高中数学应用题1
指数函数与对数函数的应用题
指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。
应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。
假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。
由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。
应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。
已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。
解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。
应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。
假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。
求解该国货币的贬值率。
解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。
设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。
(完整版)高中数学应用题
函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ……8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分 当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分 答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。
高一数学应用题(不等式的应用题和函数的应用题)
高一上学期期中复习应用题一．不等式的应用题1．（本题满分 4+4+4 分） 如图，长方形 ABCD 表示一张6 12 （单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部 分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框 AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现 欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在 AB ，AD 上．设 AM ， AN 的长 分别为m 分米，n 分米．（1）求证：（2）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值； （3）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和）的最大值及取 得最大值时m ，n 的值．2.如皋中学为创建高品质高中，计划在校园内建造一个长方形文化展览区ABCD ，展览区由长方形1111D C B A 的展览馆和环展览馆人行道(阴影部分)组成．已知展览馆A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设展览馆的长和宽的比)1(1111>=x x C B B A ，写出文化展览区ABCD 所占 面积s 与x 的关系式；(2)要使文化展览区所占面积最小，则展览馆1111D C B A 的长和宽该如何设计？3、如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．4. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
高中数学应用题专项练习
高中数学应用题专项练习1. 题目一已知一条直线与x轴交于点A（2,0），与y轴交于点B（0,3）。
求直线的斜率k及方程的解析式。
2. 题目二一只小猪在厨房里吃食物。
已知小猪每天吃食物的质量是它上一天吃食物质量的1/4，第一天吃了800克。
请问，第五天它吃了多少克食物？3. 题目三某地的人口数量年增长率为3%。
已知该地的人口数量在2010年是500万人，请问到了2020年这里的人口数量是多少人？4. 题目四小明身高150cm，目标是长到170cm。
每一年他的身高会增长5cm。
请问，需要几年才能达到他的目标身高？5. 题目五一辆汽车从A地沿直线道路以每小时60公里的速度开往B地，途中耗时4小时。
然后汽车以60公里/小时的速度返回A地。
请问，汽车返回A地需要多长时间？6. 题目六有一条跑步道，每800米设有一块标志石。
小明从起点开始在跑步道上跑步，每分钟跑300米，他跑到第5块标志石时停下来休息。
请问，小明跑步的总时间是多少分钟？7. 题目七某项工程需要15个人在30天内完成。
目前已经有10个人参与，已经过了7天。
请问，剩余的工程需要多少人才能在剩下的时间内完成？8. 题目八一部手机总共有100个应用程序，其中有60%的应用程序是社交类应用。
已知手机用户每天平均使用手机3小时，其中1小时是用于社交类应用。
请问，用户每天平均使用手机的社交类应用的个数是多少个？9. 题目九一个蔬菜市场上有100件土豆，其中20%的土豆是坏的。
顾客每次购买4个土豆。
请问，如果顾客每天购买20个土豆，他需要几天才能购买到不坏的土豆？10. 题目十数列1，3，6，10，15等是一种特殊的数列，每一项的值都是前一项的值加上当前项的下标值。
请问第10项的值是多少？。
高三数学应用题50练(全国百所重点高中)
BCDAOP1. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以()222101020200x x x -+=-+所求函数关系式为)2220200010y x x x x =+-+≤≤（Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10103y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边33km 处。
2. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
高一年级数学必修一函数应用题及答案
高一年级数学必修一函数应用题及答案
【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，顽强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！为大家推荐《年级数学必修一函数应用题及答案》希望对你的学习有帮助！
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设U=R，A=x，B=x>1，则A∩?UB=()
A0≤x1
【解析】?UB=x，∴A∩?UB={x|0
【答案】B
2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=()
A.log2x
B.12x
C.log12x
D.2x-2
【解析】f(x)=logax，∵f(2)=1，
∴loga2=1，∴a=2.
∴f(x)=log2x，故选A.
【答案】A
3.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是()
A.f(x)=lnx
B.f(x)=1x
C.f(x)=|x|
D.f(x)=ex
【解析】∵y=1x的定义域为(0，+∞).故选A.
【答案】A
4.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=12x;当xf(1)，则x的取值范围是()
A.110，1
B.0，110∪(1，+∞)
C.110，10
D.(0,1)∪(10，+∞)
【解析】由已知偶函数f(x)在[0，+∞)上递减，
则f(x)在(-∞，0)上递增，
∴f(lgx)>f(1)0≤lgx。
高考数学应用题及答案
高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。
如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。
答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。
利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。
总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。
由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。
然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。
因此，我们需要考虑实际的生产限制。
由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。
但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。
假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。
因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。
但是，实际中需要考虑生产能力的限制。
2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。
如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。
答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。
高考数学实际应用题集
高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。
答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。
答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。
答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。
答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。
答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。
答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。
答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。
答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。
答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。
答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。
高中生数学应用题练习题及讲解
高中生数学应用题练习题及讲解### 高中生数学应用题练习题及讲解#### 练习题1：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边AB的长度为3，斜边AC的长度为5，求另一直角边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设BC的长度为x，则有：\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。
#### 练习题2：函数应用题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。
如果生产x件产品，求总利润y与产品数量x之间的关系。
解答：每件产品的利润为售价减去成本，即20 - 10 = 10元。
总利润y等于每件产品的利润乘以产品数量x，即：\[ y = 10x \]所以，总利润y与产品数量x之间的关系是线性关系，且斜率为10。
#### 练习题3：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，用组合公式C(n, k)表示：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]然后计算没有抽到红球的情况，即抽到2个蓝球的组合数：\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]至少抽到1个红球的概率为1减去没有抽到红球的概率：\[ P(至少1红) = 1 - \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]#### 练习题4：线性规划问题题目：一个农民有10000平方米的土地，他想种植小麦和玉米。
每平方米小麦的利润是10元，每平方米玉米的利润是15元。
如果小麦的种植面积不超过玉米的种植面积的2倍，求最大利润。
高中数学高级应用考试试题
高中数学高级应用考试试题1. 题目一：在直角三角形ABC中，AB=5,AC=12。
P为BC中点，Q为AC上的一点，且有AP=2PQ。
求三角形ABC的面积。
解析：设PC为x，AQ为y。
根据题意，可以得到以下几个等式：(1) AQ = 12 - x(2) AP = 2PQ = 2(x/2) = x(3) AB² + BC² = AC²根据勾股定理，可得：(4) AB² + BC² = AC²(5) 5² + (2x)² = 12²解方程组(4)和(5)，得到：(6) x = 3(7) AQ = 9因此，三角形ABC的面积为：面积 = (1/2) * AB * AC = (1/2) * 5 * 12 = 302. 题目二：已知函数f(x) = 2x - 1，g(x) = x² - 4x + 3。
求f(g(2))的值。
