双曲线和抛物线题目

1. (2013大纲，11,5分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于()

A.2

B.2

C.4

D.4

[解析] 1.由已知得e==2,所以a=c,故b==c,从而双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,由焦点到渐近线的距离为得=,解得c=2,故2c=4,故选C.

2. (2013大纲，9,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()

A.+=1

B.+y2=1

C.+=1

D.+=1

[解析] 2.由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a,所以4a=4,故a=,又由e==得

c=1,所以b2=a2-c2=2,则C的方程为+=1,故选A.

3. (2014重庆，10，5分)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()

A.∪

B.∪

C.∪

D.∪

[解析] 3.令g(x)=0,则f(x)=m(x+1),故函数g(x)在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点等价于函数y=f(x)的图象与直线

y=m(x+1)有且仅有两个不同的交点.函数f(x)的图象如图中实线所示.易求k AB=,k AC=-2,过A(-1,0)作曲线的切线,不妨设切线方程为y=k(x+1),

由得kx2+(2k+3)x+2+k=0,则Δ=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解之得k=-.故实数m的取值范围为

∪.

4. (2014重庆，8，5分)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点P使得

(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()

A. B. C.4 D.

[解析] 4.根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0,又a+b≠0,所以b=4a,所以e====.

5. (2014四川，10，5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O 为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()

A.2

B.3

C.

D.

[解析] 5.如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则

=(m2,m),=(n2,n),·=m2n2+mn=2,解得mn=1(舍)或

mn=-2.∴l AB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C(2,0).

S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×(-n)=m-n,S△AOF=××m=m,则

S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3,当且仅当m=,即m=时等号成立.故△ABO与△AFO 面积之和的最小值为3.

6. (2014四川，9，5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的取值范围是()

A.[,2]

B.[,2]

C.[,4]

D.[2,4]

[解析] 6.直线x+my=0过定点A(0,0),直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).

①当m=0时,过定点A的直线方程为x=0,过定点B的直线方程为y=3,两条直线互相垂直,此时P(0,3),∴|PA|+|PB|=4.

②当m≠0时,直线x+my=0的斜率为-,直线mx-y-m+3=0的斜率为m.∵-×m=-1,∴两条直线互相垂直,即点P可

视为以AB为直径的圆上的点.当点P与点A或点B重合时,|PA|+|PB|有最小值.当点P不与点A,点B重合时,△PAB为直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性质知

|P A|+|PB|≤2=2,∴|PA|+|PB|∈[,2].

综合①②得|PA|+|PB|∈[,2].

7. (2014福建，6，5分)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则

l的方程是()

A.x+y-2=0

B.x-y+2=0

C.x+y-3=0

D.x-y+3=0

[解析] 7.已知圆的圆心为(0,3).直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1.所以所求直线的方程为y=x+3,即

x-y+3=0.故选D.

8. (2014广东，8，5分)若实数k满足0

A.实半轴长相等

B.虚半轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

[解析] 8.若00,16-k>0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为

,焦距2c=2,离心率e=;同理方程-=1也表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为

,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等.故选D.

9. (2014江西，9，5分)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

[解析] 9.由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得

a2-2ac+c2-a2=0,即a==2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线方程为-=1,故选A.

10. (2014湖北，8，5分)设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

[解析] 10.∵a≠b,∴直线AB:y-a2=(x-a),

即y=(b+a)x-ab.

又∵a,b是方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,

∴a+b=,ab=0,

∴y=-x,

又y=-x是双曲线-=1的一条渐近线,

∴公共点的个数为0,故选A.