横截面和斜截面上的应力

FP1
m
切应力
K
FP2 m
全应力 p
正应力
二、拉Байду номын сангаас杆横截面上的正应力
1 1
2 2
轴向拉伸 F
F
轴向压缩 F
1 111
2 2 2 2
F
1 1
2 2
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍
为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化，
由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设:
平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平 面，仅沿轴向产生了相对平移。
虎克定律的另一种表达形式
l FNl EA
EA称为杆的抗拉（压）刚度 。
例 图示阶梯杆，已知横截面面积AAB=ABC=500mm2， ACD=300mm2，弹性模量E=200GPa。试求杆的总伸长。
解
AB C 30kN
D 10kN
①作轴力图。
②分段计算变形量。 △lAB = 0.02mm △lBC = -0.01mm △lCD = -0.0167mm
第十四讲
教学内容：
§12-3横截面和斜截面上的应力
§12-4拉压杆的变形及虎克定律
教学要求：
1、理解正应力、切应力的概念，掌握拉压杆横截面 和斜截面上的应力计算公式。
2、理解应变、泊松比，掌握虎克定律及其应用方法。
第三节 横截面和斜截面上的应力
一、应力的概念
平均应力：横截面某范围内单位面积上微内力的平 均集度 p F
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
b
b
FN
σmax= FN/A 2=-20×103/300（MPa）=-66.7 MPa
三、拉压杆斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破 F
坏有时不沿着横截面，
因此有必要研究轴向拉
F
（压）杆斜截面上的应
力。如右图，斜截面上
的内力：
FN = F 故其上的应力为：
p
FN A
F A
k
n
F
A k'
k
FN p
k'
所以截面上的正应力和
切应力为：
＝ cos2
F
＝ sin 2
2
讨论：
k p
k'
①当 =0 时，有σmax=σ=σ ，τ =0 。
ll
横向线应变：aa1a
aa
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0；
3.泊松比μ（横向变形系数） 实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变 与纵向线应变的比值为一常数。即
' =-
二、虎克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力 不超过某 一限度时，其应力与应变 成正比。即
＝E
上式称胡克定律。其中，比例常数 E 称为材料 的弹性模量。
A
F1 F2
m F微内力 O点 A微面积
m
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和
方向都将趋于一定极限(即全应力)，
得到
pm
limFdF A0 A dA
F1
m p 全应力
Om
F2 m
全应力pm通常分解成: 垂直于截面的分量σ－－正应力 平行于截面的分量τ－－切应力
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
③计算总变形量。
100 100 100 FN 20kN
+
O
－
x
10kN
△l = △lAB + △lBC + △lCD =0.0067mm
②当 =45时，有τmax =τ =σ/2 。 ③当 =90 时，有σ =0，τ =0 。
第四节 拉压杆的变形及虎克定律
一、纵向线应变和横向线应变
l1
a1
F
F
l
a
F
F
l1
a1
1. 纵向变形为 l=l1- l 横向变形为 a=a1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。 纵向线应变： l l1 l
由此可推断出：横截面上各点的变形程度相 同，受力相同；亦即内力——轴力在横截面上均 匀分布。由材料均匀性假设可的如下结论：
轴向拉压杆横截面上各点的应力大小相等， 方向垂直于横截面。
F
FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
例 一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大