解析：首先，求出g(2)的值：g(2) = 2² - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1然后，将g(2)的值代入f(x)中：f(g(2)) = f(-1) = 2*(-1) - 1 = -2 - 1 = -3因此，f(g(2))的值为-3。
3. 题目三：某公司共有500名员工，其中男性占总人数的40%。
现在要从这500名员工中随机选取10名员工，问其中恰有2名男性员工的概率是多少？解析：首先，计算男性员工人数：男性员工人数 = 总人数 * 男性占比 = 500 * 0.4 = 200然后，计算从男性员工中选取2名员工的组合数：C(200, 2) = 200! / (2! * (200-2)!)接着，计算剩余的女性员工中选取8名员工的组合数：C(300, 8) = 300! / (8! * (300-8)!)最后，计算恰有2名男性员工的概率：概率 = (选取2名男性员工的组合数 * 选取8名女性员工的组合数) / (总的选取员工的组合数)根据计算公式进行计算，最终得到概率为：概率 = (C(200, 2) * C(300, 8)) / C(500, 10)4. 题目四：一座桥上有5个人，分别是A、B、C、D、E。
高考数学应用题
高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。
2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。
3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。
4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。
5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。
6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。
7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。
9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。
10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。
高中数学应用题专集
设计密闭容器问题.圆柱，球的体积及表面积公式均值不等式
与三角形内一点有关的最值问题.向量加、减运算，二次函数求最值
电线杆拉索受力问题.向量加法的平行四边形法则，解三角形
正三角形钢板折成正三棱柱容器问题.三次函数求导得最值
设计包装盒问题.立几与解几结合解决，建立坐标系，直线方程，圆方程
制作木框架问题.均值不等式的应用
食物混合问题.应用线性规划方法降低成本
下料问题.应用线性规划方法使余料最少
应用线性规解决二元二次函数的最值问题
制定生产计划问题.应用线性规划使获利最大
购买教学用品问题.应用线性规划方法使剩余的钱最少?
销售商品获利问题.二次函数,求导
电视台播映广告问题.应用线性规划解决最高收视率
河对岸两地距离问题.正弦定理,余弦定理
拆旧墙建新房问题.构造不等式求最值
飞机耗油量问题.构造不等式求最值
渔轮航行费用问题.构造不等式求最值
拆旧墙建仓库问题.应用不等式求最值
定货决策问题.应用不等式探索最佳决策方案
商品单价与销售额问题.分式函数求导
设计道路网问题.根判别式的应用
建休闲小区问题.构造不等式求最值
多层住宅屋顶“平改坡”问题.解三角形，分类讨论
遮阳棚问题.二面角，正弦定理
电视塔信号覆盖面积问题.球冠面积?
飞机飞行相对于地面的速度问题向量加法，向量的长度
以正方形的边为路径的有关正方形面积问题.二次分段函数
节约纸张问题.利用不等式确定书页的高和宽达到节约纸张
应用线性规划方法解决正方形可行域内目标函数的最值问题
修水渠问题.化一个正弦函数求最值
大风车问题.求正弦函数中的参数
(完整版)高中数学应用题
函数、不等式型1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.2aa +== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+--所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-. 从而，2'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--，于是，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数()f x 在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.2、某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（2）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）； 出厂价为13×（1+0.7x ）；年销售量为5000×（1+0.4x ）， …………2分 因此本年度的利润为[13(10.7)10(1)]5000(10.4)y x x x =⨯+-⨯+⨯⨯+(30.9)5000(10.4)x x =-⨯⨯+即：21800150015000(01),y x x x =-++<< ……………6分 由2180015001500015000x x -++>， 得506x << ……8分 （2）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f ……10分由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， ……12分因为()f x 在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值， ……14分所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． ……15分 3、某民营企业生产,A B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．甲 乙（Ⅰ）分别将,A B 两种产品的利润表示为投资x (万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入,A B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?解：（Ⅰ）设投资为x 万元,A 产品的利润为()f x 万元,B 产品的利润为()g x 万元. 由题设x k x g x k x f 21)(,)(==由图知(1)f =41,故1k =41又45,25)4(2=∴=k g从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f .（Ⅱ）设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元.)100(104541)10()(≤≤-+=-+=x x x x g x f y 令x t -=10，则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y .当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时.答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元. 4、如图所示，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在离港口a 13（a 为正常数）海里的北偏东β角的A 处有一个供给科考船物资的小岛，其中31tan =α，132cos =β．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O 正东m （a m 37>）海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科考船，该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积最小时，这种补给最适宜．⑴ 求S 关于m 的函数关系式)(m S ； ⑵ 应征调m 为何值处的船只，补给最适宜．【解】 ⑴以O 为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ 方程为x y 3=． ………………2分 设点()00,y x A ， 则a a a x 313313sin 130=⋅==β，a a a y 213213cos 130=⋅==β，即()a a A 2,3，又()0,m B ，所以直线AB 的方程为()m x ma ay --=32．上面的方程与x y 3=联立得点)736,732(am ama m am C -- ……………5分)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴ ………………8分⑵328)3149492(314)37(949)37()(222a a a a a a m a a m a m S =+≥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-= ……12分 当且仅当)37(949372a m a a m -=-时，即a m 314=时取等号， ……………14分 答：S 关于m 的函数关系式)37(733||21)(2a m a m am y OB m S C >-=⋅=∴⑵ 应征调a m 314=处的船只，补给最适宜． ………………15分5、某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销.在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q .已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需要再投入32万元,若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1) 试将年利润W 万元表示为年广告费x 万元的函数；(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大年利润为多少？ (1)年生产成本为)332(+Q 万元，年收入为]%50)332%(150[x Q ++万元.所以)332(21x Q W -+==)311332(21x x x -+++⨯=)0()1(235982≥+++-x x x x （7分） (2))1(264)1(100)1(2+-+++-=x x x W =42)13221(50≤+++-x x （12分）当7,13221=+=+x x x 时,等号成立. 所以当年广告费投入7万元时, 年利润最大为42万元.（14分）6、为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：cm )，能使整个矩形广告面积最小.解：设矩形栏目的高为acm ，宽为bcm ，则20000ab =，20000b a∴= 广告的高为(20)a cm +，宽为(330)b cm +(其中0,0a b >>) 广告的面积40000(20)(330)30(2)6060030()60600S a b a b a a=++=++=++3060600120006060072600≥⨯=+= 当且仅当40000a a=，即200a =时，取等号,此时100b =. 故当广告矩形栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，可使广告的面积最小.7、某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质。
高中数学经典应用题及答案解析
高中数学经典应用题及答案解析一、数列与数列求和1. 数列的等差数列通项公式为 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，d 为公差。
2. 数列的等差数列求和公式为 $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
3. 数列的等比数列通项公式为 $a_n = a_1 * q^{(n-1)}$，其中$a_n$ 为第 n 项，$a_1$ 为首项，q 为公比。
4. 数列的等比数列求和公式为 $S_n = \frac{a_1 * (q^n - 1)}{q - 1}$，其中 $S_n$ 为前 n 项和。
二、函数与方程1. 一次函数的一般式为 $y = kx + b$，其中 k 为斜率，b 为截距。
2. 二次函数的一般式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
3. 求解一元二次方程可使用求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
4. 求解一元二次方程的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 可判断方程的根类型。
三、三角函数1. 正弦定理为 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =\frac{c}{\sin C}$，其中 a、b、c 为三角形的边长，A、B、C 为对应的角度。
2. 余弦定理为 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$，其中 a、b、c 为三角形的边长，C 为对应的角度。
3. 正弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$。
4. 余弦函数图像的周期为2π，幅值为 1，周期函数为 $y = A\cos(\omega x + \varphi)$。
四、概率与统计1. 事件 A 和 B 的并集为 $A \cup B$，相应的概率为 $P(A \cupB) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
高中数学应用题汇总(精选.)
