几何不变的体系的原则共44页
第2章 平面体系的几何组成分析
第2章 平面体系的机动分析 2-1 概述 2-2 平面体系的计算自由度 2-3 几何不变体系的基本组成规则 2-4 瞬变体系 2-5 机动分析示例 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况2-7 几何构造与静定性的关系12-1 概 述一、 几何不变体系和几何可变体系 1.几何不变体系——受到荷载等外因作用后，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
1 2. 几何可变体系——在荷载作用下，即使不考虑材料的弹性变形，也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
1二、 造成几何可变的原因 1. 内部构造不健全（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系12. 外部支承不恰当（a) 几何不变体系（b) 几何可变体系1三、机动分析的目的1. 判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。
2. 区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。
3. 搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。
1§2-2 平面体系的计算自由度一、 几个基本概念1. 刚片 体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
12. 自由度 体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为该体系的自由度。
1.一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。
13. 约束减少自由度的装置称为约束（或联系）。
可以减少一个自由度的装置是一个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称为外部约束；杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
1约束的种类分为： 1）链杆或支杆★ 一根支杆或一根链杆相当于一个约束1 2）铰★ 1个单铰相当于2个约束,减少2个自由度。
1★连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个单铰，相当于2(n-1) 个约束。
1 3）刚结 单刚结—连接两个刚片的刚结★ 1个单刚结相当于3个约束, 减少3个自由度。
静不定结构学习.pptx
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2.内部约束
多余内部约束的实例：
ab
静定
二次静不定
三次静不定
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具有多余内部约束的结构的特点：平衡 方程可以求出所有反力，但不能求出所有内 力。
一个静不定结构，去掉 n 个约束后成为 静定结构，则原结构为 n 次静不定结构。
[ 1 3
ql 2 2
l 3l 4
ql 2 2
ll]
5ql 4 8EI
代入协调方程，得：X1
1F
11
5ql 4
8EI 4l 3Hale Waihona Puke 15 ql （方向向上） 32
3EI
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2.力法典型方程
例：
A
B
l
EI
2
取静定基
lF
2
l
三次静不定结构
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X3 X2
X1
F
静定基
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得：
4l3 3EI
X1
l3 2EI
X2
3l 2 2EI
X3
Fl3 8EI
0
l3 2EI
X
1
l3 3EI
X2
l2 2EI
X3
5Fl3 48EI
0
3l 2
l2
2l
Fl 2
2EI
X1
2EI
X2
EI
X3
8EI
0
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化简，得：
32l X1 12l X 2 36X 3 3Fl 0 24l X1 16l X 2 24X 3 5Fl 0 12l X1 4l X 2 16X 3 Fl 0
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则《几何不变体系的简单组成规则》一、引言在数学领域中，几何不变体系是一种重要的概念，它涉及到几何性质在变换中的不变性。
在本文中，我们将深入探讨几何不变体系的简单组成规则，以便更好地理解和运用这一概念。
