结构力学第4章影响线

刚体体系的虚功原理（具有理想约束） 一、虚功原理
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小 刚体体系位移，则主动力在该位移上所作的虚功总和恒等于零。
两种应用:
虚 力 原 理 — 虚设力系,求刚体体系的位移。
虚位移原理 — 虚设位移,求静定结构内力。 F
A a
C
B b FP
FRA X Fp B 0
FP=1 MK
MA
A l/4 l/4
A
0 M A YB l / 2 x l / 2 x x 3l / 4 xl/4
YB 1
MA影响线
FP=1 YB影响线
l/2
l/2 l/2
FQk影响线
FQk YB
x<l/4 X>l/4
FQi
l/4
MK影响线
MK=l/4
FQk=-1
MK= l/4-(x - l/4 )=l/2-x FQk=0 x<3l/4 Mi=0 FQi=0
FR=1 l/4 FP=1 1/4 X
FR=3/4 l/2 FR=1/2
FP=1
----反力FR的影响线 •影响线定义 单位移动荷载作用下某固定位置 （支座或截面）某量值（支反力、 内力等）随荷载位置移动而变化 的规律，一般用图形表示。
3l/4
FP=1
FR=1/4
FP=1
•影响线作法
其一是静力法，另一 为机动法（虚功法）。
B a b
F
A
C
X
A C
F
B
X
a
b
x
将求约束力的问题转化为求平衡力的问题
1）求截面C的弯矩
m
c
a b
用虚位移 原理求内 力的问题
2）求截面C的剪力
q
c
a b
l
l
m

a
Mc Mc
l
q

b
C
a
FQC
l
FQC

b
M c m 0
FQC a b q y dx 0
FQ2影响线
1
MB影响线
2
FQ2
1
（
MB
FQ3影响线
1
1
FQ3
例：作YA 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3 、 YC 、 FQ4 、 FQc左、 FQc右影响线
A 2m 1 1m 1m 2 1m 1m B 3 1m 1m C 2m 4 1m D 1m
YC影响线
1
FQ4影响线 FQc左影响线
YC
1
FQ4
1
FQc右影响线
FQc左
1
FQc右
作业
• 4-7 • 4-10
§4-6影响线的应用
1. 求各种荷载作用下的影响
根据叠加原理,可利用影响线来求 固定荷载作用下的内力、反力等 Mk=FP1y1 +FP2y2 +… … + FPNyN FP1 FP2
k
FPN
FP i yi
i 1
N
FQD YA 1 x / l
M D YA l / 4
l/4
MD影响线
作业 • 4-2
FRA, FQB , M E
影响线
§4-3结点荷载作用下梁的影响线
作Mk , F Qk影响线
作法: 1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线; 2.将结点投影到影 响线上; 3.将相邻投影点 连以直线.
E
3c
y d
c

A
C
B
x
b
X
xx
F 3 3 b 3b ctg X 2 2 2c 4c
（3）解方程求 X
3 b X X F X 0 2 2c
3b X F 4c
小结：虚功原理（虚位移原理）的特点 是用几何方法解决平衡问题。 二、虚位移原理的应用 用虚位移原理 F 求支座约束力
M k q( x ) y( x )dx
xb xa
q(x)
a
k y(x)
b
当q(x)为常数时