高中数学应用题汇总（精选.）高中数学应用题汇总1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
解（1）如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A 的距离为时, 函数有最小值（注：该题可用基本不等式求最小值。
）2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。
（1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.（1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10].（2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2k)＝(x－11)[3x－(17＋2k)].由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分)因为1≤k≤3，所以≤≤.①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分)②当7<≤，即2<k≤3时，[F(x)]max＝F()＝(8－k)3.(12分)即当1≤k≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－k)万元.当2<k≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－k)3万元.(14分)3.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产该产品能全部销售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少•解．（Ⅰ）（Ⅱ）当∴当当时∴当且仅当综上所述，当最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大4.某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成：①职工工资固定支出元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件元，其中是该厂生产这种产品的总件数.（1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过件，且产品能全部销售．根据市场调查：每件产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额—总的成本）•(Ⅰ) ，成本的最小值为元(Ⅱ) 当时,解析:（1）……2分由基本不等式得……4分当且仅当，即时，等号成立…6分∴，成本的最小值为元．………7分（2）设总利润为元，则………9分……12分当时,………13分答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元. (14)5.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.6.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．（1）求的值及的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．解：（1）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为，由,∴,∴……2分而隔热层建造费用为……4分最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为……6分（2），令，则所以，……8分（当且仅当,即时，不等式等式成立）……10分故是的取得最小值，对应的最小值为……13分答：当隔热层修建厚时，总费用达到最小值万7.如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设AD＝x（x≥0），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里（3）如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？解：（1）在△ADE中，y2＝x2＋AE2－2x·AE·cos60°y2＝x2＋AE2－x·AE,①又S△ADE＝S△ABC＝a2＝x·AE·sin60°x·AE＝2.②②代入①得y2＝x2＋－2（y＞0）, ∴y＝（1≤x≤2）……4分.（2）如果DE是水管y＝≥,当且仅当x2＝，即x＝时“＝”成立，故DE∥BC，且DE＝……8分（3）如果DE是参观线路，记f（x）＝x2＋，可知函数在[1，]上递减，在[，2]上递增，故f（x）max＝f（1）＝f（2）＝5. ∴y max＝.最新文件仅供参考已改成word文本。
必修一数学应用题练习题
一、代数式1. 简化下列代数式：（1）2a 3b + 4a 2b（2）3x^2 2x + 5x^2 4x（3）4m^3n^2 3m^2n^3 + 2mn^2 m^3n^22. 求下列代数式的值：（1）当a=2，b=3时，求3a^2 2b^2的值。
（2）当x=4，y=5时，求2x^2y 3xy^2 + 4x^2y的值。
3. 解下列方程：（1）2x 3 = 7（2）5a + 2 = 3a + 8（3）3x^2 4x 1 = 04. 解下列不等式：（1）2x + 3 > 7（2）3a 2 < 5（3）x^2 4x + 3 > 0二、函数1. 判断下列函数的定义域：（1）f(x) = √(x 2)（2）g(x) = 1/(x 3)（3）h(x) = 2x + 52. 求下列函数的值：（1）当x=3时，求f(x) = x^2 2x + 1的值。
（2）当x=2时，求g(x) = 1/(x 3)的值。
（3）当x=4时，求h(x) = 2x + 5的值。
3. 求下列函数的图像：（1）f(x) = x^2 4（2）g(x) = 1/(x 2)（3）h(x) = 2x 14. 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x) = x^2 + 1（2）g(x) = 1/(x 2)（3）h(x) = 2x 1三、几何图形1. 求下列三角形的面积：（1）底边长为4，高为3的三角形。
（2）底边长为5，高为2的三角形。
（3）底边长为6，高为4的三角形。
2. 求下列平行四边形的面积：（1）底边长为4，高为3的平行四边形。
（2）底边长为5，高为2的平行四边形。
（3）底边长为6，高为4的平行四边形。
3. 求下列圆的面积：（1）半径为2的圆。
（2）半径为3的圆。
（3）半径为4的圆。
4. 求下列球的体积：（1）半径为2的球。
（2）半径为3的球。
（3）半径为4的球。
四、应用题1. 小明骑自行车从家到学校，如果以每小时10公里的速度行驶，需要1小时到达。
高中数学中的实际应用练习题
高中数学中的实际应用练习题在高中数学学习的过程中，我们经常会遇到许多实际应用题。
这些题目通过将数学知识与实际问题相结合，帮助我们更好地理解和应用数学。
本文将给出一些典型的高中数学实际应用练习题，并逐步解答这些题目。
一、购物费用计算小明去商场购买了一件原价为500元的衣服，商场正在举办“八折优惠”的活动。
请问小明购买这件衣服需要支付多少钱？解答：首先，我们知道“八折”表示打八折，即打折扣后的价格为原价的80%。
那么小明购买这件衣服需要支付的金额为：500元 × 80% = 400元所以小明购买这件衣服需要支付400元。
二、图形面积计算某房间的地板为长方形，长为6米，宽为4米。
如果房间的天花板为一个正方形，边长为10米，那么这个房间的总面积是多少？解答：这个房间的地板面积为长乘以宽，即6米 × 4米 = 24平方米。
天花板为一个正方形，边长为10米，所以天花板的面积为边长的平方，即10米 × 10米 = 100平方米。
所以这个房间的总面积为地板面积加上天花板面积，即24平方米 + 100平方米 = 124平方米。
三、速度计算小明骑自行车每小时的速度为20千米，而小强步行每小时的速度为5千米。
如果他们从同一地点同时出发，那么小明骑自行车和小强步行2小时后，他们之间的距离是多少？解答：小明骑自行车每小时的速度为20千米，所以他骑自行车2小时后的距离为20千米/小时 × 2小时 = 40千米。
小强步行每小时的速度为5千米，所以他步行2小时后的距离为5千米/小时 × 2小时 = 10千米。
所以小明和小强之间的距离为40千米 - 10千米 = 30千米。
通过以上三个实际应用练习题的解答，我们可以看到实际应用题目通常会结合数学知识和实际问题，通过运用数学的概念和计算方法，解决现实生活中的各种数学问题。
这些题目的解答过程既要注意数学计算的准确性，也要理解问题的实际意义，从而得出正确答案。
高中一年级数学《比大小》应用题大全
高中一年级数学《比大小》应用题大全1. 邀请函小明邀请三位朋友参加他的生日聚会。
他安排了以下时间表并邀请他们参加。
请根据时间表，判断每个朋友应该在何时到达。
- 时间表如下：- 小明: 2:30 PM- 小红: 2:15 PM- 小华: 2:45 PM- 小李: 2:00 PM请问，谁应该最早到达？谁应该最晚到达？解答：根据时间表，可以比较每个朋友的到达时间。
- 小李: 2:00 PM- 小红: 2:15 PM- 小明: 2:30 PM- 小华: 2:45 PM由此可见，小李应该最早到达，小华应该最晚到达。
2. 水果比较小明去超市买了一些水果，他买了3个苹果，6个橙子和4个香蕉。
他想知道哪一种水果的数量最多，哪一种最少。
解答：- 苹果数量：3- 橙子数量：6- 香蕉数量：4由此可见，橙子的数量最多，苹果的数量最少。
3. 身高比较小明、小红和小华是同班同学，他们之间想比较一下身高。
根据测量结果，小明的身高是160厘米，小红的身高是165厘米，小华的身高是155厘米。
请判断谁的身高最高，谁的身高最低。
解答：- 小明的身高：160厘米- 小红的身高：165厘米- 小华的身高：155厘米由此可见，小红的身高最高，小华的身高最低。
4. 温度比较今天的气温是摄氏30度，小明想知道这个温度相对于32华氏度来说是比较高还是比较低。
解答：- 摄氏30度- 华氏32度由于32华氏度大于30摄氏度，可以判断今天的温度相对于32华氏度来说是比较低的。
5. 成绩排名小明、小红和小华参加一次数学考试，他们的成绩如下：- 小明：90分- 小红：95分- 小华：85分请判断谁的成绩最高，谁的成绩最低。