二、几何不变体系的定义几何不变体系是指在几何变换下保持不变的性质。
其中，几何变换主要包括平移、旋转、镜像和缩放等操作。
在这些变换下，几何图形的一些特定性质能够保持不变，这就是几何不变体系的核心概念。
三、简单组成规则的探讨1. 对称性对称性是几何不变体系中最基本的规则之一。
几何图形在镜像变换下保持不变的性质，就是对称性的体现。
正方形在任何一个对角线的镜像下都能保持不变，这就是对称性的具体应用。
2. 角度的不变性在几何不变体系中，角度的不变性也是一个重要的组成规则。
无论是平移、旋转还是缩放，相似的几何图形之间的对应角度都能保持不变。
这一性质在几何推导和证明中起着重要的作用。
3. 变换的复合几何不变体系中，变换的复合也是一项重要的组成规则。
多种几何变换进行复合后，依然能够保持图形的不变性。
这种复合变换的运用，有时能够简化问题的解决过程，提高问题的可解性。
4. 比例的保持在几何不变体系中，比例的保持也是一个简单但重要的组成规则。
在缩放变换中，图形中各部分之间的比例关系能够保持不变。
这种比例的保持，有助于我们对几何图形的形状和结构进行分析和研究。
四、总结与回顾通过本文的探讨，我们更深入地理解了几何不变体系的简单组成规则。
对称性、角度的不变性、变换的复合和比例的保持，这些规则在几何不变体系的理论中起着重要的作用。
我们能够通过这些规则，更好地理解和运用几何不变体系的相关知识。
五、个人观点与理解在我看来，几何不变体系的简单组成规则是数学领域中的重要概念之一。
这些规则不仅能够帮助我们更深入地理解几何图形的性质和变换过程，还能够为实际问题的解决提供有力的数学工具。
我相信，通过不断地学习和实践，我们能够更好地掌握这些规则，并在实际应用中取得更好的成果。
几何不变体系
§2.2体系的计算自由度
一个平面体系通常都是由若干部件刚片（结点）加入一些
约束组成。按照各部件都是自由的情况， 算出各部件自由度
总数， 再算出所加入的约束总数， 将两者的差值定义为体系
的计算自由度W。即：
W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）
如以m表示刚片数，h表示单铰数，r表示支承链杆数，则
2、几何可变体系：在外力作用下，其形状或位置会改变。
图a
图b
1
几何可变体系又可分为两种： （1）几何常变体系：受力后可发生有限位移。 （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位移。
PA
P
N
N
A
∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生很大
β
PA
β
的内力, 故几何常变体系和几 何瞬变体系不能作为建筑结
12
图a为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC、BC均看成刚片，
就成为两刚片组成的无多余约束几何不变体系C
二、两刚片以一铰及不通过该铰的 一根链杆相联组成无多余约束的 几何不变体系 。
A
a
A 图a B 图b
B
杆通过铰 瞬变体系
三、两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根链杆相 联，组成无多余约束的几何不变体系。
14
（a）
（b）
（c）
（e） （d）
15
规则 连接对象 必要约束数 对约束的布置要求 瞬变体系
一 三刚片
六个 三铰(实或虚)不共线 三种
二 两刚片
三
三个
链杆不过铰
一种
三链杆不平行也不交于一点 两种
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
一种
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系是指一类具有几何性质不变的变换组合，其组成规则可以简化为以下几点：
1. 平移不变性：任何平移对几何体的性质不产生变化。
平移是指将几何体的每个点沿着同一方向移动相同距离而保持原始形状不变。
2. 旋转不变性：任何旋转对几何体的性质不产生变化。
旋转是指将几何体绕着一个固定的点旋转一定角度而保持原始形状不变。
3. 缩放不变性：任何等比例的缩放对几何体的性质不产生变化。
缩放是指将几何体的每个点按照相同比例放大或缩小而保持原始形状不变。
4. 对合不变性：任何对合操作下几何体的性质不产生变化。
对合是指对几何体的两个操作进行反向操作，如顺时针旋转和逆时针旋转。
5. 反射不变性：任何对称操作不改变几何体的性质。
反射是指将几何体沿着一个对称轴折叠而保持原始形状不变。
根据这些规则，可以构建一系列几何变换操作，通过不同的变换组合来产生不同的几何不变体系。
这些简单的规则可以用来描述和理解许多几何问题和模式。
几何不变体系原则介绍共46页
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
几何不变体系原则介绍
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ活 动。——卢 梭
24平面几何不变体系的基本组成规则.