Mk影响线 0
M k q y( x )dx
xb xa
yk
Xa x x+dx Xb x
q
例：利用影响线求k截面弯矩、剪力。 解：M k 2ql (l / 4) ql l / 4
YB B YB
+
1
y( x )
YB影响线
1
机动法步骤:解除与所求量对应的约束, 得到几何可变体系。令其发生虚位移, 并使与该量对应的广义位移为1,方向 与该量正向相同。虚位移图即为该量 影响线,基线上部为正。
YA
YA影响线
求图示梁k截面弯矩和剪力影响线
x FP=1
a
A
1（
B
A
k
l
a b
B
Mk a + Mk影响线
Mk影响线 y1 y2 FP1
yk
R FP2 FP3
k
yN
Mk=FP1y1+FP2y2 +FP3y3 =RyR y1
yR
y2 y3 yk
Mk影响线
Mk=FP1y1 +FP2y2 +… … + FPNyN
FP1 FP2
k
FPN
FP i yi
i 1
N
Mk影响线
y1 y2
yk
yN
q(x)dx
dM k q( x )dx y( x )
X>3l/4 Mi=3l/4 -x
1
Mi影响线
l/4
FQi=1
1
FQi影响线
练习:作静定刚架影响线
求 FQC , ME , FNE, MD , FQD影响线 1 xl/2 1. FQC影响线 1 x l / 4 F 1 FQC
x
1
x
C
A D
l/4 l/4
E
B
l/2
x l / 4 FQC 0
2. ME , FNE影响线
QC
ME
F 0 m 0
y E
FNE 1 M E ( x l / 2)
FNE FQC影响线
FNE影响线
1
1
MD
3. MD , FQD影响线 YA 1 x / l
l/2
YA FQD
ME影响线
1 FQD影响线
l/2
F 0 m 0
y A
机动法步骤 (1)解除与所求量对应的 约束,得到几何可变体系。 (2)令其发 生虚位移,并使与该量对应的广义位移 为1,方向与该量正向相同。 (3)虚位 移图即为该量影响线,基线上部为正。
例：作YA 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3 、 YC 、 FQ4 、 FQc左、 FQc右影响线