解答：- 小明的成绩：90分- 小红的成绩：95分- 小华的成绩：85分由此可见，小红的成绩最高，小华的成绩最低。
以上是高中一年级数学《比大小》应用题的一些例子。
这些题目可帮助学生巩固比较大小的概念，并应用于日常生活中的情境。
希望这些例题能够帮助学生更好地理解和掌握比较大小的技巧。
高中数学应用题
高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3,深为3米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a 元,池底每平方米的造价为2a 元.把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数,并指出函数的定义域.解：容积=底面积×高= 48 ⇒底面积×3 = 48 ⇒底面另一边长：m =x16 池壁造价=池壁面积×a = 2<3x + 3m >×a = 6< x +x 16>a = 6<x +x16>a 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a∴ y = 6<x +x16>a + 32a < x > 0 > 例2. 有根木料长为6米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大〔中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴窗框的高为3x,宽为376x - 即窗框的面积 y = 3x ·376x -=-7x 2 + 6x < 0 < x <76> 配方：y =79)73(72+--x < 0 < x < 2 > ∴当x =73米时,即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时,光线通过窗框面积最大. 3．利润问题：〔1〕利润=收入-成本〔2〕利润=单位利润×销售量例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售,每天可卖出100个.若该商品的单价每涨1元,则每天销售量就减少10个.如何确定该商品的销售单价,使利润最大？分析：〔1〕每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2〔2〕以单价10元为基础：单价每次涨1元,当涨了x 元〔即可看成涨了x 次〕时,则每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为100 -10x 个∴每个商品的利润y = <2 + x >< 100 -10x > = -10x 2 + 80x + 200 = -10< x - 4>2 + 360即当x = 4时,y 有最大值360∴当每个商品的单价为14元时,利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×<1 +增长的百分率>经过x 年增长率为负：原产量×<1 -增长的百分率>经过x 年例5. 一种产品的年产量原来是a 件,在今后m 年内,计划使年产量每年比上一年增加p %. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x 年后,年产量为y, 则y = a < 1 + p %>x例9. 画一个边长2厘米的正方形,为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,求：（1） 第10个正方形的面积（2） 这10个正方形的面积的和解：〔1〕设{a n }表示各正方形的面积∵a 1 = 22 = 4, a 2 = <22>2, a 3 = 42 = 8∴ {a n }是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a 10 = a 1q 9 = 4×29 = 2048 <厘米2>〔2〕这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110=--=--=q q a S 〔厘米2〕 例10．一个球从100米高处自由落下,每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时,共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a 1, a 2, …, a 10 .x 2xMPA B ∵a 1 = 100, a 2 = 50, a 3 = 25∴ {a n }是公比为21的等比数列 则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010≈=--=S ∴本球共经过的路程为S = 2S 10- 100 ≈300 〔米〕一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时,水面宽4米. 当水面下降1米时,水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系,则抛物线方程为x 2 = -2py 依题意知：x = 2时,y = -2代入方程得p = 1即抛物线方程为 x 2 = -y, 当水面下降1米时,y = -3 ⇒ x =3∴ 水面宽为2x =32≈3.5 <米>例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面439千米,远地点距地面2384千米,地球半径大约为6371千米,求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵a -c = |OA| - | OF 2| = |F 2A| = 6371 + 439 = 6810a + c = |OB| + |OF 2| = |F 2B| = 6371 + 2384 = 8755∴a = 7782.5, c = 972.5 ⇒b 2 = 7721.52 即卫星的轨道方程是：步1772277832222=+y x 例18．在相距1400米的A 、B 两哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3秒,已知声速是340米/秒,炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t 秒后A 哨所先听到爆炸声,则B 哨所t + 3 则 |MA| = 340t, |MB| = 340< t + 3 > = 340t + 1020两式相减：|MA| - |MB| = 1020 <|AB| = 1400> 1020>∴炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以AB 为x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系〔如图〕∴ A<-700, 0 >, B< 700, 0 > ⇒ c = 700且 2a = 1020 ⇒a = 510 ⇒b 2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022=-y x < x > 0 > 例19．如图,某灾区的灾民分布在一个矩形地区,现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路PA 、PB,且PA=110公里,PB=150公里,AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使从PA 和PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿PA 、PB 两条线路到救灾地点都比较近,有三种情况：〔1〕沿PA 线路 〔2〕沿PB 线路 〔3〕沿PA 、PB 线路都相同 故分界线以第〔3〕种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB|⇒ 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A 、B 为焦点的双曲线AB = 50 ⇒ 2c = 50 ⇒c = 25, 2a = 40 ⇒a = 20 ⇒b 2 = 225若以AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022=-y x 〔在矩形内的一段〕 注意：确定分界线的原则是：从P 沿PA 、PB 到分界线上点的距离. 练习：1某森林出现火灾,火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为60元．〔1〕设派x 名消防队员前去救火,用t 分钟将火扑灭,试建立t 与x 的函数关系式；〔2〕问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上的车距d<m>与车速v<km/h>和车长l<m>的关系满足：l l kv d 212+=〔k 为正的常数〕,假定车身长为4m,当车速为60〔km/h>时,车距为2.66个车身长.（1）写出车距d 关于车速v 的函数关系式;（2）应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3 电信局根据市场客户的不同需求,对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两种方案付 费〔元〕与通话时间〔分钟〕之间的关系如图所示〔实线部分〕〔MN 平行CD 〕（1） 若通话时间为两小时,按方案A,B 各付话费多少元？（2） 方案B 从500分钟以后,每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么X 围内,方案B 比方案A 优惠？5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图,运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元,草皮每平方米造价为30元(1) 设半圆的半径OA=r <米>,试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S<r >(2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时,运动场造价最低?