三、三刚片规则——平面内三个刚片的联结方式
A II B I
III
C
规律III：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在 一直线上，则组成内部几何不变且无多余约束的体系
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三个刚片两两相连，当存在无穷远瞬铰 时判断三铰共线 1、两个实铰（或有限远的虚铰）的连线与组成无 穷远瞬铰的链杆平行时， 三铰共线、体系瞬变
A
②
①
②
由二元体的性质可知：在一个体系上加上（或取消） 若干个二元体，不影响原体系的几何可变性。这一结 论，常为几何组成分析带来方便。
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二、两刚片规则——平面内两个刚片的联结方式
A
② ③
A II C B I
③
A
II B C
①
③ ②
B I
C I
规则II（表述之一）：两刚片用一铰和一链杆相连， 且链杆及其延长线不通过铰，则组成内部几何不变且 无多余约束的体系。 规则II（表述之二）：两个刚片用三个链杆相连，且 三根链杆不全交于一点且也不全平行，则组成内部几 何不变且无多余约束的体系。
C B B C
A A
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2、一个实铰（或有限远的虚铰）与两个相同方向的无
穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变。
3、三个瞬铰均为无穷远瞬铰时， 三铰共线、体系瞬变
A C A B C
B
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小 结 1) 二元体规则： 伸出两杆 （不共线）
发展结点
2) 二刚片规则： 一铰一杆 （铰可“实”可“虚”） 铰心勿穿 三根链杆 (不全平行） 不交一点
3) 三刚片规则： 三个铰链
不共一线(不全平行且不共一线)
几何不变体系原则共46页文档
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则1. 引言几何不变体系是一种研究几何对象不随变换而改变的性质和规则的数学体系。
在这个体系中，我们通过定义一些基本的变换和一些不变量来描述几何对象的性质。
本文将介绍几何不变体系的简单组成规则，包括基本变换、不变量的定义和应用。
2. 基本变换在几何不变体系中，我们定义了一些基本的变换，这些变换可以改变几何对象的位置、形状和方向。
以下是几个常见的基本变换：2.1 平移变换平移变换是将几何对象沿着指定的方向移动一定的距离，而不改变其形状和方向。
平移变换可以用一个向量来表示，向量的大小和方向表示移动的距离和方向。
2.2 旋转变换旋转变换是将几何对象围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换可以用一个角度来表示，角度的正负和大小表示旋转的方向和角度。
2.3 缩放变换缩放变换是将几何对象按照比例因子在各个方向上进行放大或缩小，而不改变其形状和方向。
缩放变换可以用一个比例因子来表示，比例因子大于1表示放大，小于1表示缩小。
2.4 对称变换对称变换是将几何对象围绕某个轴或点进行镜像对称，而不改变其形状和方向。
对称变换可以用一个轴或点来表示，轴表示沿着轴进行镜像对称，点表示围绕点进行镜像对称。
3. 不变量的定义在几何不变体系中，不变量是指在变换下保持不变的性质或规则。
不变量是描述几何对象的重要特征，可以用来判断几何对象是否相似或相等。
以下是几个常见的不变量：3.1 长度长度是指两点之间的距离，是一个几何对象的基本属性。
在平移变换下，长度保持不变。
3.2 角度角度是指两条线段之间的夹角，是一个几何对象的重要特征。
在旋转变换下，角度保持不变。
3.3 面积面积是指一个几何对象所占据的平面区域的大小，是一个几何对象的重要特征。
在缩放变换下，面积按比例因子的平方改变。
3.4 对称性对称性是指一个几何对象具有的镜像对称或旋转对称的性质。
在对称变换下，对称性保持不变。
4. 不变量的应用不变量在几何不变体系中有广泛的应用，可以用来解决各种几何问题。
几何不变体系原则PPT课件
连接的刚片数n 减少的自由度数m
2 3 45 2 4 68
m=（n-1）×2
作用：n个刚片用一个复铰连接，能减少（n-1）×2 个自由度。
※：一个复铰相当于（n-1）单铰
思考？？
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4 固定端：可以减少三个自由度。 5 平行支链杆：可以减少二个自由度。
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自由度的计算 W=3n-3r1-2r2-r3