ab/l
1-x/d
x 1 d
Mk影响线
x/d
§4-4静力法作桁架的影响线
1 1
1
桁架承受的是结点荷载。 经结点传荷的主梁影响线 的做法同样适用于桁架。 1 a a 1
a
FN1影响线
1.FN1影响线 E F
FN2
FN2 FN1 D
E
F
2
1
G
3
H
4
a
A YA
C FN1
力在G点右侧: 力在F点左侧:
A 2m 1 1m 1m 2 1m 1m B 3 1m 1m C 2m 4 1m D 1m
YA影响线
1
YA M1影响线
1
（
1
M1 M2影响线
M2
1 1
（
例：作YA 、 M1 、 M2 、 FQ2 、 MB 、 FQ3 、 YC 、 FQ4 、 FQc左、 FQc右影响线
A 2m 1 1m 1m 2 1m 1m B 3 1m 1m C 2m 4 1m D 1m
FR=0
§4-2静力法作简支梁影响线
首先利用静力平衡条件程建立影响线方程， 然后由函数作图的方法作出影响线----静力法。 1. 支座反力影响线
m
A
0
YB影响线方程
A
B
FyB x / l
l
FyA
+
FyB
m
B
0
FyB影响线
FyA 1 x / l
FyA影响线
+
2. 弯矩和剪力影响线
(influence line) §4-1移动荷载和影响线的概念
•移动荷载 大小、方向不变，荷载作用点改变的荷载。 •反应特点 结构的反应（反力、内力等）随荷载作用位 置的改变而改变。 •主要问题 解决移动荷载作用下结构最大反应的计算。线弹 性条件下，影响线是有效工具之一。
FP=1
FP=1
FR
Y 1 3/4 1/2
m 0 m 0 F
F F
B YB
A a 1
C
1 D
B
a
a
1 YBI.L.
FN1 I.L.
YAI.L.
N1
2YB
1
2.FN2影响线
力在G点右侧: 力在F点左侧:
2
F F
Y Y
0 FN 2 2YA 0 FN 2 2YB
FN2 FN3
2
1
FN2 I.L.
2
1
3.FN3影响线 FN 3 2FN 2 / 2 4.FN4 影响线 力在G左: FN4=0 力在H点: FN4=-1
YA影响线
1
Mk影响线
Mk
）
1
YA
1
l/2
FQK影响线
1
MA影响线 MA
1
）
FQK l
1
机动法步骤 (1)解除与所求量对应的 约束,得到几何可变体系。 (2)令其发 生虚位移,并使与该量对应的广义位移 为1,方向与该量正向相同。 (3)虚位 移图即为该量影响线,基线上部为正。
练习:作YA , MA , MK , FQK
FyA
MA影响线
l 1
MK
FQkபைடு நூலகம்
x<l/2
MK=0 FQk=0 MK= -(x - l/2 )
FyA影响线 1
FQK影响线
X>l/2
FQk=1
MK影响线
l/2
练习:作YB , MA , MK , FQk
Mi
,
x
FQi影响线.
k
FP=1 B i l/4 l/4
x
解:
m
MK
Fy 0 YB 1
l 0
c c c Mc m 0 b a a
1 1 FQC l q a a q b b 0 2 2
FQC b2 a 2 l q q a 2l 2
b b Mc m m ab l
第四章 影响线
b 2a cos c a sin 当有虚位移 d 时，b和c的变化 db 2a sin d dc a cos d 由于 X db 2a sin d F 3 dc 3a cos d
（2）几何关系 以d作为位移参数 D
YB ( x) ( x)
A
B
l
FP=1
YB B YB
+
1
(x)
机动法步骤:解除与所求量对应的约束, 得到几何可变体系。令其发生虚位移, 并使与该量对应的广义位移为1,方向 与该量正向相同。虚位移图即为该量 影响线,基线上部为正。
YB影响线
x
求图示梁支座反力影响线
FP=1
A
B
l
FP=1
b
m
K
0 M K FyAa 0
x aa l
1
b/l a/l
FQk影响线
1
F
y
FQK
x FyA 1 l
练习:作YA , MA , MK , FQk
影响线. 解:
MA
A
x l/2 K
FP=1 l/2
x
m F
A
0
MA x
y
0 YA 1 xl/2
FP=1
求k截面弯矩和剪力影响线
A
x a
FP=1 K
b
B
xa
单位力在K点左侧,取右边作隔离体
FyA
A
1
l
MK
FyB
B
mK 0 M K FyBb b x l x Fy 0 FQK FyB l
FyA
a
FQK
FyB
MK影响线
xa
单位力在K点右侧,取左边作隔离体
ab / l
FN3 I.L.
D
FN4I.L.
1
§4-5机动法作影响线
作静定结构影响线的机动法的理论基础是刚体虚功原 理(虚位移原理)。下面以静定梁为例说明。 求图示梁支座反力影响线
x FP=1
Fp ( x) YB B 0 1 YB ( x) ( x) B 令 B 1
影响线. A FP=1 l/2 k l/2
YA影响线
1
FQK影响线
1
MA影响线
1
）
YA
FQK
Mi
Mi影响线
l/2
1
）
MA
l/4
1
Mk影响线 1 Mk ）
l/2
FQi 影响线
FQk 练习:作YB , MA , MK , FQK Mi , FQi影响线. FP=1 k B i A l/4 l/4 l/4 l/4
纵梁
横梁



主梁

ab/l


Mk影响线

作法的根据: 1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,结点处 的纵标相同;
b/l


a/l
2.影响线在相邻结点间是直线.
FQk影响线
作法: 1.作荷载直接作用 于主梁时的影响线; 2.将结点投影到影 响线上; 3.将相邻投影点连以直线. 作法的根据: 1.无论荷载在主梁上 还是在纵梁上,结点处 的纵标相同; 2.影响线在相邻结点间是直线.
A
1
B
b/l FQK影响线 a/l
FQK
机动法步骤 (1)解除与所求量对应的 约束,得到几何可变体系。 (2)令其发 生虚位移,并使与该量对应的广义位移 为1,方向与该量正向相同。 (3)虚位 移图即为该量影响线,基线上部为正。
练习:作YA , MA , MK , QK
影响线. FP=1 A l/2 k l/2
FRA
B b 几何关系： A a b b FRA A FB A 0 FRA Fp a a
A

FRC
B
A 1 相应的 b b B FRA FP a a
或设
例：求机构相应的平衡力X=？ （1）建立虚功方程 [解]：
F
F
F
X X F F 0