〔精确到元〕10某厂家拟在20##举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量〔即该厂的年产量〕x 万件与年促销费用m 万元〔13)0+-=≥m k x m 满足〔k 为常数〕,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件.已知20##生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍〔产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用〕． 〔1〕将20##该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；〔2〕该厂家20##的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？13某民营企业生产A 、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙<注：利润与投资单位：万元>．甲 乙<1>分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x <万元>的函数关系式；<2>该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A 、B 两种产品的生产,问：怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?16某厂家拟在20##举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量〔即该厂的年产量〕x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31k x m =-+〔k 为常数〕,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件. 已知20##生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍〔产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用〕． 〔1〕将20##该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；〔2〕该厂家20##的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时,当顾客在该商场内消费一定金额后,按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额〔元〕的X 围)400,200[ )500,400[ )700,500[ )900,700[ …… 获得奖券的金额〔元〕 30 60 100 130 ……根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为：400×0.2+30=110〔元〕.设购买商品得到的优惠率=商品的标价购买商品得到的优惠额,试问 〔1〕购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少？ 〔2〕对于标价在[500,800]〔元〕内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于31的优惠率？ 18如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ,要求B 在AM 上,D 在AN 上,且对角线MN 过C 点,已知AB=3米,AD=2米,〔1〕要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则AN 的长应在什么X 围内?<2>当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；<3>若AN 的长度不少于6米,则当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积. 19已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为8.1元/千克,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下: 7天以内〔含7天〕,无论重量多少,均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天．．．0.03．．．．元．/．千克．．支付．．.〔1〕当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？〔2〕设该厂x 天购买一次配料,求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y 〔元〕关于x 的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?20假设A 型进口车关税税率在20##是100%,在20##是25%,在20##A 型进口车每辆价格为64万元〔其中含32万元关税税款〕〔1〕已知与A 型车性能相近的B 型国产车,20##每辆价格为46万元,若A 型车的价格只受关税降低的影响,为了保证20##B 型车的价格不高于A 型车价格的90%,B 型车价格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元？〔2〕某人在20##将33万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为1.8%〔5年内不变〕,且每年按复利计算〔上一年的利息计入第二年的本金〕,那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按〔1〕中所述降价后的B 型车一辆？〔参考数据：1.0185≈1.093〕参考答案1解：〔1〕,210100501005-=-⨯=x x t …………………………………………5分 〔2〕总损失为y ,则y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费y ＝125tx ＋100x ＋60〔500＋100t 〕………………………………………………9分＝26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x ＝2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x ＝262500)2(10031450-+-+x x ……………………………………………………11分 3645062500100231450=⨯+≥………………………………………………13分当且仅当262500)2(100-=-x x ,即x ＝27时,y 有最小值36450．……………14分 2．⑴因为当60v =时,l d 66.2=,所以0006.06016.2602166.222==-=l l l k , ……4分 ∴20.00242d v ………………………………………………………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ,则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++……12分∵60.00240.24v v +=≥ ∴1000125000.243Q =≤,当且仅当60.0024v v =,即50v =时,Q 取最大值12500． 答：当()50v =km /h 时,大桥每小时通过的车辆最多．………16分 3设通话x 分钟时,方案A,B 的通话费分别为(),()A B f x f x〔1〕当x=120时()A f x =116元 ()B f x =168元若通话时间为两小时,方案A 付话费116元,方案B 付话费168元〔2〕980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩ 当500x >时(1)B f x +-()B f x =0.3方案B 从500分钟以后,每分钟收费0.3元<3> 当500x >时()()A B f x f x > 60500x <≤由()()A B f x f x >得8803x >综合：通话时间在880(,)3∞内方案B 较优惠. 5解: <1>塑胶 跑道面积（2） 设运动场造价为y6〔1〕依题意,)5081(100)101(100x x y +⋅-=； 又售价不能低于成本价,所以080)101(100≥--x ． 所以)850)(10(20)(x x x f y +-==,定义域为]2,0[．〔2〕10260)850)(10(20≥+-x x ,化简得：0133082≤+-x x解得4132≤≤x ．所以x 的取值X 围是221≤≤x ． 10解〔1〕由题意可知当0=m 时,1=x 〔万件〕k -=∴31即2=k ……………2分123+-=∴m x 每件产品的销售价格为)(1685.1元x x +⨯……………………5分∴20##的利润)168(]1685.1[m x x x x y ++-+⨯=m m m x -+-+=-+=)123(8484 )0(29)]1(116[≥++++-=m m m …………………………………8分〔2〕8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 21,)(31116,21298max ==⇒+=+=+-≤∴y m m m y 时万元当且仅当〔万元〕……12分答：该厂家20##的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元……14分 11<Ⅰ>因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ<(0,)2πθ∈>………………………<2分> 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t a a θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………………<6分> 所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==-………………<9分> <Ⅱ>因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥……………<13分> 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2a BE =.