m 。

【训练】：计算下列题目。

（Ⅰ）已知：函数x x x b x a x x f sin )12()cos(2)(23
-+----=是奇函数。

计算：a 和b 的值。

（Ⅱ）已知：函数23)1()cos(2tan 2sin )(x
x a x x x x x f ++--+-=是奇函数。

计算：a 的值。

已知偶函数计算参数值：
例题一：已知：函数1tan )1()cos(|2sin |)(3-+-+--=x b ax x x x f 是偶函数。

计算：a 和b 的值。

解答：|2sin |x y =是偶函数，)cos(x y -=是偶函数，3ax y =是奇函数，x b y tan )1(+=是奇函数，1=y 是偶函数，)(x f 是偶函数⇒相加减的每一项都是偶函数，两个奇函数需要消失，消失的办法就是需要系数为零 0=⇒a ，001=⇒=+a b ，1-=b 。

例题二：已知：函数x
x m x x x x x f 2)1(tan 2)sin()(23--+---=是偶函数。

计算：m 的值。

解答：分子：3x y =是奇函数，)sin(x y -=是奇函数，x y 2=是奇函数x x x y 2)sin(3
---=⇒是奇函数； 分母：x y tan =是奇函数，2)1(x m y -=是偶函数，x y 2=是奇函数x x m x y 2)1(tan 2--+=⇒是非奇非偶函数。

)(x f 是偶函数⇒分子分母都是偶函数或者都是奇函数，分子是奇函数⇒分母是奇函数 ⇒偶函数2)1(x m y -=必须消失101=⇒=-⇒m m 。

【训练】：计算下列题目。

（Ⅰ）已知：函数2sin |)tan(|)(2
3-+---=x x b x ax x f 是偶函数。

计算：a 和b 的值。

（Ⅱ）已知：函数3
)21(32|2sin |)(22
4--++-=x m x x x x x f 是偶函数。

计算：m 的值。