W：自由度数 ； n：刚片数； r1：固定端数； r2：单铰数； r3：支链杆数。
例 计算图示体系的自由度
解
W=3×4－3×1－2×5－1 =－2
W=3×3－3×1－2×3－2 =－2
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2-2几何不变体系的组成规 律
几何不变， 且无多余约束
几何可变， 链杆通过铰
几何不变， 且有一个多余约束
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例
例
解 解 ■从基础开始增加杆件。
几何不变体系, 没有多余约 束。
几何不变体系，有4个多 余约束
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例
例
解 去掉二元体
将折杆画成直杆 几何不变体系， 且没有多余约束
解 去掉二元体 瞬变体系, 无多余约束。
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习题
习题
几何不变体系且没有多余 约束。
习题
例 C
D
例
B
E
解
A
F
解 从地基开始，依次增加二元 体AEF、ADE、FCE、CBF。
去掉一个多余约束
几何不变体系，AB为一个多 余约束。
去掉一个必要约束。
★按增加二元体顺序，多余约束可以是 ★多余约束的个数是一定的，位 AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。 置不一定，但也不是任意的。
平面几何不变体系的基本组成规律
W = 3m – (3g + 2h + b) 几何不变的必要条件是W≤0 W = 2j – b
例2-1 求图示体系的计算自由度。
解： 刚片数= 2， 单铰数= 1， 支座链杆数= 3。
计算自由度： W 3 2 21 3 1
体系不满足几何不变的必要条件， 因此是几何可变的。
G
计算自由度：
W 3m (3g 2h b)
31 (3 3 20 4) 10
例3 求图示体系的计算自由度W。
解： 结点数： j 6 链杆数： b 9
计算自由度：
W 2j b 269 3
例4 求图示体系的计算自由度W。
解：结点数： j 6 链杆数： b 9
计算自由度：
W 2j b 269 3
封闭刚结框架体系是具有3个内部多余约束的几何不变体系。
几何组成分析要点
1. 组成分析的一般作法 通常先计算体系的计算自由度W, 若W>0, 则体系为几何
可变; 若W≤0, 则再进一步按几何不变体系的组成规则进行 分析. 对于比较简单的体系, 可以直接按规则分析其几何组成.
2. 尽量暴露出分析的重点 对易于观察出的几何不变部分可通过增加二元体扩大为
刚片Ⅰ、Ⅱ由相互平行但不等长的 三根链杆相联，所以，体系是瞬变 的。
例2-6 试分析图示体系的几何构造。
图b
图c
解：若按图b或图c所示的刚片划分，则刚片Ⅱ与基础刚片Ⅲ之间 均只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，不能直
接套用三刚片规Βιβλιοθήκη 。刚片Ⅰ、Ⅱ之间通过链杆ED和CF 相联，其延长后形成虚铰(Ⅰ,Ⅱ) ; 刚片Ⅰ、Ⅲ之间通过AD杆和支座 链杆相联，形成虚铰(Ⅰ, Ⅲ); 刚片 Ⅱ、Ⅲ之间通过AE杆和C支座链杆 相联，形成虚铰(Ⅱ, Ⅲ)。
平面体系的几何组成分析解析
§2-2 平面体系的计算自由度
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S=（各部件自由度总数）－（非多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数－多余约束数） =（各部件自由度总数）－（全部约束数）+（多余约束数）
由此可见：只有当体系上没有多余约束时(n=0)，计算自由度才是体系的实际自由度！
组成几何不变体系的条件：
具有必要的约束数；约束布置方式合理。
§2-1 概述
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体系受到某种荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系若不能保证几何形状、位置不变，称为几何可变体系。
几何可变体系(geometrically unstable system)
§2-1 概述
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特点：
在一般荷载作用下，原位置不能维持平衡，在变形后的位置上可以平衡，但内力为无限大。从微小运动角度看，这是一个可变体系；微小运动后即成不变体系。
§2-1 概述