所以当BE 长为2a 时,y 有最小值1…………………<15分> 13<1> 设投资为x 万元,A 产品的利润为f<x>万元,B 产品的利润为g<x>万元 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知f<1>=41,故k 1=41 又45,25)4(2=∴=k g 从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f ———————————————7分 <2> 设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元 令x t -=10则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y 当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时 答: 当A 产品投入3.75万元,则B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元—15分 16〔1〕由题意可知,当0=m 时,1=x ,∴13k =-即2=k , ∴231x m =-+,每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元. ∴20##的利润)168(]1685.1[m x xx x y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m ……8分 〔2〕∵0m ≥时,16(1)81m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=,当且仅当1611m m =++,即3m =时,max 21y =.………………15分 答：该厂家20##的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.17〔1〕购买一件标价为1000元的商品,顾客的消费金额为：8008.01000=⨯〔元〕获得奖券的金额为130元,得到的优惠率是〔2〕设商品的标价为x 元,则,800500≤≤x 顾客消费金额〔元〕满足.6408.0400≤≤x 当.5008.0400<≤x 时,获得奖券的金额为60元；当6408.0500≤≤x 时,获得奖券的金额为100元,由已知得〔1〕⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+;5008.0400,31602.0x x x 或〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+.6408.0500311002.0x x x 不等式〔1〕无解；不等式〔2〕的解为750625≤≤x ,因此,当顾客购买标价在[625,750]元内的商品,可得到不小于31的优惠率.. 18〔1〕设x AN =米,()2>x ,则2-=x ND ∵AM AN DC ND = ∴AMx x =-32 ∴23-=x x AM ……2分 ∴3223>>-x x x ∴0643232>+-x x ……4分∴0)8)(83(>--x x∴或8>x ……5分〔2〕212)2(12)2(32322-+-+-=-=x x x x x S AMPN ……7分 此时4=x ……10分〔3〕∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x 令t x =-2)4(≥t ,12123)(++=tt t f ……11分 ∵2123)(tt f -=' 当4≥t 时,0)(>'t f∴12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增 ……13分 ∴27)4()(min ==f t f此时6=x ……14分答：〔1〕382<<AN 或8>AN 〔2〕当AN 的长度是4米时,矩形AMPN 的面积最小,最小面积为24平方米；〔3〕当AN 的长度是6米时,矩形AMPN 的面积最小,最小面积为27平方米. ……15分19〔Ⅰ〕当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88<元> ……………4分〔Ⅱ〕〔1〕当x ≤7时y=360x+10x+236=370x+236 ………5分〔2〕当 x>7时y=360x+236+70+6[<7-x >+<6-x >+……+2+1]=43232132++x x ………7分∴⎩⎨⎧>++≤+=7,43232137,2363702x x x x x y ………8分∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f<x>元.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+=7,43232137236370)(2x x x x x x x x f ，…………11分 当x ≤7时xx f 236370)(+= 当且仅当x=7时 f<x>有最小值40472826≈〔元〕 当x ＞7时x x x x f 4323213)(2++==321)144(3++xx ≥393 当且仅当x=12时取等号∵393<404∴当x=12时 f<x>有最小值393元 ………16分20〔1〕20##A 型车价格为32+32×25%=40〔万元〕设B 型车每年下降d 万元,2003,2003,…,20##B 型车价格分别为321,,a a a …,6216,,,(a a a a 为公差是－d 的等差数列〕即36546≤-d故每年至少下降2万元.〔2〕20##到期时共有钱335%)8.11(+⨯ 36069.36093.133>=⨯≈〔万元〕故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B 型车.10、甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地,甲车一半时间的速度是a ,另一半时间的速度为b ；乙车用速度a 行走了一半路程,用速度b 行走了另一半路程.若b a ≠,则两车到达B 地的情况是A 、甲车先到达B 地 B 、乙车先到达B 地C 、同时到达B 地D 、不能判断函数应用题的几种常见模型函数应用题主要有以下几种常见模型：1、一次函数模型例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.5元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月〔30天〕里,有20天每天可以卖出400份,其余每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则每天应从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示,例如：匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长和拉力的关系等,对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长,即为增函数,一次项系数为负时为减函数.2、二次函数模型例2某工厂生产的商品A,若每件定价为80元,则每年可销售80万件,政府税务部门对市场销售的商品A 要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确定税率,根据市场调查,若政府对商品A 征收附加税率为%p 时,每年销售额将减少p 10万件.据此,试问：〔1〕若税务部门对商品A 征收的税金不少于96万元,求p 的X 围；.〔2〕若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高,求此时p 的值.注：在第二问即二次函数求最值问题,一定要注意隐含条件.所以应用题中变量的取值X 围是一个非常值得重视的问题.3、指数函数模型例3某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：〔1〕写出该城市人口总数y 〔万人〕与年份x 〔年〕的函数关系；〔2〕计算10年以后该城市人口总数〔精确到0.1万人〕；〔3〕计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人〔精确到1年〕；〔4〕如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年增长率应该控制在多少？注：在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为为为增长率，为基础数，其中x p N p N y x ()1(+=)时间的形式.4、分段函数模型例4通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增；中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设)(t f 表示学生注意力随时间t 〔分钟〕的变化规律〔)(t f 越大,表明学生注意力越大〕,经过实验分析得知： ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f ,〔1〕讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？〔2〕讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中？〔3〕一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？注：对于一些较复杂的问题,有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题,需先后或年同时构造、利用几个函数模型,即分段函数模型方可.5、幂函数模型例5在固定电压差〔电压差为常数〕下,当电流通过圆柱体电线时,其强度I 与电线半径r 的三次方成正比.