高考总复习2函数与映射的概念s

第2讲函数与映射的概念
★知识梳理
1．函数的概念 (1)函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为
★重、难点突破
重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域
[误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是
[正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围
问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而
B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}
A x x f ∈)()(x f y =
B A 、f A B A B B A f →:)(x f y =][b a ，)2(+=x f y )(x f y =][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )2(+=x f y ]2,2[++b a )(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤222-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a b x a ≤+≤2x )2(+=x f y ][b a ，)(x f y =)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤+≤2
，所以函数的定义域是
[正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是，即本题的实质是由求的范围， 即与中含义不同
重难点：2．求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数
，可变为解决
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数
就是利用函数和的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得
，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数的值域，因为
，而，所以，故
22-≤≤-b x a )(x f y =]2,2[--b a )2(+=x f y ][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )(x f y =]2,2[++b a b x a ≤≤2+x )(x f )2(+x f x 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22
1++-=x x y u y 2
1log =322++-=x x u 2
21
22
+-+=
x x x y 2
2122+-+=
x x x y 012)1(22
=-++-y x y yx 0=y 21-=x 0
=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2
≥--+-=∆y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2
13
3,2133[+-1
cos 3
cos 2+-=
x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-=
x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2
5
,(1cos 5--∞∈+-
x ]2
1,(--∞∈y
（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域
当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域
因，故函数在上递减、
在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析
考点一：判断两函数是否为同一个函数
[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），（n ∈N *）；
（4），；
（5），
[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。

[新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数相同的是( ) A .y = ()2
; B. y =
y =; D. y =
4
32+=
x x
y 0=x 0=y 0≠x x
x y 43+=
0>x 44
24=⋅≥+
x
x x x 0<x 4)4()(2)4(4=-⋅-≤-+--=+
x x x x x x ]4
3
,43[-])2,1[(222
4
-∈+-=x x x y )14(22823-=-=x x x x y ])2,1[(222
4-∈+-=x x x y )2
1,1(--)0,21(-
)21,0()2,21(]30,8
15
[2)(x x f =33)(x x g =x x
x f =
)(⎩⎨⎧<-≥=;
01
,01
)(x x x g 1
212)(++=n n x x f 1212)()(--=n n x x g x
x f =
)(1+x x x x g +=
2)(12)(2
--=x x x f 12)(2
--=t t t g x y =x 2
x x
x 2
2．(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是（）
A.；
B.；
C.；
D.
考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数的定义域为( ) A.;B.；C. ;D.
题型2：求抽象函数的定义域
[例3]（2006·湖北）设，则的定义域为（ ） A . ；B . ；C . ；D .
题型3：求函数的值域
[例4]已知函数，若恒成立，求的
值域
3.（2008安徽文、理）函数的定义域为．
4．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( ) A ．；B ．；C ．；D ．无法确定
5．(2008江西改)若函数的定义域是，则函数的定义域是
)
12lg(1.0-=x y )21(12>-=x x y 121-=x y )21(121>-=
x x y |1
21
|-=x y =
)(x f )4323ln(1
22+--++-x x x x x
),2[)4,(+∞--∞ )1,0()0,4( -]1,0()0,4[, -)1,0()0,4[, -()x x x f -+=22lg ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22()()4,00,4 -()()4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --)(6242
R a a ax x y ∈++-=0≥y 32)(+-=a a a
f 2()f x =R ()y f x =[,]a b (1)y f x =-[1,1]a b --[,]a b [1,1]a b ++()y f x =]3,1[(2)
()1
f x
g x x =-
6．(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域 是
考点三：映射的概念
[例5]（06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文
例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：
（1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统；
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的；
（3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一．．的，这是映射区别于一般对应的本质特征；
（4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；
（5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练]
7．集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________.
8．若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B.
()y f x =]3,32[()()1
()
F x f x f x =+→→,,,a b c d 2,2,23,4.a b b c c d d +++1,2,3,45,7,18,16.14,9,23,287,6,1,46,4,1,74,6,1,71,6,4,7
备选例题：（03年上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。

（1）函数是否属于集合？说明理由；
（2）设函数的图象与的图象有公共点，证明：
基础巩固训练：
1．(2007·广东改编) 已知函数的定义域为，的定义域为
，则
2．函数的定义域是
3．函数的值域是
4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ．B 中某一元素的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素的象可能不只一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同
5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则中，构成从集合A 到集合的映射是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
M )(x f T R x ∈)()(x Tf T x f =+x x f =)(M )1,0()(≠>=a a a x f x
x y =M a x f x ∈=)(x
x f -=
11)(N )1ln()(x x g +=M =N M )23(log 3
1-=x y 1
212+-=x x y b a f B 2
||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=2
:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=2
1:},0|{,x
y x f y y B R A =
→>==2:},1,0{},2,0{x
y x f B A =→==
6．（09年执信中学）若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）
A ．；
B ．；
C ．；
D ．
综合提高训练：
8．（05天津改）设函数，则函数的定义域是
9．设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有个整数
2
34y x x =--[0,]m 25
[4]4
--，m (]4,03[3]2，3[]2，43[2
+∞，）x x x f -+=22ln )()1
()2()(x
f x f x
g +=2
1
)(2
++=x x x f ]1,[+n n n )(x f。