41整数的一些整除性质概要
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则对任意 c1 , c2 ,
a | (b1c1 b2c2
, n,
, cn Z ,有 bncn ) 。
* 4）是2、3）的推广
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5）对于任意整数 a ， 有 a | 0, 1 | a , a | a 。
6）若 a | b 且b | a ，则 b | a 。
6）的证明：
而| r1 r | max( r , r1 ) | a |，矛盾， 所以 q1 q ，故 r1 r 。 （证毕）
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2、余数与商
定理 4.1.1 中，q 称为 b 被 a 除所得的商，r 称为 b 被 a 除所得的余数。
注：余数 r 是满足等式b aq r 且| r | 为最 小的整数，余数是非负的整数。
定义 1 设 a, b是两个整数。如果存在一个整数q 使 得 b aq ， 则称 a 整除 b ， 或称 b 被a 整除， 记作a | b ， 也说 a 是 b 的因数， b 是 a 的倍数。如果对任意整 数 q ，都有 b aq ,则称 a 不整除，记作a | b
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注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论 带来方便，这是研究方法上的一个进步。 例1 3 | 6, 3 | 6, 5 | 11, 0 | 0, 0 | b (b 0), a | 0. 2、整除与除法的区别 除法中不能用0作除数； 由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
q, a 0, 取 q q, a 0,
则 b q | a | r , 0 r | a |
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再证唯一性
若 b aq r aq1 r1 ,0 r , r1 | a | ，
则 (q q1 )a r1 r .
若(q q1 ) 0 ，则| r1 r || q q1 || a || a |，
, n | a |, , 2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |, , n | a |,
则 b 一定位于序列某相邻两项之间，
即存在 q Z ，使q | a | b (q 1) | a | 。
所以
b q | a | r , 0 r | a | ，
按定义，存在整数 c, d ，使得 b ac,且 a bd 。 将 b ac 代入 a bd ， 有 a bd (ac )d a(cd ) 。 若 a 0 ， 则 b ac 0 a ；
若 a 0，则由消去律得 ad 1，
因此 c d 1，于是b | a 。
例． 设 a, b, c, d Z ,已知(a c ) | (ad bc ) , 求证(a c ) | (ab cd )
分析 因为(ab cd ) (ad bc ) (a c )(b d ) ，
且已知(a c ) | (ad bc ) ，即可证得结论。
, n | a |,
利用数轴直观理解 b 必落在某个长度为| a |的小 区间中，存在 q 使得 b q | a | r , 0 r | a | ；
2、对分大于零和小于零两种情形讨论；
3、唯一性证明，注意 r r1 | a |。
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证 先证存在性，并考察整数的递增序列：
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二．整除的基本性质
根据定义，容易推出整除的基本性质： 1）若 a | b, b | c , , 则 a | c 。
2）若 a | b, a | c , 则 a | (b c ) 。
3）若 a | b, c Z , 则 a | bc 。
4)若 a | bi , i 1,2,
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三．带余除法 1、带余除法定理
定理 4.1.1 (带余除法) 设 a , b Z , a 0 ，则 存在 q , r Z ， 使得
b aq r , 0 r | a |
成立，而且 q, r 是唯一的。
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分析 1、考察整数的递增序列： , n | a |, , 2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |,
第4 章
多项式
4.1整数的一些整除性质
授课题目：4.1整数的一些整除性质 教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握 最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性 质 授课时数：2学时 教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因 数存在定理
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教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定 理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明） 教学过程： 一、整数的整除 1、整除的定义
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例 2 若 3 | n ，且 7 | n ，则 21 | n 。
证
由 3 | n ，知 n 3m , m Z , 所以 7 | 3m .