〔1〕写出函数解析式；〔2〕若电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,求电流通过半径为r 毫米的电线时,其电流强度的表达式；〔3〕已知〔2〕中的电流通过的电线半径为5毫米,计算该电流的强度.解：〔1〕3kr I =〔k 为常数〕.〔2〕由〔1〕知：34320⨯=k ,解得：5=k .所以,电流通过半径为r 毫米的电线时,其电流强度的表达式为35r I =.〔3〕由〔2〕中电流强度的表达式,将5=r 代入得：625553=⨯=I 安.注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题,关键是分清各个量的物理意义与相关关系.6、对数函数模型.例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log 52O v ,单位是s m /,其中O 表示燕子的耗氧量. 〔1〕计算,当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？〔2〕当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少？一、选择题.1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t 〔年〕的函数关系如下图所示,下列四种说法,其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后,这种产品停止生产 ④第五年后,这种产品的产量保持不变A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④2．如下图△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f 〔x 〕的图象大致为3．用长度为24的材料围一个矩形场地,中间且有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为A ．3B ．4C ．6D ．124．已知镭经过100年,剩留原来质量的95．76%,设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ,则y 与x 的函数关系是A ．y ={0．9576}100xB ．y ={0．9576}100xC ．y =〔1009576.0〕x D ．y =1－〔0．0424〕100x 5．某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回b 千米〔b <a 〕,再前进c 千米,则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是二、填空题.6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ,若该产品的年平均增长率为x ,20##底该厂这种产品的年产量为y ,那么y 与x 的函数关系式是______________________________．7．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架〔半径为r 〕,若矩形底边长为2x ,此框架围成的面积为y ,则y 与x 的函数解析式是_________________________________．8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比,且比例系数为a ,其余费用与船的航行速度无关,约为每小时b 元,若该船以速度v 千米/时航行,航行每千米耗去的总费用为 y 〔元〕,则y 与v 的函数解析式为________．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·〔0．5〕x +b ,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税,超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为__________元．三、解答题.11.一个体户有一种货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2．4%,如果月末售出可获利120元,但要付保管费5元,问这种货是月初售出好,还是月末售出好？12.某种商品现在定价每年p 元,每月卖出n 件,因而现在每月售货总金额np 元,设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍．〔1〕用x 和y 表示z. 〔2〕若y =32x ,求使售货总金额有所增加的x 值的X 围．13.茜种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税P 元,因此每年销售量将减少203P 万件. <1> 将政府每年对该商品征收的总税金y 万元表示为P 的函数,并指出这个函数的定义域. <2> 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元,问税率P%应怎样确定？ <3> 在可收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,则如何确定P 值？ 14.某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m 2的厂房,工程条件是：<1> 建1m 新墙的费用为a 元；<2> 修1m 旧墙的费用为4a元；<3> 拆去1m 的旧墙,用可得的建材建1m 的新墙的费用为2a元,经讨论有两种方案： ①利用旧墙一段x m 〔0＜x ＜14〕为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14,问如何利用旧墙建墙费用最省？ 试比较①②两种方案哪个更好.函数应用题归类分析我们已经学过一次函数、二次函数与分段函数,应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题,现归类如下.一 能解决利润最大或效益最高问题 例1、某售货点,从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元,卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部,卖出的商品的价格是每份0.5元,在一个月〔30天〕中,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,假设每天从批发部买进的商品的数量相同,则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？分析：每月的利润=月总收入—月总成本,而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入. 解、设每天从批发部买进的数量为x 份,易知250400x ≤≤设每月的纯收入为y 元,则由题意,得因为一次0.31050y x =+函数0.31050y x =+在区间[]250,400x ∈上为增函数,所以当400x =时,函数0.31050y x =+取得最大值：0.340010501170y =⨯+= 〔元〕答；当每天从批发部进货400分时,每月所获得利润最大,最大利润是1170元.点评：本题是一次函数模型的应用,对于利用一次函数来求最值,主要是利用其单调性来解决. 例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下,飞机票每X 收费900元；若旅游团的人数多于30人,则给与优惠,每多1人,机票费每X 减少10元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为多少时,旅行社可获得的利润最大？解、设旅游团的人数为x 人,飞机票为y 元,依题意,得当130x ≤≤时,900y =；当3075x <≤时,90010(30)101200y x x =--=-+；所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ 设利润为Q ,则290015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⨯-=⎨-+-<≤⎩ 当130x ≤≤时,max 900301500012000Q =⨯-=,当3075x <≤时,221012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+, 所以当60x =时,max 21000Q =12000>,答：当旅游团人数为60人时,旅行社可获得最大利润21000元.点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题,对于分段函数的最值,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值. 二 能帮助选择最佳方案 例3、某企业买劳保工作服和手套,市场价每套工作服53元,手套3元一副,该企业联系了两家商店,由于用货量大,这两家商店都给出了优惠条件：商店一：买一赠一,买一套工作服赠一副手套. 商店二：打折,按总价的95℅收款.该企业需要工作服75套,手套若干〔不少于75副〕.若你是企业的老板,你选择哪一家商店省钱.分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式,然后比较,当取相同值时,哪种函数值小,则哪种优惠条件最省钱,就选哪一家商店. 解、设需要手套x 副,付款数为y 元,商店一的优惠条件：()75533(75)33750f x x x x =⨯+⨯-=+≥ （７５） 商店二的优惠条件：()75533)5g x x =⨯+⨯（９℅=2.853776.25x x +≥ （７５） 令()()x g x =ｆ,即33750 2.853776.25x x ++ = ,解得x =175 即购买了175副手套时,两商店的优惠相同,令()()0.1526.25x g x x -=-y=ｆ当75175x ≤<时 ,y<0即()()x g x <ｆ,应选择商店一省钱. 当175x >时,y>0即()()x g x >ｆ,应选择商店二省钱.综上可知：当麦175套手套适量商店的优惠相同,当买的手套数多于75而少于175时,选商店一省钱,当买的手套数多175时,选商店二省钱.点评：给出几种方案,通过计算比较,确定出最佳方案是这类问题的特点. 三 涉与几何问题中的最值例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地.现有材料可筑墙的总长度为l .如果要使围墙围出一块矩形场地的面积最大,问矩形的长、宽各等于多少？ 分析：若设矩形的长为x ,则宽为(2)2l l x -,从而矩形的面积为2(2)22l lS x l x x x =⨯-=-+,是关于x 的二次函数.解、设矩形的长为x ,则宽为(2)2ll x -,从而矩形的面积为。