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体系受到任意荷载作用，在不考虑材料应变的前提下，体系产生瞬时变形后，变为几何不变体系，则称几何瞬变体系。
§2-1 概述
一般工程结构都必须是几何不变体系，而不能采用几何可变体系，否则将不能承受任意荷载而维持平衡。
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§2-2 平面体系的计算自由度
刚片：凡本身尺寸和形状都不变的平面刚体，均视为刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。
W<0，n>0有多余约束。
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自由度的讨论
⑵ W=0 ,具有成为几何不变所需的最少联系 几何可变/几何不变
⑴ W>0 ,几何可变
几何不变体系的简单组成规则
几何不变体系的简单组成规则1.平移：平移是最基本的几何变换之一，它将图形的每个点都沿着相同方向和距离移动。
在几何不变体系中，平移被定义为一个不变操作，即它不会改变图形的任何性质。
2.旋转：旋转是将图形围绕一个固定点旋转一定角度的变换。
在几何不变体系中，旋转也是一个不变操作，即它保持图形的性质不变。
旋转可以通过矩阵运算或使用复数表示来描述。
3.缩放：缩放是通过改变图形的大小来进行的几何变换。
在几何不变体系中，缩放也是一个不变操作。
缩放可以被定义为一个矩阵运算，其中图形的每个顶点都乘以一个比例因子。
4.对称：对称是通过翻转图形的一部分来进行的几何变换。
在几何不变体系中，对称也是一个不变操作。
对称可以沿着一个直线或一个点进行。
5.直线和圆：直线和圆是几何不变体系中最基本的图形元素。
直线可以通过两个点确定，而圆可以通过一个点和一个距离确定。
在几何不变体系中，直线和圆的性质是不变的，即它们保持不变。
6.平行：平行是直线之间没有交点的关系。
在几何不变体系中，平行性质是不变的，即无论如何进行几何变换，平行直线仍然保持平行。
7.垂直：垂直是直线之间成90度角的关系。
在几何不变体系中，垂直性质也是不变的，即无论如何进行几何变换，垂直直线仍然保持垂直。
8.角度：角度描述了两条线之间的旋转关系。
在几何不变体系中，角度保持不变，即无论如何进行几何变换，两条线之间的角度不会改变。
9.面积和体积：面积和体积描述了图形和物体的大小。
在几何不变体系中，面积和体积也是不变的，即无论如何进行几何变换，图形和物体的面积和体积保持不变。
10.拓扑性质：拓扑性质描述了空间中点、线、面之间的连接关系。
在几何不变体系中，拓扑性质是不变的，即无论如何进行几何变换，点、线、面之间的连接关系保持不变。
总结起来，几何不变体系由一系列的组成规则组成，例如平移、旋转、缩放、对称等操作，以及基本的几何图形元素如直线、圆等，以及几何性质如平行、垂直、角度、面积和体积、拓扑性质等。
2.1几何不变体系和几何可变体系2.1几何不变体系和几何可变体系
FP
A A1
EI1=∞ B 刚体位移 A2
几何可变
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二、造成几何可变的原因
1、内部构造不健全：如图a所示，由两个铰结三角形组成的 、内部构造不健全：如图 所示 所示， 桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆CB， 桁架，本为几何不变体系；但若从其内部抽掉一根桁杆 ， 如图b所示 则当结点C处作用 所示， 处作用F 如图 所示，则当结点 处作用 P时，该桁架杆件之间将产 生刚体位移，即变成了几何可变体系。 生刚体位移，即变成了几何可变体系。
C D C C1 A B A B D D1
FP
FP
a) 几何不变体系
b) 几何可变体系
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2、外部支承不恰当：如图a所示简支梁，本为几何不变体 、外部支承不恰当：如图 所示简支梁 所示简支梁， 但若将A端水平支杆移至 处并竖向设置，如图b所示 端水平支杆移至C处并竖向设置 所示， 系；但若将 端水平支杆移至 处并竖向设置，如图 所示， 则在图示F 作用下， 将相对于地基发生刚体平移， 将相对于地基发生刚体平移 则在图示 P作用下，梁AB将相对于地基发生刚体平移，即 变成了几何可变体系。 变成了几何可变体系。
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铰结三角形是几何不变的，平行四边形是几何可变的。 铰结三角形是几何不变的，平行四边形是几何可变的。 ——几何组成总则 几何组成总则
几何不变或称几何稳定
几何可变或称几何不稳定
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2.1 几何不变体系和几何可变体系