由此及 7 | 7 m 得，7 | (7 m 2 3m ) ，即 7 | m ， 从而， m 7q , q Z ，于是， n 21q ，故 21 | n 。
推论 1 1）若 a 0，则 a 只能整除 0 ；
2）若 a 0，则 a | b 的充分必要条件是a 除b 所得 的余数 r 0。
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来自百度文库
课堂练习 设a被7除余3，a被5除余4，求a 被 35除的余数。
（利用带余除法得等式⑵.⑶，变形出现系数35， 再变形证之）
例3
a 3, b 28，
则 28 ( 3)( 9) 1, q 9, r 1；
a 3, b 28
则 28 ( 3) 10 2, q 10, r 2 。
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四．最大公因数 1、公因数与最大公因数
定义 2 设 a, b Z ， 满足下列条件的整数 d
叫做 a 和 b 的一个最大公因数： 1） d | a , d | b ； 2）若 c Z 且 c | a , c | b ，则 c | d
a | (b1c1 b2c2
, n,
, cn Z ,有 bncn ) 。
* 4）是2、3）的推广
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5）对于任意整数 a ， 有 a | 0, 1 | a , a | a 。
6）若 a | b 且b | a ，则 b | a 。
6）的证明：
而| r1 r | max( r , r1 ) | a |，矛盾， 所以 q1 q ，故 r1 r 。 （证毕）
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2、余数与商
定理 4.1.1 中，q 称为 b 被 a 除所得的商，r 称为 b 被 a 除所得的余数。
注：余数 r 是满足等式b aq r 且| r | 为最 小的整数，余数是非负的整数。
定义 1 设 a, b是两个整数。如果存在一个整数q 使 得 b aq ， 则称 a 整除 b ， 或称 b 被a 整除， 记作a | b ， 也说 a 是 b 的因数， b 是 a 的倍数。如果对任意整 数 q ，都有 b aq ,则称 a 不整除，记作a | b
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注：用乘积的等式来定义整除，给后面的讨论 带来方便，这是研究方法上的一个进步。 例1 3 | 6, 3 | 6, 5 | 11, 0 | 0, 0 | b (b 0), a | 0. 2、整除与除法的区别 除法中不能用0作除数； 由于整除是由乘积的等式来定义的，有0|0。
q, a 0, 取 q q, a 0,
则 b q | a | r , 0 r | a |
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再证唯一性
若 b aq r aq1 r1 ,0 r , r1 | a | ，
则 (q q1 )a r1 r .
若(q q1 ) 0 ，则| r1 r || q q1 || a || a |，
, n | a |, , 2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |, , n | a |,
则 b 一定位于序列某相邻两项之间，
即存在 q Z ，使q | a | b (q 1) | a | 。
所以
b q | a | r , 0 r | a | ，
按定义，存在整数 c, d ，使得 b ac,且 a bd 。 将 b ac 代入 a bd ， 有 a bd (ac )d a(cd ) 。 若 a 0 ， 则 b ac 0 a ；
若 a 0，则由消去律得 ad 1，
因此 c d 1，于是b | a 。
例． 设 a, b, c, d Z ,已知(a c ) | (ad bc ) , 求证(a c ) | (ab cd )
分析 因为(ab cd ) (ad bc ) (a c )(b d ) ，
且已知(a c ) | (ad bc ) ，即可证得结论。
, n | a |,
利用数轴直观理解 b 必落在某个长度为| a |的小 区间中，存在 q 使得 b q | a | r , 0 r | a | ；
2、对分大于零和小于零两种情形讨论；
3、唯一性证明，注意 r r1 | a |。
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证 先证存在性，并考察整数的递增序列：
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二．整除的基本性质
根据定义，容易推出整除的基本性质： 1）若 a | b, b | c , , 则 a | c 。
2）若 a | b, a | c , 则 a | (b c ) 。
3）若 a | b, c Z , 则 a | bc 。
4)若 a | bi , i 1,2,
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三．带余除法 1、带余除法定理
定理 4.1.1 (带余除法) 设 a , b Z , a 0 ，则 存在 q , r Z ， 使得
b aq r , 0 r | a |
成立，而且 q, r 是唯一的。
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分析 1、考察整数的递增序列： , n | a |, , 2 | a |, | a |,0,| a |,2 | a |,
第4 章
多项式
4.1整数的一些整除性质
授课题目：4.1整数的一些整除性质 教学目标：掌握整除的性质及带余除法，掌握 最大公因数与互素的概念及互素的一些简单性 质 授课时数：2学时 教学重点：整除的性质、带余除法、最大公因 数存在定理
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教学难点：带余除法定理及最大公因数存在定 理的证明（定理4.1.1与定理4.1.2的证明） 教学过程： 一、整数的整除 1、整除的定义
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例 2 若 3 | n ，且 7 | n ，则 21 | n 。
证
由 3 | n ，知 n 3m , m Z , 所以 7 | 3m .
由此及 7 | 7 m 得，7 | (7 m 2 3m ) ，即 7 | m ， 从而， m 7q , q Z ，于是， n 21q ，故 21 | n 。
推论 1 1）若 a 0，则 a 只能整除 0 ；
2）若 a 0，则 a | b 的充分必要条件是a 除b 所得 的余数 r 0。
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课堂练习 设a被7除余3，a被5除余4，求a 被 35除的余数。
（利用带余除法得等式⑵.⑶，变形出现系数35， 再变形证之）
例3
a 3, b 28，
则 28 ( 3)( 9) 1, q 9, r 1；
a 3, b 28
则 28 ( 3) 10 2, q 10, r 2 。
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四．最大公因数 1、公因数与最大公因数
定义 2 设 a, b Z ， 满足下列条件的整数 d
叫做 a 和 b 的一个最大公因数： 1） d | a , d | b ； 2）若 c Z 且 c | a , c | b ，则 c | d