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已知,a b 均為單位向量，它們の夾角為60，那麼3a b +＝_____如圖,在平行四邊形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足為P, 3AP AP =，则已知OP =)1,2(，OA =)7,1( ，OB =)1,5(，設M 是直線OP 上一點，O 是座標原點 ⑴求使 取最小值時の； ⑵對（1）中の點M ，求AMB Ðの余弦值。
已知△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那麼角A 等於多少？在△ABC中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，則△ABC の面積是多少？在△ABC 中，已知14,cos 3a b C +== ，求中線CD の最小值已知：sinC ＝2sin(B ＋C)cosB ，試判斷三角形の形狀。
某興趣小組測量電視塔AE の高度H （單位：m ），如示意圖，垂直放置の標杆BC の高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．（1）該小組已經測得一組α、βの值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據此算出H の值； （2）該小組分析若干測得の數據後，認為適當調整標杆到電視塔の距離d（單位：m ），使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔の實際高度為125m ，試問d 為多少時，α-β最大？例9. 在路邊安裝路燈，燈柱AB 與地面垂直，燈杆BC 與燈柱AB 所在平面與道路垂直，且120ABC ?，路燈C 採用錐形燈罩，射出の光線如圖中陰影部分所示，已知60ACD ?，路寬24AD =米，設燈柱高AB h =（米），ACB q ?（3045q ＃）（1）求燈柱の高h （用θ表示）；（2）若燈杆BC 與燈柱AB 所用材料相同，記此用料長度和為S ，求S 關於θの函數運算式，並求出S の最小值．如圖所示，,A B 是兩個垃圾中轉站，B 在A の正東方向16千米處，AB の南面為居民生活區. 為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB の北面建一個垃圾發電廠P . 垃圾發電廠P の選址擬滿足以下兩個要求（,,A B P 可看成三個點）：①垃圾發電廠到兩個垃圾中轉站の距離與它們每天集中の生活垃圾量成反比，比例係數相同；②垃圾發電廠應儘量遠離居民區（這裏參考の指標是點P 到直線AB の距離要盡可能大）. 現估測得,A B 兩個中轉站每天集中の生活垃圾量分別約為30噸和50噸，問垃圾發電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？如圖，在平面直角坐標系xOy 中，已知橢圓+=1（a ＞b ＞0）の離心率為，且右焦點F 到左准線lの距離為3．（1）求橢圓の標準方程； （2）過F の直線與橢圓交於A ，B 兩點，線段AB の垂直平分線分別交直線l 和AB 於點P ，C ，若PC=2AB ，求直線AB の方程．BA· ·居民生活区如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心の圓M:221214600x y x y+--+=及其上一點A(2，4).(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓Nの標準方程；(2)設平行於OAの直線l與圓M相交於B、C兩點，且BC=OA,求直線lの方程；(3)設點T（t,0）滿足：存在圓M上の兩點P和Q,使得TA TP TQ+=求實數tの取值範圍。
如圖，將邊長為3の正方形ABCD 繞中心O 順時針旋轉α (0＜α＜π2)得到正方形A ′B ′C ′D ′．根據平面幾何知識，有以下兩個結論：①∠A ′FE ＝α；②對任意α (0＜α＜π2)，△EAL ，△EA ′F ，△GBF ，△GB ′H ，△ICH ，△IC ′J ，△KDJ ，△KD ′L 均是全等三角形．（1）設A ′E ＝x ，將x 表示為αの函數；（2）試確定α，使正方形A ′B ′C ′D ′與正方形ABCD 重疊部分面積最小，並求最小面積．如圖所示，直立在地面上の兩根鋼管AB 和CD，AB =，CD =，現用鋼絲繩對這兩根鋼管進行加固，有兩種方法：（1）如圖（1）設兩根鋼管相距1m ，在AB 上取一點E ，以C 為支點將鋼絲繩拉直並固定在地面のF 處,形成一個直線型の加固（圖中虛線所示）．則BE 多長時鋼絲繩最短？（2）如圖（2）設兩根鋼管相距，在AB 上取一點E ，以C 為支點將鋼絲繩拉直並固定在地面のF 處，再將鋼絲繩依次固定在D 處、B 處和E 處，形成一個三角形型の加固（圖中虛線所示）．則BE 多長時鋼絲繩最短？D'A ED CBFA ED CB F 图1图2海岸線MAN ，2A q ?現用長為l の攔網圍成一養殖場，其中,B MA C NA 挝．（1）若BC l =, 求養殖場面積最大值； （2）若B 、C 為定點，BC l ，在折線MBCN 內選點D ，使BD DC l +=，求四邊形養殖場DBAC の最大面積；摩天輪の半徑OA 為50m ，它の最低點A 距地面の高度忽略不計．地面上有一長度為240m の景觀帶MN ，它與摩天輪在同一豎直平面內，且AM ＝60m ．點P 從最低點A 處按逆時針方向轉動到最高點B 處，記∠AOP ＝θ，θ ∈(0，π)．（1）當θ ＝23p時，求點P 距地面の高度PQ ；（2）試確定θ の值，使得∠MPN 取得最大值．（第17题图）AMNBO PQθ如圖，經過村莊A有兩條夾角為60°の公路AB，AC，根據規劃擬在兩條公路之間の區域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M、N(異於村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設計，使得工廠產生の雜訊對居民の影響最小(即工廠與村莊の距離最遠)．APMNBC(第17题图)解法一：設∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因為MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ) ． ………………………………………2分在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． …………………………………………6分 AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ………………………………8分 ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． …………………………………………12分 當且僅當2θ＋150°＝270°，即θ＝60°時，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．答：設計∠AMN 為60 時，工廠產生の雜訊對居民の影響最小．……………………………………14分 解法二(構造直角三角形)： 設∠PMD ＝θ，在△PMD 中，∵PM ＝2，∴PD ＝2sin θ，MD ＝2cos θ． ……………2分 在△AMN 中，∠ANM ＝∠PMD ＝θ，∴MN sin60°＝AM sin θ，AM ＝433sin θ，∴AD ＝433sin θ＋2cos θ，(θ≥π2時，結論也正確)．……………6分 AP 2＝AD 2＋PD 2＝(433sin θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θ＋833sin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ …………………………8分 ＝163·1－cos2θ2＋433sin2θ＋4＝433sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－π6)，θ∈(0，2π3)． …………………………12分 當且僅當2θ－π6＝π2，即θ＝π3時，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23．此時AM ＝AN ＝2，∠PAB ＝30° …………………………14分 解法三：設AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因為MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，A PM NBC第17题图D即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． …………………………………………2分 因為MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4． …………………………………………6分cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4．……………………………8分在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ，即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．………………………………………12分因為x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4． 所以AP 2≤12，即AP ≤23．當且僅當x ＝y ＝2時，AP 取得最大值23．答：設計AM ＝AN ＝2 km 時，工廠產生の雜訊對居民の影響最小．………………………………14分。